Les complexes – révisions prépa 2

Rappel. Pour $z=a+ib$, on a $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.

1. $$|z_1|=\sqrt{{15}^2+{(-1)}^2}$$

   $$=\sqrt{226}$$ .

2. $$|z_2|=\sqrt{{(-5)}^2+5^2}$$

   $$=\sqrt{50}$$

   $$=5\sqrt{2}$$ .

3. $$|z_3|=\sqrt{7^2+{(-12)}^2}$$

   $$=\sqrt{193}$$ .

4. $|z_4|=\sqrt{0^2+8^2}=8$.

5. $$|z_5|=|9-\sqrt{3}|$$

   $$=9-\sqrt{3}$$ (car $9-\sqrt{3}>0$).

6. $$|z_6|=\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+{(-3)}^2}$$

   $$=\sqrt{12}$$

   $$=2\sqrt{3}$$ .

7. $$|z_7|=\sqrt{{\left(\sqrt{5}\right)}^2+1^2}$$

   $$=\sqrt{6}$$ .

8. $$|z_8|=\sqrt{{(-\sqrt{7})}^2+{\left(\sqrt{7}\right)}^2}$$

   $$=\sqrt{14}$$ .

9. $$|z_9|=\sqrt{{\left(4\sqrt{3}\right)}^2+{\left(7\sqrt{2}\right)}^2}$$

   $$=\sqrt{48+98}$$

   $$=\sqrt{146}$$ .

Rappel. Pour $z=a+\mathrm{i}b$, $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ ; $$|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$$ ; $$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$$ ; $|z^n|=|z{|}^n$.

1. $Z_1=\frac{3\mathrm{i}+2}{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}$ : $$|3\mathrm{i}+2|=\sqrt{2^2+3^2}$$

   $$=\sqrt{13}$$ , $|1+\mathrm{i}\sqrt{3}|=\sqrt{1+3}=2$. $\boxed{|Z_1|=\frac{\sqrt{13}}{2}}$

2. $Z_2=(-2+\mathrm{i}\sqrt{3}{)}^5$ : $$|-2+\mathrm{i}\sqrt{3}|=\sqrt{4+3}$$

   $$=\sqrt{7}$$ . $$\boxed{|Z_2|={\left(\sqrt{7}\right)}^5=7^{5/2}=49\sqrt{7}}$$

3. $Z_3=3(2+4\mathrm{i}){(2-4\mathrm{i})}^2$ : $|2\pm 4\mathrm{i}|=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$. $$\boxed{|Z_3|=3\cdot \left(2\sqrt{5}\right)\cdot {\left(2\sqrt{5}\right)}^2=3\cdot \left(2\sqrt{5}\right)\cdot 20=120\sqrt{5}}$$

Rappel. $$\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|}$$ .

1. $z_1=\frac{1}{2-3\mathrm{i}}$ : $|2-3\mathrm{i}|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$. $\boxed{|z_1|=\frac{1}{\sqrt{13}}}$

2. $z_2=\frac{1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{5\mathrm{i}}$ : $|1-\mathrm{i}\sqrt{3}|=\sqrt{1+3}=2$, $|5\mathrm{i}|=5$. $\boxed{|z_2|=\frac{2}{5}}$

Rappel. $|z^n|=|z{|}^n$.

1. $z_1=(\sqrt{3}+\mathrm{i}{)}^{10}$ : $|\sqrt{3}+\mathrm{i}|=\sqrt{3+1}=2$. $\boxed{|z_1|=2^{10}=1024}$

2. $z_2=(2-\mathrm{i}{)}^5$ : $|2-\mathrm{i}|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$. $$\boxed{|z_2|={\left(\sqrt{5}\right)}^5=5^{5/2}=25\sqrt{5}}$$

Rappels. $$|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$$ , $$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$$ , $|z^n|=|z{|}^n$.

