↔️ Les intervalles — Seconde

L’essentiel du cours, exercices en vidéo et corrigés écrits.

📌 L’essentiel du cours

[a ; b] contient ses deux bornes ; ]a ; b[ ne contient aucune borne. Un crochet tourné vers l’intérieur signifie que la borne appartient à l’intervalle.

x ∈ [a ; b] signifie a ≤ x ≤ b   •   x ∈ ]a ; b[ signifie a < x < b

Avec l’infini : le crochet est toujours ouvert, car +∞ et −∞ ne sont pas des nombres réels.

Intersection I ∩ J : nombres communs aux deux intervalles. Réunion I ∪ J : nombres appartenant à au moins l’un des deux.

🎓 Rappels de cours en vidéo

✏️ Exercices corrigés

Exercice 1 ★

Dans chaque cas, écrire sous forme d’intervalle l’ensemble des nombres xx vérifiant les inégalités.

  1. −1<x≤6-1 < x \leq 6

  2. 5>x5 > x

  3. x≤53x \leq \dfrac{5}{3}

  4. x≥2x \geq \sqrt{2}

  5. −1≥x≥−3-1 \geq x \geq -3

  6. −3<x≤4-3 < x \leq 4

  7. 1<x1 < x

  8. x≥37x \geq \dfrac{3}{7}

  9. x≤14x \leq 14

  10. −7<x≤3-7 < x \leq 3

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  1. x∈]−1;6]x \in ]-1;6]

  2. x∈]−∞;5[x \in ]-\infty;5[

  3. x∈]−∞;53]x \in ]-\infty;\tfrac{5}{3}]

  4. x∈[2;+∞[x \in [\sqrt{2};+\infty[

  5. x∈[−3;−1]x \in [-3;-1]

  6. x∈]−3;4]x \in ]-3;4]

  7. x∈]1;+∞[x \in ]1;+\infty[

  8. x∈[37;+∞[x \in \left[\tfrac{3}{7};+\infty\right[

  9. x∈]−∞;14]x \in ]-\infty;14]

  10. x∈]−7;3]x \in ]-7;3]

Exercice 2 ★

Dans chaque cas, écrire sous forme d’intervalle l’ensemble des nombres xx vérifiant les inégalités.

  1. 2<x≤42<x\leq 4

  2. 2≤x≤62 \leq x\leq 6

  3. x≤4x\leq 4

  4. 2<x2<x

  5. 2≥x2\geq x

  6. −1<x<4-1<x< 4

  7. −2<x≤6-2 < x\leq 6

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  1. 2<x≤4⇔x∈]2;4]2<x\le 4 \;\Longleftrightarrow\; x\in ]~2~;~4~].

  2. 2≤x≤6⇔x∈[2;6]2\le x\le 6 \;\Longleftrightarrow\; x\in [~2~;~6~].

  3. x≤4⇔x∈]−∞;4]x\le 4 \;\Longleftrightarrow\; x\in ]~-\infty~;~4~].

  4. 2<x⇔x∈]2;+∞[2<x \;\Longleftrightarrow\; x\in ]~2~;~+\infty~[.

  5. 2≥x⇔x≤2⇔x∈]−∞;2]2\ge x \;\Longleftrightarrow\; x\le 2 \;\Longleftrightarrow\; x\in ]~-\infty~;~2~].

  6. −1<x<4⇔x∈]−1;4[-1<x<4 \;\Longleftrightarrow\; x\in ]~-1~;~4~[.

  7. −2<x≤6⇔x∈]−2;6]-2<x\le 6 \;\Longleftrightarrow\; x\in ]~-2~;~6~].

Exercice 3 ★★

Voir vidéo

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  1. x∈[1;4]⇔1≤x≤4x \in [\,1\,;~4\,] \;\Longleftrightarrow\; 1 \le x \le 4.

  2. x∈]−1;14[⇔−1<x<14x \in ]\,-1\,;~14\,[ \;\Longleftrightarrow\; -1 < x < 14.

  3. x∈]−∞;−3]⇔x≤−3x \in ]\,-\infty\,;~-3\,] \;\Longleftrightarrow\; x \le -3.

