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Calculer avec des fractions

Simplifier, mettre au même dénominateur, additionner, soustraire, multiplier et diviser.

1️⃣ Qu’est-ce qu’une fraction ?
Une fraction est le quotient de deux entiers a et b, avec b ≠ 0 :ab
a
b

a : numérateur
b : dénominateur

Le dénominateur indique en combien de parts égales l’unité est partagée. Le numérateur indique combien de parts sont prises.

Exemple : dans 3/4, l’unité est partagée en 4 parts égales et on en prend 3.

Écrire un entier sous forme de fraction

Tout entier n s’écrit n/1.
Par exemple : 5 = 5/1 et −3 = −3/1.
Cours complet en vidéo sur les fractions▶ Cours complet
sur les fractions
2️⃣ Fractions égales et simplification
La valeur d’une fraction ne change pas si l’on multiplie ou si l’on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
a×cb×c=abavec b ≠ 0 et c ≠ 0

Simplifier une fraction

  1. Repérer un facteur commun au numérateur et au dénominateur.
  2. Diviser le numérateur et le dénominateur par ce facteur.
  3. Recommencer jusqu’à obtenir une fraction irréductible.
10/8 = 5/4, en divisant en haut et en bas par 2.
21/84 = 3/12 = 1/4, en divisant d’abord par 7, puis par 3.
Interdit : on ne simplifie jamais des termes séparés par + ou −. On simplifie uniquement des facteurs dans un produit.
3️⃣ Étape essentielle : mettre au même dénominateur

Pour additionner ou soustraire des fractions, elles doivent représenter des parts de même taille. Elles doivent donc avoir le même dénominateur.

Méthode
  1. Chercher un multiple commun aux dénominateurs.
  2. Transformer chaque fraction sans changer sa valeur.
  3. Effectuer ensuite l’addition ou la soustraction des numérateurs.

Exemple : 2/3 + 5/6

6 est un dénominateur commun.
2/3 = (2 × 2)/(3 × 2) = 4/6.
Donc 2/3 + 5/6 = 4/6 + 5/6 = 9/6 = 3/2.

Quand aucun dénominateur n’est multiple de l’autre

3/4 + 2/5
Un dénominateur commun est 4 × 5 = 20.
3/4 = 15/20 et 2/5 = 8/20.
Donc 3/4 + 2/5 = 23/20.
4️⃣ Additionner et soustraire

Même dénominateur

ac+bc=a+bcac−bc=a−bc
Dénominateurs différents :ab+cd=a×d+b×cb×d

On additionne ou on soustrait uniquement les numérateurs. Le dénominateur ne change pas.

5/6 + (−7/6) = (5 − 7)/6 = −2/6 = −1/3.

Dénominateurs différents

5/6 − 1/4
Le dénominateur commun est 12.
5/6 = 10/12 et 1/4 = 3/12.
Donc 5/6 − 1/4 = 7/12.

Additionner trois fractions

1/2 + 1/3 + 1/4
Le dénominateur commun est 12.
1/2 = 6/12, 1/3 = 4/12 et 1/4 = 3/12.
Donc 1/2 + 1/3 + 1/4 = 13/12.

Ajouter ou soustraire un entier

On écrit d’abord l’entier sous forme de fraction, puis on met au même dénominateur.

4 + 3/5
4 = 4/1 = 20/5.
Donc 4 + 3/5 = 20/5 + 3/5 = 23/5.
6 − 3/2
6 = 6/1 = 12/2.
Donc 6 − 3/2 = 12/2 − 3/2 = 9/2.
5️⃣ Multiplier des fractions
On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.ac×bd=a×bc×d
Exemple :
3/5 × 7/4 = (3 × 7)/(5 × 4) = 21/20.

Multiplier par un entier

4 × 3/7 = 4/1 × 3/7 = 12/7.

Simplifier avant de multiplier

On peut simplifier les facteurs communs avant d’effectuer les produits. Les calculs deviennent plus petits.

14/15 × 25/21
14 et 21 se simplifient par 7 : 2 et 3.
25 et 15 se simplifient par 5 : 5 et 3.
Donc le produit vaut (2 × 5)/(3 × 3) = 10/9.
Vidéo : multiplier des fractions▶ Savoir
multiplier
6️⃣ Inverse et division de fractions

L’inverse

L’inverse d’une fraction non nulle est obtenu en échangeant son numérateur et son dénominateur :

ab⟶ba
L’inverse de 5/6 est 6/5, car 5/6 × 6/5 = 1.
Attention : zéro n’a pas d’inverse. On ne divise jamais par zéro.

Diviser

Diviser par une fraction non nulle revient à multiplier par son inverse.acbd=ac×db
Exemple :−35−27=−35×−72=2110
On retourne seulement la fraction par laquelle on divise. On ne retourne pas la première fraction.
7️⃣ Calcul complet : toutes les règles ensemble
A=6−3213+15

Étape 1 — Les parenthèses.

1/3 + 1/5 = 5/15 + 3/15 = 8/15.

Étape 2 — La division.

32815=32×158=4516

Étape 3 — Soustraire à l’entier.

6 = 96/16.
Donc A = 96/16 − 45/16 = 51/16.
Ordre à retenir : parenthèses, multiplications ou divisions, puis additions ou soustractions. À chaque étape, simplifier si possible.
8️⃣ Comparer et prendre une fraction d’une quantité

Comparer deux fractions

On peut les mettre au même dénominateur. Si les dénominateurs sont positifs et identiques, la plus grande fraction est celle qui possède le plus grand numérateur.

Comparer 3/4 et 5/6 :
3/4 = 9/12 et 5/6 = 10/12, donc 3/4 < 5/6.

Fraction d’une quantité

Prendre une fraction d’une quantité revient à multiplier cette quantité par la fraction.

Les 3/5 de 40 :
3/5 × 40 = 3 × 8 = 24.
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⚠️ Les erreurs à éviter
  • Additionner les dénominateurs : 1/3 + 1/4 n’est pas égal à 2/7.
  • Oublier de transformer le numérateur lorsqu’on transforme le dénominateur.
  • Oublier d’écrire un entier sous la forme n/1.
  • Simplifier à travers une addition ou une soustraction.
  • Retourner les deux fractions dans une division : seule la seconde est inversée.
  • Oublier de simplifier le résultat final.
✅ L’essentiel en une minute
Addition ou soustraction : même dénominateur d’abord.
Multiplication : numérateur × numérateur et dénominateur × dénominateur.
Division : multiplier par l’inverse de la seconde fraction.
Entier n : l’écrire sous la forme n/1.
Simplifier avant une multiplication et à la fin du calcul.
Réflexe : avant chaque opération, identifiez son type : les règles de l’addition et de la multiplication ne sont pas les mêmes.