1. $z_1={(2+3\mathrm{i})}^3$ : $|2+3\mathrm{i}|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$. $$\boxed{|z_1|={\left(\sqrt{13}\right)}^3=13\sqrt{13}}$$

2. $z_2=-5\mathrm{i}(7-3\mathrm{i})$ : $|-5\mathrm{i}|=5$, $|7-3\mathrm{i}|=\sqrt{49+9}=\sqrt{58}$. $\boxed{|z_2|=5\sqrt{58}}$

3. $$z_3=\frac{2\mathrm{i}(3+5\mathrm{i})}{3\mathrm{i}+4}$$ : $|2\mathrm{i}|=2$, $|3+5\mathrm{i}|=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$, $|3\mathrm{i}+4|=\sqrt{9+16}=5$. $\boxed{|z_3|=\frac{2\sqrt{34}}{5}}$

4. $z_4=\frac{1}{{(-3-5\mathrm{i})}^4}$ : $|-3-5\mathrm{i}|=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}$. $$\boxed{|z_4|=\frac{1}{|-3-5\mathrm{i}{|}^4}=\frac{1}{{\left(\sqrt{34}\right)}^4}=\frac{1}{{34}^2}=\frac{1}{1156}}$$

5. $z_5=5\sqrt{7}+\frac{\sqrt{5}}{2}\mathrm{i}$ : $$\boxed{|z_5|=\sqrt{{\left(5\sqrt{7}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)}^2}=\sqrt{175+\frac{5}{4}}=\sqrt{\frac{705}{4}}=\frac{\sqrt{705}}{2}}$$

6. $z_6={(\sqrt{6}+5\mathrm{i})}^4$ : $$|\sqrt{6}+5\mathrm{i}|=\sqrt{6+25}$$

   $$=\sqrt{31}$$ . $$\boxed{|z_6|={\left(\sqrt{31}\right)}^4={31}^2=961}$$

7. $z_7=-(5\mathrm{i}+1)(\sqrt{3}-2\mathrm{i})$ : $|5\mathrm{i}+1|=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$, $$|\sqrt{3}-2\mathrm{i}|=\sqrt{3+4}$$

   $$=\sqrt{7}$$ . $$\boxed{|z_7|=\sqrt{26}\sqrt{7}=\sqrt{182}}$$

8. $$z_8=\frac{3+\mathrm{i}\sqrt{11}}{3\mathrm{i}-\sqrt{11}}$$ : $$|3+\mathrm{i}\sqrt{11}|=\sqrt{9+11}$$

   $$=2\sqrt{5}$$ , $$|3\mathrm{i}-\sqrt{11}|=\sqrt{9+11}$$

   $$=2\sqrt{5}$$ . $$\boxed{|z_8|=\frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=1}$$

1. Exemples et figure.

   Cas d’égalité $(|z+z\prime |=\left|z\right|+\left|z\prime \right|)$. Choisir deux vecteurs colinéaires de même sens (ou l’un nul) : $$z=1+\mathrm{i},z\prime =2(1+\mathrm{i}).$$ Alors $\left|z\right|=\sqrt{2},\left|z\prime \right|=2\sqrt{2},z+z\prime =3(1+\mathrm{i})$ et $|z+z\prime |=3\sqrt{2}=\left|z\right|+\left|z\prime \right|$.

   Cas strict $(|z+z\prime |<\left|z\right|+\left|z\prime \right|)$. Prendre des directions différentes, par ex. orthogonales : $$z=1,z\prime =\mathrm{i}.$$ Alors $\left|z\right|=\left|z\prime \right|=1,|z+z\prime |=|1+\mathrm{i}|=\sqrt{2}<2=\left|z\right|+\left|z\prime \right|$.

   Condition d’égalité (théorème). On a $$|z+z\prime |\le \left|z\right|+\left|z\prime \right|,$$ avec égalité si et seulement si $z$ et $z\prime$ sont colinéaires et de même sens (i.e. $z\prime =tz$ avec $t\ge 0$), ou bien si l’un des deux est nul.