  4. x∈[−2;+∞[⇔x≥−2x \in [\,-2\,;~+\infty[ \;\Longleftrightarrow\; x \ge -2.

  5. x∈]−7;7,1]⇔−7<x≤7,1x \in ]\,-7\,;~7{,}1\,] \;\Longleftrightarrow\; -7 < x \le 7{,}1.

  6. x∈[1;+∞[⇔x≥1x \in [\,1\,;~+\infty[ \;\Longleftrightarrow\; x \ge 1.

Exercice 4 ★★

Pour chaque question, traduire l’intervalle par une inégalité.

Question 1

[-3 ; 5]

Réponse : ……………………………………………………………………..

Question 2

[-2 ; 4[

Réponse : ……………………………………………………………………..

Question 3

]3 ; 6]

Réponse : ……………………………………………………………………..

Question 4

]−∞ ; −3]

Réponse : ……………………………………………………………………..

Question 5

[0 ; +∞[

Réponse : ……………………………………………………………………..

Question 6

[5 ; +∞[

Réponse : ……………………………………………………………………..

Question 7

[−2 ; +∞[

Réponse : ……………………………………………………………………..

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Fiches complétées

Exemple

Intervalle : ]−2;10[]-2;10[

Inégalité : −2<x<10-2<x<10

Phrase : x est compris entre −2 et 10, bornes exclues.

2

Intervalle : [−3;5][-3;5]

Inégalité : −3≤x≤5-3\le x\le 5

Phrase : x est compris entre −3 et 5, bornes incluses.

3

Intervalle : [−2;4[[-2;4[

Inégalité : −2≤x<4-2\le x<4

Phrase : −2 est inclus et 4 est exclu.

4

Intervalle : ]3;6]]3;6]

Inégalité : 3<x≤63<x\le 6

Phrase : 3 est exclu et 6 est inclus.

5

Intervalle : ]−∞;−3]]-\infty;-3]

Inégalité : x≤−3x\le-3

Phrase : x est inférieur ou égal à −3.

6

Intervalle : [0;+∞[[0;+\infty[

Inégalité : x≥0x\ge0

Phrase : x est supérieur ou égal à 0.

7

Intervalle : [5;+∞[[5;+\infty[

Inégalité : x≥5x\ge5

Phrase : x est supérieur ou égal à 5.

8

Intervalle : [−2;+∞[[-2;+\infty[

Inégalité : x≥−2x\ge-2

Phrase : x est supérieur ou égal à −2.

Exercice 5 ★★

Vrai ou faux ?

  1. 13∈[0,3;0,33]\dfrac{1}{3} \in [~0,3 ~;~ 0,33~]

  2. 2∉]2;+∞[\sqrt{2} \notin~ ]~2~;~ +\infty~[

  3. π∈]−∞;3,14]\pi \in ]~-\infty ~;~ 3,14~]

  4. −5,2∉]−∞;−5,3]-5,2 \notin ~]~-\infty ~;~ -5,3~]

  5. 4∈[4;4,9]4 \in [4 ~;~ 4,9~]

  6. 57∈[0,5;0,9]\dfrac{5}{7} \in [~0,5 ~;~ 0,9~]

  7. 7∉]2,5;3[\sqrt{7} \notin~ ]~2,5~;~ 3~[

  8. 10∉]10;13[10 \notin~ ]10~;~ 13~[

  9. 3−π∈]−4;−0,1417]3-\pi \in ]~-4 ~;~ -0,1417~]

  10. π2∈]9;9,4]\pi^2 \in ]~9 ~;~ 9,4~]

  11. −1,4∉]−∞;2]-1,4 \notin ~]~-\infty ~;~ \sqrt{2}~]

  12. 3,0001∈]3;3,00000001]3,0001 \in ]~3 ~;~ 3,00000001~]

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  1. Faux : 13≈0,333…>0,33\dfrac{1}{3}\approx 0{,}333\ldots > 0{,}33 donc 13∉[0,3;0,33]\dfrac{1}{3}\notin[\,0{,}3\,;\,0{,}33\,].

