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Les ensembles de nombres

Découvrir progressivement ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ, puis apprendre à utiliser correctement les symboles mathématiques.

1️⃣ Qu’est-ce qu’un ensemble ?

Un ensemble est une collection d’objets. En mathématiques, les objets placés dans un ensemble sont appelés ses éléments.

Exemple : A = {2 ; 4 ; 6}
L’ensemble A contient trois éléments : 2, 4 et 6.

Les accolades { }

Les accolades servent à décrire le contenu d’un ensemble. Dans un ensemble, chaque élément n’est écrit qu’une seule fois.

{1 ; 3 ; 5} est l’ensemble contenant 1, 3 et 5.
Chaque élément n’est écrit qu’une seule fois entre les accolades.

L’ensemble vide

L’ensemble qui ne contient aucun élément se note ∅ ou { }. On l’appelle l’ensemble vide.

Attention : {0} n’est pas vide. Il contient un élément : le nombre 0.

2️⃣ Les cinq grands ensembles de nombres

ℕ — Les entiers naturels

Ils servent à compter.

ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}

Exemples : 0 ∈ ℕ, 15 ∈ ℕ, mais −2 ∉ ℕ.

ℤ — Les entiers relatifs

Ils comprennent les entiers négatifs, zéro et les entiers positifs.

ℤ = {… ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}

Exemples : −8 ∈ ℤ, mais 2,5 ∉ ℤ.

𝔻 — Les nombres décimaux

Ils possèdent une écriture décimale avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

Ils peuvent s’écrire a/10n, avec a ∈ ℤ et n ∈ ℕ.

Exemples : −3 ; 0,25 ; 7,128 et 1/4 = 0,25 appartiennent à 𝔻.

ℚ — Les nombres rationnels

Ils peuvent s’écrire sous la forme a/b, avec a ∈ ℤ, b ∈ ℤ et b ≠ 0.

Exemples : 2/3 ∈ ℚ ; −5 = −5/1 ∈ ℚ ; 0,4 = 2/5 ∈ ℚ.

ℝ — Les nombres réels

ℝ contient tous les nombres que l’on peut placer sur la droite des réels : les rationnels et les irrationnels.

Exemples : −4 ; 1/3 ; √2 et π sont réels.

3️⃣ Décimaux, rationnels et irrationnels

Reconnaître une fraction décimale

Une fraction irréductible est un nombre décimal si et seulement si son dénominateur est de la forme 2p × 5q, avec p et q entiers naturels.
7/40 est décimal, car 40 = 23 × 5. On a 7/40 = 0,175.
1/3 n’est pas décimal, car son dénominateur contient le facteur premier 3.

Les nombres irrationnels

Un nombre irrationnel est un réel qui ne peut pas s’écrire comme quotient de deux entiers. Son écriture décimale est infinie et non périodique.

Exemples : √2 et π sont irrationnels. Ils appartiennent à ℝ, mais pas à ℚ.
4️⃣ Appartient ou n’appartient pas : ∈ et ∉
∈ signifie « appartient à »
On place ce symbole entre un élément et un ensemble.
∉ signifie « n’appartient pas à »
Le nombre placé à gauche n’est pas un élément de l’ensemble placé à droite.

Exemples

8 ∈ ℕ : 8 est un entier naturel.
−1 ∉ ℕ : −1 n’est pas naturel.
−1 ∈ ℤ : −1 est un entier relatif.
2/3 ∈ ℚ : 2/3 est un quotient d’entiers.
π ∉ ℚ, mais π ∈ ℝ.
Question à se poser : « L’objet de gauche est-il un élément de l’ensemble de droite ? »
5️⃣ Inclus ou non inclus : ⊂ et ⊄
A ⊂ B signifie que tous les éléments de A appartiennent à B. On dit que A est inclus dans B, ou que A est une partie de B.
A ⊄ B signifie que A n’est pas inclus dans B : il existe au moins un élément de A qui n’appartient pas à B.

Ne pas confondre

3 ∈ ℕ : on compare un élément et un ensemble.
ℕ ⊂ ℤ : on compare deux ensembles.
3 ⊂ ℕ est incorrect : 3 est un nombre, pas un ensemble.
ℕ ∈ ℤ est incorrect dans ce cours : ℕ est inclus dans ℤ.

Exemple de non-inclusion : ℤ ⊄ ℕ, car −1 ∈ ℤ mais −1 ∉ ℕ.

6️⃣ Les symboles *, + et −

L’étoile * exclut zéro

E* désigne l’ensemble E privé de 0.
ℝ* = ℝ \ {0} : tous les réels non nuls.
ℕ* = {1 ; 2 ; 3 ; …}
ℤ* = {… ; −2 ; −1 ; 1 ; 2 ; …}
0 ∉ ℝ*, mais 5 ∈ ℝ*.

Le signe + conserve les nombres positifs ou nuls

ℝ+ : les réels positifs ou nuls, donc x ≥ 0.
ℤ+ = ℕ : 0, 1, 2, 3, …
ℝ+* : les réels strictement positifs, donc x > 0.

Le signe − conserve les nombres négatifs ou nuls

ℝ− : les réels négatifs ou nuls, donc x ≤ 0.
ℤ− : …, −3, −2, −1, 0.
ℝ−* : les réels strictement négatifs, donc x < 0.
Convention utilisée ici : « positif » et « négatif » incluent zéro. Pour exclure zéro, on ajoute l’étoile.
7️⃣ La chaîne d’inclusions
ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Cette chaîne signifie :

Tout entier naturel est un entier relatif.
Tout entier relatif est un nombre décimal.
Tout nombre décimal est un nombre rationnel.
Tout nombre rationnel est un nombre réel.

Exemple guidé

Comme 5 ∈ ℕ et ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ, on peut aussi affirmer :
5 ∈ ℤ, 5 ∈ 𝔻, 5 ∈ ℚ et 5 ∈ ℝ.
La réciproque est fausse : π ∈ ℝ, mais π ∉ ℚ, π ∉ 𝔻, π ∉ ℤ et π ∉ ℕ.
Vidéo bilan sur les ensembles de nombres ▶ Vidéo bilan
du chapitre
8️⃣ La droite des nombres réels

À chaque point M d’une droite graduée, on associe un nombre appelé abscisse de M. Réciproquement, chaque nombre réel correspond à un point de cette droite.

▶
−2 0 3 −∞ +∞
ℝ est l’ensemble de tous les nombres placés sur la droite des réels. Les symboles −∞ et +∞ indiquent qu’elle se prolonge sans limite ; ce ne sont pas des nombres réels.
🎥 Toutes les vidéos pour s’entraîner
⚠️ Les erreurs à éviter
  • Écrire ∈ entre deux ensembles au lieu d’utiliser ⊂.
  • Écrire ⊂ entre un nombre et un ensemble au lieu d’utiliser ∈.
  • Penser que {0} est l’ensemble vide.
  • Oublier de réduire une fraction avant de décider si elle est décimale.
  • Croire que tout réel est rationnel : √2 et π sont des contre-exemples.
  • Oublier que l’étoile exclut toujours le nombre 0.
✅ L’essentiel en une minute
{ } contient les éléments d’un ensemble ; ∅ ne contient aucun élément.
∈ et ∉ relient un élément à un ensemble.
⊂ et ⊄ comparent deux ensembles.
* retire zéro ; + garde les positifs ou nuls ; − garde les négatifs ou nuls.
ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Conseil : pour chaque nombre rencontré, cherchez le plus petit ensemble de la chaîne auquel il appartient.