2. Multiplicativité du module : $\left|zz\prime \right|=\left|z\right|\left|z\prime \right|$.

   Soient $z=a+\mathrm{i}b$ et $z\prime =c+\mathrm{i}d$. Alors $$zz\prime =(ac-bd)+\mathrm{i}(ad+bc),$$ d’où $${\left|zz\prime \right|}^2={(ac-bd)}^2+{(ad+bc)}^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)={\left|z\right|}^2{\left|z\prime \right|}^2.$$ Comme les modules sont $\ge 0$, on obtient $\boxed{\left|zz\prime \right|=\left|z\right|\left|z\prime \right|}$.

3. Module de l’inverse : $\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{\left|z\right|}$ si $z\ne 0$.

   Par multiplicativité, $$1=\left|1\right|=|z\cdot \frac{1}{z}|=\left|z\right|\left|\frac{1}{z}\right|\Rightarrow \boxed{\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{\left|z\right|}}.$$

4. Quotient : $\left|\frac{z\prime }{z}\right|=\frac{\left|z\prime \right|}{\left|z\right|}$ si $z\ne 0$.

   En effet, $$\left|\frac{z\prime }{z}\right|=\left|z\prime \right|\cdot \left|\frac{1}{z}\right|=\left|z\prime \right|\cdot \frac{1}{\left|z\right|}=\boxed{\frac{\left|z\prime \right|}{\left|z\right|}}.$$

Par récurrence. Pour $n=1$, c’est vrai. Supposons $\left|z^n\right|={\left|z\right|}^n$. Alors $$\left|z^{n+1}\right|=|z^n\cdot z|=\left|z^n\right|\left|z\right|={\left|z\right|}^n\left|z\right|={\left|z\right|}^{n+1}.$$ Donc la propriété est vraie pour tout $n$. (Pour $n\in \mathbb{Z}$ et $z\ne 0$, on étend via $\left|z^{-n}\right|={\left|z\right|}^{-n}$.)

• $z_0=4$ : $$\{\begin{array}{c}\left|4\right|=4\hfill \\ cos\theta =1,sin\theta =0\hfill \end{array}\Rightarrow r=4,\theta =0\Rightarrow 4=4[cos\left(0\right)+\mathrm{i}sin\left(0\right)]=4{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}0}.$$ Donc un argument de $z_0$ est $\boxed{0}$.

• $z_1=-5\mathrm{i}$ : $$\{\begin{array}{c}|-5\mathrm{i}|=5\hfill \\ cos\theta =0,sin\theta =-1\hfill \end{array}\Rightarrow r=5,\theta =-\frac{\pi }{2}\Rightarrow -5\mathrm{i}=5[cos(-\frac{\pi }{2})+\mathrm{i}sin(-\frac{\pi }{2})]=5{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /2}.$$ Donc un argument de $z_1$ est $\boxed{-\frac{\pi }{2}}$.

• $z_2=-5$ : $$\{\begin{array}{c}|-5|=5\hfill \\ cos\theta =-1,sin\theta =0\hfill \end{array}\Rightarrow r=5,\theta =\pi \Rightarrow -5=5[cos\left(\pi \right)+\mathrm{i}sin\left(\pi \right)]=5{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }.$$ Donc un argument de $z_2$ est $\boxed{\pi }$.

• $z_3=12\mathrm{i}$ : $$\{\begin{array}{c}\left|12\mathrm{i}\right|=12\hfill \\ cos\theta =0,sin\theta =1\hfill \end{array}\Rightarrow r=12,\theta =\frac{\pi }{2}\Rightarrow 12\mathrm{i}=12[cos(\frac{\pi }{2})+\mathrm{i}sin(\frac{\pi }{2})]=12{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /2}.$$ Donc un argument de $z_3$ est $\boxed{\frac{\pi }{2}}$.