  2. Vrai : 2≈1,414<2\sqrt{2}\approx 1{,}414<2 donc 2∉]2;+∞[\sqrt{2}\notin ]\,2\,;\,+\infty[.

  3. Faux : π≈3,14159>3,14\pi\approx 3{,}14159>3{,}14 donc π∉]−∞;3,14]\pi\notin ]-\infty\,;\,3{,}14].

  4. Vrai : −5,2>−5,3-5{,}2>-5{,}3 donc −5,2∉]−∞;−5,3]-5{,}2\notin ]-\infty\,;\,-5{,}3].

  5. Faux : [4;4,9][\,4\,;\,4{,}9\,] est fermé en 4 donc continet 4 4∈[4;0,9]4\in[\,4\,;\,0{,}9\,].

  6. Vrai : 57≈0,714∈[0,5;0,9]\dfrac{5}{7}\approx 0{,}714\in[\,0{,}5\,;\,0{,}9\,].

  7. Faux : 7≈2,646∈]2,5;3[\sqrt{7}\approx 2{,}646\in ]\,2{,}5\,;\,3[\,; l’assertion « ∉\notin » est donc fausse.

  8. Vrai : 10∉]10;13[10\notin ]\,10\,;\,13[\, (10 est exclu).

  9. Faux : 3−π≈−0,14159>−0,14173-\pi\approx -0{,}14159>-0{,}1417 donc 3−π∉]−4;−0,1417]3-\pi\notin ]-4\,;\,-0{,}1417].

  10. Faux : π2≈9,87>9,4\pi^2\approx 9{,}87>9{,}4 donc π2∉]9;9,4]\pi^2\notin ]\,9\,;\,9{,}4].

  11. Faux : −1,4≤2-1{,}4\le \sqrt{2} donc −1,4∈]−∞;2]-1{,}4\in ]-\infty\,;\,\sqrt{2}] (l’assertion « ∉\notin » est fausse).

  12. Faux : 3,0001>3,000000013{,}0001>3{,}00000001 donc 3,0001∉]3;3,00000001]3{,}0001\notin ]\,3\,;\,3{,}00000001].

Exercice 6 ★★

Représenter dans chaque cas sur la droite réelle les ensembles suivants.

  1. [5;12]∩[8;13][~5 ~;~ 12~] \cap [~8 ~;~ 13~]

  2. ]−4;2]∪[0;+∞[]~-4 ~;~ 2~] \cup [~0 ~;~ +\infty~[

  3. ]−∞;−3]∩]−∞;−5]]~-\infty ~;~ -3~] \cap ]~-\infty ~;~ -5~]

  4. ]−∞;−3]∪]−5;−3[]~-\infty ~;~ -3~] \cup ]~-5 ~;~ -3~[

  5. ]−3;0]∪]0;6]]~-3 ~;~ 0~] \cup ]~0 ~;~ 6~]

  6. ]−∞;6]∪]7;10[]~-\infty ~;~ 6~] \cup ]~7 ~;~ 10~[

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  1. [5;12]∩[8;13]=[8;12][5;12] \cap [8;13] = [8;12]

    812

  2. ]−4;2]∪[0;+∞[=]−4;+∞[] -4;2] \cup [0;+\infty[ = ]-4;+\infty[

    −4

  3. ]−∞;−3]∩]−∞;−5]=]−∞;−5]]-\infty;-3] \cap ]-\infty;-5] = ]-\infty;-5]

    −5

  4. ]−∞;−3]∪]−5;−3[=]−∞;−3]]-\infty;-3] \cup ]-5;-3[ = ]-\infty;-3]

    −3

  5. ]−3;0]∪]0;6]=]−3;6]]-3;0] \cup ]0;6] = ]-3;6]

    −36

  6. ]−∞;6]∪]7;10[=]−∞;6]∪]7;10[]-\infty;6] \cup ]7;10[ = ]-\infty;6] \cup ]7;10[

    6710

Exercice 7 ★★

Noter le plus simplement possible les ensembles suivants. On pourra s’aider avec des schémas.

a) [2;7]∪[5;11[[~2 ~;~ 7~] \cup [~5 ~;~ 11~[ b) ]−5;1[∩[12;+∞[]~-5 ~;~ 1~[ \cap [~\frac{1}{2} ~;~ +\infty~[ c) ]−∞;−3]∩]2;4]]~-\infty ~;~ -3~] \cap ]~2 ~;~ 4~] d) ]−∞;5]∪]4;+∞[]~-\infty ~;~ 5~] \cup ]~4 ~;~ +\infty~[

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a) [2;7]∪[5;11[=[2;11[b) ]−5;1[∩[12;+∞[=[12;1[c) ]−∞;−3]∩]2;4]=⌀d) ]−∞;5]∪]4;+∞[=]−∞;+∞[\begin{aligned} \text{a) }~[2;7] \cup [5;11[ &= [2;11[\\ \text{b) }~]-5;1[ \cap [\tfrac12;+\infty[ &= [\tfrac12;1[\\ \text{c) }~]-\infty;-3] \cap ]2;4] &= \varnothing\\ \text{d) }~]-\infty;5] \cup ]4;+\infty[ &= ]-\infty;+\infty[ \end{aligned}

Exercice 8 ★★

On pose : I=[−1;2]I=[-1;2] ; J=]0;4[J=\;]0;4[ et K=[2;3[K=[2;3[

  1. Compléter à l’aide de ∈\in ou de ∉\notin :

    Éléments à étudier :

    • 0……I0 \ldots \ldots I
    • 0……J0\ldots \ldots J
    • 0……K0\ldots \ldots K
    • 2……J\sqrt{2}\ldots \ldots J
    • 73……K\dfrac{7}{3}\ldots \ldots K
    • 2……I2\ldots \ldots I
    • 2……J2\ldots \ldots J
    • 2……K2\ldots \ldots K
    • 3……I3\ldots \ldots I
    • 3……J3\ldots \ldots J
    • 3……K3\ldots \ldots K
    • 10−7……J10^{\,-7}\ldots \ldots J

  2. Déterminer : I∪JI\cup J ; I∪KI\cup K ; J∪KJ\cup K ; I∩JI\cap J ; I∩KI\cap K ; J∩KJ\cap K.

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  1. On a I=[−1;2]I=[-1;2], J=]0;4[J=\;]0;4[ et K=[2;3[K=\;[2;3[. 0∈I0∉J0∉K2∈J73∈K2∈I2∈J2∉K3∉I3∈J3∈K10−7∈J\begin{array}{llllll} 0 \in I & 0 \notin J & 0 \notin K & \sqrt{2}\in J & \dfrac{7}{3}\in K & 2\in I\\ 2\in J & 2\notin K & 3\notin I & 3\in J & 3\in K & 10^{-7}\in J \end{array}

  2. I∪J=[−1;4[,I∪K=[−1;3[,J∪K=]0;4[,I∩J=]0;2],I∩K=⌀,J∩K=[2;3[.\begin{aligned} I\cup J &= [-1;4[, & I\cup K &= [-1;3[, & J\cup K &= \;]0;4[,\\[2pt] I\cap J &= \;]0;2], & I\cap K &= \varnothing, \qquad & J\cap K &= [2;3[. \end{aligned}

Exercice 9 ★★

  1. Traduire les affirmations suivantes à l’aide d’inégalités :

    Le classement complet est présenté sans tableau dans les explications, et détaillé pas à pas dans la correction vidéo.

  2. Traduire les inégalités suivantes à l’aide d’intervalles :

    Éléments à étudier :

    • a>1a>1 \qquad
    • 0<a≤50<a\leqslant 5 \qquad
    • a≤−3a\leqslant -3 \qquad
    • −2≤a≤6-2\leqslant a \leqslant 6 \qquad
    • a<3a<\sqrt{3} \qquad
    • π≥a>2\pi\geqslant a > 2
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  1. Traduction en inégalités : a∈[−4;4]⇔−4≤a≤4a∈]−∞;1]⇔a≤1a∈]1;7[⇔1<a<7a∈]3;+∞[⇔a>3a∉]−∞;2]⇔a>2a∉ℝ−*(=]−∞;0[)⇔a≥0\begin{array}{lll} a\in[-4;4] &\Longleftrightarrow& -4\le a\le 4\\[2pt] a\in\,]-\infty;1] &\Longleftrightarrow& a\le 1\\[2pt] a\in\,]1;7[ &\Longleftrightarrow& 1<a<7\\[2pt] a\in\,]3;+\infty[ &\Longleftrightarrow& a>3\\[2pt] a\notin\,]-\infty;2] &\Longleftrightarrow& a>2\\[2pt] a\notin \mathbb{R}^{-*} \ (=\,]-\infty;0[) &\Longleftrightarrow& a\ge 0 \end{array}