• $z_4=1+\mathrm{i}$ : $$\{\begin{array}{c}|1+\mathrm{i}|=\sqrt{2}\hfill \\ cos\theta =\frac{1}{\sqrt{2}},sin\theta =\frac{1}{\sqrt{2}}\hfill \end{array}\Rightarrow r=\sqrt{2},\theta =\frac{\pi }{4}\Rightarrow 1+\mathrm{i}=\sqrt{2}[cos(\frac{\pi }{4})+\mathrm{i}sin(\frac{\pi }{4})]=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /4}.$$ Donc un argument de $z_4$ est $\boxed{\frac{\pi }{4}}$.

• $z_5=3-3\mathrm{i}$ : $$\{\begin{array}{c}|3-3\mathrm{i}|=3\sqrt{2}\hfill \\ cos\theta =\frac{1}{\sqrt{2}},sin\theta =-\frac{1}{\sqrt{2}}\hfill \end{array}\Rightarrow r=3\sqrt{2},\theta =-\frac{\pi }{4}\Rightarrow 3-3\mathrm{i}=3\sqrt{2}[cos(-\frac{\pi }{4})+\mathrm{i}sin(-\frac{\pi }{4})]=3\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /4}.$$ Donc un argument de $z_5$ est $\boxed{-\frac{\pi }{4}}$.

• $z_6=-3\sqrt{3}-3\sqrt{3}\mathrm{i}$ : $$\{\begin{array}{c}\left|z\right|=\sqrt{{\left(3\sqrt{3}\right)}^2+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}=3\sqrt{6}\hfill \\ cos\theta =-\frac{1}{\sqrt{2}},sin\theta =-\frac{1}{\sqrt{2}}\hfill \end{array}\Rightarrow r=3\sqrt{6},\theta =-\frac{3\pi }{4}\Rightarrow z=3\sqrt{6}[cos(-\frac{3\pi }{4})+\mathrm{i}sin(-\frac{3\pi }{4})]=3\sqrt{6}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}3\pi /4}.$$ Donc un argument de $z_6$ est $\boxed{-\frac{3\pi }{4}}$.

• $z_7=-\frac{3}{7}+\frac{3}{7}\mathrm{i}$ : $$\{\begin{array}{c}\left|z\right|=\sqrt{{\left(\frac{3}{7}\right)}^2+{\left(\frac{3}{7}\right)}^2}=\frac{3\sqrt{2}}{7}\hfill \\ cos\theta =-\frac{1}{\sqrt{2}},sin\theta =\frac{1}{\sqrt{2}}\hfill \end{array}\Rightarrow r=\frac{3\sqrt{2}}{7},\theta =\frac{3\pi }{4}\Rightarrow z=\frac{3\sqrt{2}}{7}[cos(\frac{3\pi }{4})+\mathrm{i}sin(\frac{3\pi }{4})]=\frac{3\sqrt{2}}{7}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}3\pi /4}.$$ Donc un argument de $z_7$ est $\boxed{\frac{3\pi }{4}}$.

Astuce (factoriser rapidement pour lire l’argument).

• $3-3\mathrm{i}=3(1-\mathrm{i})$ $\Rightarrow$ même argument que $1-\mathrm{i}$ : $-\frac{\pi }{4}$.

• $$-3\sqrt{3}-3\sqrt{3}\mathrm{i}=(-3\sqrt{3})(1+\mathrm{i})$$ $arg(1+\mathrm{i})=\frac{\pi }{4}$ puis facteur négatif $\Rightarrow$ on ajoute $\pi$ : $$\frac{\pi }{4}+\pi =\frac{5\pi }{4}\equiv -\frac{3\pi }{4}$$ (principal).

• $$-\frac{3}{7}+\frac{3}{7}\mathrm{i}=\frac{3}{7}(-1+\mathrm{i})$$ $\Rightarrow$ même argument que $-1+\mathrm{i}$ : $\frac{3\pi }{4}$.