  2. Traduction en intervalles : a>1⇔a∈]1;+∞[0<a≤5⇔a∈]0;5]a≤−3⇔a∈]−∞;−3]−2≤a≤6⇔a∈[−2;6]a<3⇔a∈]−∞;3[π≥a>2(2<a≤π)⇔a∈]2;π]\begin{array}{lll} a>1 &\Longleftrightarrow& a \in ]1;+\infty[\\[2pt] 0<a\le 5 &\Longleftrightarrow& a \in ]0;5]\\[2pt] a\le -3 &\Longleftrightarrow& a \in]-\infty;-3]\\[2pt] -2\le a\le 6 &\Longleftrightarrow& a \in[-2;6]\\[2pt] a<\sqrt{3} &\Longleftrightarrow& a \in]-\infty;\sqrt{3}[\\[2pt] \pi\ge a>2 \ (2<a\le\pi) &\Longleftrightarrow& a \in]2;\pi] \end{array}

Exercice 10 ★★

  1. Compléter le tableau suivant :

    Éléments à étudier :

    • Inégalité(s)
    • Intervalles(s)
    • x∈]−2;12]x\in \left] -2 ; \dfrac{1}{2}\right]
    • x≥−3x\geqslant -\sqrt{3}
    • x>−35x>-\dfrac{3}{5} ou x<−53x<-\dfrac{5}{3}
    • x∈]−∞;1011]∩[34;910]x\in \left]-\infty ;\dfrac{10}{11} \right] \cap \left[ \dfrac{3}{4}; \dfrac{9}{10}\right]

  2. Soit les intervalles I=]−∞;3]I=\left] -\infty ; 3 \right] et J=]−3;5[J=\left]-3 ; 5\right[ . Déterminer I∩JI \cap J et I∪JI \cup J

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  1. Compléter le tableau.

    Éléments à étudier :

    • Inégalité(s)
    • Intervalle(s)
    • −2<x≤12-2 < x \leqslant \dfrac{1}{2}
    • x∈]−2;12]x \in ]\, -2 \,;\, \dfrac{1}{2}\,]
    • x≥−3x \geqslant -\sqrt{3}
    • x∈[−3;+∞[x \in [\, -\sqrt{3} \,;\, +\infty \,[
    • x>−35oux<−53x > -\dfrac{3}{5} \;\; \text{ou} \;\; x < -\dfrac{5}{3}
    • x∈]−∞;−53[∪]−35;+∞[x \in ]\, -\infty \,;\, -\dfrac{5}{3} \,[ \;\cup\; ]\, -\dfrac{3}{5} \,;\, +\infty \,[
    • 34≤x≤910\dfrac{3}{4} \leqslant x \leqslant \dfrac{9}{10}
    • x∈[34;910]x \in [\, \dfrac{3}{4} \,;\, \dfrac{9}{10} \,]

  2. Avec I=]−∞;3]I=]\, -\infty \,;\, 3 \,] et J=]−3;5[J=]\, -3 \,;\, 5 \,[ : I∩J=]−3;3],I∪J=]−∞;5[.I \cap J \;=\; ]\, -3 \,;\, 3 \,], \qquad I \cup J \;=\; ]\, -\infty \,;\, 5 \,[\,.

Exercice 11 ★★

Compléter, pour chaque question, l’écriture manquante.

a

Intervalle : ]−56;2]]-\frac56;2]

Inégalité : ……………………………………………………….

b

Intervalle : ……………………………………………………….

Inégalité : x≥34x\ge\frac34

c

Intervalle : ]−∞;2[]-\infty;\sqrt2[

Inégalité : ……………………………………………………….

d

Intervalle : ……………………………………………………….

Inégalité : x<−5oux>5x<-5\ \text{ou}\ x>5

e

Intervalle : [34;78][\frac34;\frac78]

Inégalité : ……………………………………………………….

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Correction

a

Intervalle : ]−56;2]]-\frac56;2]

Inégalité : −56<x≤2-\frac56<x\le2

b

Intervalle : [34;+∞[[\frac34;+\infty[

Inégalité : x≥34x\ge\frac34

c

Intervalle : ]−∞;2[]-\infty;\sqrt2[

Inégalité : x<2x<\sqrt2

d

Intervalle : ]−∞;−5[∪]5;+∞[]-\infty;-5[\cup]5;+\infty[

Inégalité : x<−5oux>5x<-5\ \text{ou}\ x>5

e

Intervalle : [34;78][\frac34;\frac78]

Inégalité : 34≤x≤78\frac34\le x\le\frac78

Exercice 12 ★★

Compléter, pour chaque question, l’écriture manquante.

a

Intervalle : ]−∞;−10]∪]−56;2]]-\infty;-10]\cup]-\frac56;2]

Inégalité : ……………………………………………………….

b

Intervalle : ……………………………………………………….

Inégalité : −27≤x≤37-\frac27\le x\le\frac37

c

Intervalle : [−7;0][-7;0]

Inégalité : ……………………………………………………….

d

Intervalle : ……………………………………………………….

Inégalité : x<0oux≥−10x<0\ \text{ou}\ x\ge-10

e

Intervalle : [−34;13][-\frac34;\frac13]

Inégalité : ……………………………………………………….

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Correction

a

Intervalle : ]−∞;−10]∪]−56;2]]-\infty;-10]\cup]-\frac56;2]

Inégalité : x≤−10ou−56<x≤2x\le-10\ \text{ou}\ -\frac56<x\le2

b

Intervalle : [−27;37][-\frac27;\frac37]

Inégalité : −27≤x≤37-\frac27\le x\le\frac37

c

Intervalle : [−7;0][-7;0]

Inégalité : −7≤x≤0-7\le x\le0

d

Intervalle : ℝ\mathbb R

Inégalité : x<0oux≥−10x<0\ \text{ou}\ x\ge-10

e

Intervalle : [−34;13][-\frac34;\frac13]

Inégalité : −34≤x≤13-\frac34\le x\le\frac13

Exercice 13 ★★

  1. Compléter le tableau suivant :

    Éléments à étudier :

    • Inégalité(s)
    • Intervalles(s)
    • x∈[−4;13]x\in \left[ -4 ; \dfrac{1}{3}\right]
    • x≤−25x\leqslant -2\sqrt{5}
    • x>−35x>-\dfrac{3}{5} ou x<237x<\dfrac{23}{7}
    • x∈]−∞;1013]∩[−1;π]x\in \left]-\infty ;\dfrac{10}{13} \right] \cap \left[ -1;\pi\right]

  2. Soit les intervalles I=]−∞;5]I=\left] -\infty ; 5\right] et J=]−2;6[J=\left]-2 ; 6\right[ . Déterminer I∩JI \cap J et I∪JI \cup J

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  1. Compléter le tableau.

    Éléments à étudier :

    • Inégalité(s)
    • Intervalle(s)
    • −4≤x≤13-4 \le x \le \dfrac{1}{3}
    • x∈[−4;13]x \in [\, -4 \,;\, \dfrac{1}{3} \,]
    • x≤−25x \le -2\sqrt{5}
    • x∈]−∞;−25]x \in ]\, -\infty \,;\, -2\sqrt{5} \,]
    • x>−35oux<237x > -\dfrac{3}{5} \;\text{ou}\; x < \dfrac{23}{7}
    • x∈]−∞;+∞[=ℝx \in ]\, -\infty \,;\, +\infty \,[ \;=\; \mathbb{R}
    • −1≤x≤1013-1 \le x \le \dfrac{10}{13}
    • x∈[−1;1013]x \in [\, -1 \,;\, \dfrac{10}{13} \,]

  2. Avec I=]−∞;5]I=]\, -\infty \,;\, 5 \,] et J=]−2;6[J=]\, -2 \,;\, 6 \,[ : I∩J=]−2;5],I∪J=]−∞;6[.I \cap J \;=\; ]\, -2 \,;\, 5 \,], \qquad I \cup J \;=\; ]\, -\infty \,;\, 6 \,[\,.

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