• $z_0=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}$ : $$\{\begin{array}{c}r=\left|z_0\right|=1\hfill \\ cos\theta =\frac{\sqrt{3}}{2},sin\theta =\frac{1}{2}\hfill \end{array}\Rightarrow \theta =\frac{\pi }{6}\Rightarrow z_0=cos(\frac{\pi }{6})+\mathrm{i}sin(\frac{\pi }{6})={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /6}.$$ Donc un argument de $z_0$ est $\boxed{\frac{\pi }{6}}$.

• $$z_1=\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2}$$ : $$r=1,cos\theta =sin\theta =\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \theta =\frac{\pi }{4}.$$ Donc un argument de $z_1$ est $\boxed{\frac{\pi }{4}}$.

• $z_2=\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$ : $$r=1,cos\theta =\frac{1}{2},sin\theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \theta =\frac{\pi }{3}.$$ Donc un argument de $z_2$ est $\boxed{\frac{\pi }{3}}$.

• $z_3=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\mathrm{i}\frac{1}{2}$ : $$r=1,cos\theta =-\frac{\sqrt{3}}{2},sin\theta =\frac{1}{2}\Rightarrow \theta =\frac{5\pi }{6}.$$ Donc un argument de $z_3$ est $\boxed{\frac{5\pi }{6}}$.

• $z_4=-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$ : $$r=1,cos\theta =-\frac{1}{2},sin\theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \theta =\frac{2\pi }{3}.$$ Donc un argument de $z_4$ est $\boxed{\frac{2\pi }{3}}$.

• $z_5=-1$ : $$r=1,cos\theta =-1,sin\theta =0\Rightarrow \theta =\pi .$$ Donc un argument de $z_5$ est $\boxed{\pi }$.

• $z_6=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\mathrm{i}\frac{1}{2}$ : $$r=1,cos\theta =-\frac{\sqrt{3}}{2},sin\theta =-\frac{1}{2}\Rightarrow \theta =-\frac{5\pi }{6}.$$ Donc un argument de $z_6$ est $\boxed{-\frac{5\pi }{6}}$.

• $z_7=\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$ : $$r=1,cos\theta =\frac{1}{2},sin\theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \theta =-\frac{\pi }{3}.$$ Donc un argument de $z_7$ est $\boxed{-\frac{\pi }{3}}$.

• $z_8=-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$ : $$r=1,cos\theta =-\frac{1}{2},sin\theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \theta =-\frac{2\pi }{3}.$$ Donc un argument de $z_8$ est $\boxed{-\frac{2\pi }{3}}$.

• $z_9=-\mathrm{i}$ : $$r=1,cos\theta =0,sin\theta =-1\Rightarrow \theta =-\frac{\pi }{2}.$$ Donc un argument de $z_9$ est $\boxed{-\frac{\pi }{2}}$.

• $z_{10}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\mathrm{i}}{2}$ : $$r=1,cos\theta =\frac{\sqrt{3}}{2},sin\theta =-\frac{1}{2}\Rightarrow \theta =-\frac{\pi }{6}.$$ Donc un argument de $z_{10}$ est $\boxed{-\frac{\pi }{6}}$.

• $$z_{11}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\mathrm{i}\sqrt{2}}{2}$$ : $$r=1,cos\theta =-\frac{\sqrt{2}}{2},sin\theta =\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \theta =\frac{3\pi }{4}.$$ Donc un argument de $z_{11}$ est $\boxed{\frac{3\pi }{4}}$.

• $z_0=\sqrt{3}+\mathrm{i}=2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2})$ (facteur $>0$ donc l’argument ne change pas) $$\Rightarrow \theta =\frac{\pi }{6}\Rightarrow z_0=2[cos\left(\frac{\pi }{6}\right)+\mathrm{i}sin\left(\frac{\pi }{6}\right)]=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /6}.$$ Donc un argument de $z_0$ est $\boxed{\frac{\pi }{6}}$.

• $z_1=5\sqrt{3}-5\mathrm{i}=5(\sqrt{3}-\mathrm{i})=10(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\mathrm{i}}{2})$ $$\Rightarrow \theta =-\frac{\pi }{6}\Rightarrow z_1=10[cos(-\frac{\pi }{6})+\mathrm{i}sin(-\frac{\pi }{6})]=10{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /6}.$$ Donc un argument de $z_1$ est $\boxed{-\frac{\pi }{6}}$.

• $z_2=-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\mathrm{i}}{4}=-\frac{1}{4}(\sqrt{3}+\mathrm{i})=-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2})$ $$\text{Argument de}(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2})=\frac{\pi }{6},\text{facteur négatif}(-)\Rightarrow \text{on ajoute}\pi .$$ $$\Rightarrow \theta =\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{7\pi }{6}\equiv -\frac{5\pi }{6}\text{(principal)}.$$ $$z_2=\frac{1}{2}[cos(-\frac{5\pi }{6})+\mathrm{i}sin(-\frac{5\pi }{6})]=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}5\pi /6}.$$ Donc un argument de $z_2$ est $\boxed{-\frac{5\pi }{6}}$.

• $z_3=\frac{7\sqrt{3}}{12}+\frac{7}{12}\mathrm{i}=\frac{7}{6}(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2})$ (facteur $>0$) $$\Rightarrow \theta =\frac{\pi }{6}\Rightarrow z_3=\frac{7}{6}[cos\left(\frac{\pi }{6}\right)+\mathrm{i}sin\left(\frac{\pi }{6}\right)]=\frac{7}{6}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /6}.$$ Donc un argument de $z_3$ est $\boxed{\frac{\pi }{6}}$.

Astuce à retenir.

• Multiplier par un réel positif ne change pas l’argument.

• Multiplier par un réel négatif ajoute $\pi$ (puis on ramène l’angle dans $(-\pi ,\pi ]$ si besoin).

• Repérer rapidement les couples $(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$, $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$, etc. pour lire l’angle.

1) Forme exponentielle de $1+\mathrm{i}\sqrt{3}$

$$\{\begin{array}{c}r=|1+\mathrm{i}\sqrt{3}|=\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=2\hfill \\ cos\theta =\frac{1}{2},sin\theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \theta =\frac{\pi }{3}\hfill \end{array}$$ $$1+\mathrm{i}\sqrt{3}=2[cos(\frac{\pi }{3})+\mathrm{i}sin(\frac{\pi }{3})]=\boxed{2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /3}}.$$

Rappels utiles : ${\left(r{e}^{\mathrm{i}\theta }\right)}^n=r^n{e}^{\mathrm{i}n\theta }$,

$$\overline{r{e}^{\mathrm{i}\theta }}=r{e}^{-\mathrm{i}\theta }$$ ,

$$\frac{1}{{\left(r{e}^{\mathrm{i}\theta }\right)}^n}=r^{-n}{e}^{-\mathrm{i}n\theta }$$ .

2) Dérivations à partir de $$1+\mathrm{i}\sqrt{3}=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /3}$$

1. ${(1+\mathrm{i}\sqrt{3})}^4={\left(2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /3}\right)}^4=2^4{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}4\pi /3}=\boxed{16{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}4\pi /3}}\left(\text{aussi}16{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}2\pi /3}\right)$.

2. $\overline{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}=\overline{2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /3}}=2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /3}=\boxed{2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /3}}$.

3. $\frac{2}{{(1+\mathrm{i}\sqrt{3})}^3}=\frac{2}{{\left(2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /3}\right)}^3}=\frac{2}{2^3{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }}=\frac{1}{4}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi }=\boxed{\frac{1}{4}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }}$.

1) Forme exponentielle de $1-\mathrm{i}$

$$\{\begin{array}{c}r=|1-\mathrm{i}|=\sqrt{1^2+{(-1)}^2}=\sqrt{2}\hfill \\ cos\theta =\frac{1}{\sqrt{2}},sin\theta =-\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \theta =-\frac{\pi }{4}\hfill \end{array}$$ $$1-\mathrm{i}=\sqrt{2}[cos(-\frac{\pi }{4})+\mathrm{i}sin(-\frac{\pi }{4})]=\boxed{\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /4}}.$$

Formules utiles : ${\left(r{e}^{\mathrm{i}\theta }\right)}^n=r^n{e}^{\mathrm{i}n\theta }$,

$$\overline{r{e}^{\mathrm{i}\theta }}=r{e}^{-\mathrm{i}\theta }$$ ,

$$\frac{1}{{\left(r{e}^{\mathrm{i}\theta }\right)}^n}=r^{-n}{e}^{-\mathrm{i}n\theta }$$ .

1. ${(1-\mathrm{i})}^5=(\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /4}{)}^5=2^{5/2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}5\pi /4}=\boxed{4\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}3\pi /4}}$ (réduction mod $2\pi$).

2. $\overline{1-\mathrm{i}}=1+\mathrm{i}=\boxed{\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /4}}$.

3. $\frac{5}{{(1-\mathrm{i})}^2}=\frac{5}{(\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /4}{)}^2}=\frac{5}{2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /2}}=\boxed{\frac{5}{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /2}}$.

Données : $z_1=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$, $z_2=2+2\mathrm{i}$.

1. Formes exponentielles de $z_1$ et $z_2$. $$\left|z_1\right|=\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=2,arg{z}_1=\frac{\pi }{3}\Rightarrow \boxed{z_1=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /3}}.$$ $$\left|z_2\right|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2},arg{z}_2=\frac{\pi }{4}\Rightarrow \boxed{z_2=2\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /4}}.$$

2. Dérivations. $$\overline{z_1}=2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /3},\frac{1}{z_2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /4}.$$ $${\left(z_1\right)}^2{\left(z_2\right)}^3=\left(2^2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}2\pi /3}\right)({\left(2\sqrt{2}\right)}^3{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}3\pi /4})=64\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(2\pi /3+3\pi /4)}=\boxed{64\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}17\pi /12}}.$$

Données : $z_1=3-3\mathrm{i}$, $z_2=-\sqrt{3}+\mathrm{i}$.

1. Trigonométrique puis exponentielle. $$\left|z_1\right|=3\sqrt{2},arg{z}_1=-\frac{\pi }{4}\Rightarrow \boxed{z_1=3\sqrt{2}(cos(-\frac{\pi }{4})+\mathrm{i}sin(-\frac{\pi }{4}))=3\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /4}}.$$ $$\left|z_2\right|=2,cos\theta =-\frac{\sqrt{3}}{2},sin\theta =\frac{1}{2}\Rightarrow \theta =\frac{5\pi }{6}\Rightarrow \boxed{z_2=2(cos\frac{5\pi }{6}+\mathrm{i}sin\frac{5\pi }{6})=2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}5\pi /6}}.$$ $$z_1{z}_2:\left|z_1{z}_2\right|=6\sqrt{2},arg\left(z_1{z}_2\right)=-\frac{\pi }{4}+\frac{5\pi }{6}=\frac{7\pi }{12}\Rightarrow \boxed{z_1{z}_2=6\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}7\pi /12}}.$$

2. Valeurs exactes de $cos(\frac{19\pi }{12})$ et $sin(\frac{19\pi }{12})$. On a $\frac{19\pi }{12}=\pi +\frac{7\pi }{12}$, donc $$cos\left(\frac{19\pi }{12}\right)=-cos\left(\frac{7\pi }{12}\right),sin\left(\frac{19\pi }{12}\right)=-sin\left(\frac{7\pi }{12}\right).$$ Or $$\frac{z_1{z}_2}{\left|z_1{z}_2\right|}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}7\pi /12}=cos\left(\frac{7\pi }{12}\right)+\mathrm{i}sin\left(\frac{7\pi }{12}\right),$$ et $z_1{z}_2=(3-3\sqrt{3})+\mathrm{i}(3+3\sqrt{3})$, $\left|z_1{z}_2\right|=6\sqrt{2}$. Ainsi $$cos\left(\frac{7\pi }{12}\right)=\frac{3-3\sqrt{3}}{6\sqrt{2}}=\frac{1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4},$$ $$sin\left(\frac{7\pi }{12}\right)=\frac{3+3\sqrt{3}}{6\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}.$$ Donc $$\boxed{cos\left(\frac{19\pi }{12}\right)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4},sin\left(\frac{19\pi }{12}\right)=-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}.$$

Donnée : $j=-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1. Forme exponentielle de $j$.$\left|j\right|=1$, $argj=\frac{2\pi }{3}$, donc $$\boxed{j={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}2\pi /3}}.$$

2. Forme exponentielle puis algébrique de $j^2$. $j^2={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}4\pi /3}=cos\frac{4\pi }{3}+\mathrm{i}sin\frac{4\pi }{3}=\boxed{-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

3. Montrer $1+j+j^2=0$. Ce sont les racines de $X^2+X+1=0$ (racines cubiques de l’unité non triviales) :

   $$1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}2\pi /3}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}4\pi /3}=0$$ .

4. Autres formes exponentielles. $$\overline{j}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}2\pi /3},j^3={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}2\pi }=1,j^{15}={\left(j^3\right)}^5=1.$$

Forme trigonométrique puis exponentielle. $$\begin{array}{cccccc}\hfill z_0& =-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}\hfill & \hfill & =1\cdot (cos\frac{5\pi }{6}+\mathrm{i}sin\frac{5\pi }{6})\hfill & \hfill & =\boxed{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}5\pi /6}},\hfill \\ \hfill z_1& =-\sqrt{2}\mathrm{i}\hfill & \hfill & =\sqrt{2}(cos(-\frac{\pi }{2})+\mathrm{i}sin(-\frac{\pi }{2}))\hfill & \hfill & =\boxed{\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /2}},\hfill \\ \hfill z_2& =\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{i}\hfill & \hfill & =1\cdot (cos(-\frac{\pi }{4})+\mathrm{i}sin(-\frac{\pi }{4}))\hfill & \hfill & =\boxed{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /4}},\hfill \\ \hfill z_3& =-\sqrt{2}\mathrm{i}\hfill & \hfill & =\boxed{\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /2}},\hfill \\ \hfill z_4& =\frac{5\sqrt{3}}{2}-\frac{5}{2}\mathrm{i}\hfill & \hfill & =5(cos(-\frac{\pi }{6})+\mathrm{i}sin(-\frac{\pi }{6}))\hfill & \hfill & =\boxed{5{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /6}},\hfill \\ \hfill z_5& =-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\hfill & \hfill & =\sqrt{3}(cos\frac{5\pi }{6}+\mathrm{i}sin\frac{5\pi }{6})\hfill & \hfill & =\boxed{\sqrt{3}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}5\pi /6}},\hfill \\ \hfill z_6& =-6-2\sqrt{3}\mathrm{i}\hfill & \hfill & =4\sqrt{3}(cos(-\frac{5\pi }{6})+\mathrm{i}sin(-\frac{5\pi }{6}))\hfill & \hfill & =\boxed{4\sqrt{3}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}5\pi /6}},\hfill \\ \hfill z_7& =2\sqrt{2}-2\sqrt{2}\mathrm{i}\hfill & \hfill & =4(cos(-\frac{\pi }{4})+\mathrm{i}sin(-\frac{\pi }{4}))\hfill & \hfill & =\boxed{4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\pi /4}}.\hfill \end{array}$$