Les ensembles

Parmi ces nombres, lesquels sont décimaux ?

Rappel (corrigé). Si un rationnel est écrit sous forme irréductible $\dfrac{a}{b}$, alors il est décimal ssi $b=2^m5^n$ (avec $m,n\in\mathbb{N}$), c’est-à-dire ssi le dénominateur n’a pas d’autre diviseur premier que $2$ et $5$.

1. • Réduction. $\dfrac{2}{3}$ est déjà irréductible (PGCD$(2,3)=1$).

   • Analyse du dénominateur. $3$ est premier et différent de $2$ et $5$.

   • Conclusion. Comme le dénominateur (en écriture irréductible) possède un diviseur premier $\neq 2,5$ (ici $3$), $\dfrac{2}{3}$ n’est pas un décimal.
     donc $\dfrac{2}{3}\notin \mathbb{D}$.

   • Réduction. $\dfrac{16}{240}=\dfrac{1}{15}$ (division par $16$).

   • Analyse du dénominateur. $15=3\times5$ contient le diviseur premier $3$ (différent de $2$ et $5$).

   • Conclusion. Le dénominateur (en écriture irréductible) possède un facteur premier $\neq 2,5$ donc $\dfrac{1}{15}$ n’est pas décimal.
     donc $\dfrac{16}{240}\notin \mathbb{D}$.

   • Réduction. $\dfrac{54}{31}$ est irréductible (PGCD$(54,31)=1$).

   • Analyse du dénominateur. $31$ est premier et $\neq 2,5$.

   • Conclusion. Le dénominateur (en écriture irréductible) possède un diviseur premier $\neq 2,5$ donc $\dfrac{54}{31}$
     donc $\dfrac{54}{31}\notin \mathbb{D}$.

   • Réduction. $\dfrac{156250}{1128}=\dfrac{78125}{564}$ (division par $2$), et c’est irréductible (PGCD$(78125,564)=1$)

     (En effet, 78125 n’est pas divisible par 2 , 3 et 47 et que $564=2^2\cdot 3\cdot 47$).

   • Analyse du dénominateur. $564=2^2\cdot 3\cdot 47$ contient les premiers $3$ et $47$ (différents de $2,5$).

   • Conclusion. Le dénominateur (en écriture irréductible) possède des diviseurs premiers $\neq 2,5$ donc $\dfrac{78125}{564}$ est non décimal .
     donc $\dfrac{156250}{1128}\in \mathbb{Q}\setminus\mathbb{D}$.

2. • Réduction. $-\dfrac{31}{1700}$ est irréductible (PGCD$(31,1700)=1$)

     (en effet 1700=$1700=17\times2^2\times5^2$

   • Analyse du dénominateur. $1700=17\cdot 2^2\cdot 5^2$ contient le premier $17$ (différent de $2,5$).

   • Conclusion. Le dénominateur (en écriture irréductible) possède un diviseur premier $\neq 2,5$ donc $-\dfrac{31}{1700}$ est non décimal .
     donc $-\dfrac{31}{1700}\notin \mathbb{D}$.

   • Réduction. $\dfrac{13230}{14000}=\dfrac{189}{200}$ (PGCD$=70$).

   • Analyse du dénominateur. $200=2^3\cdot 5^2$ ne contient que les premiers $2$ et $5$.

   • Conclusion. Le dénominateur est de la forme $2^m5^n$ donc $\dfrac{189}{200}$ est décimal.
     $\Rightarrow$

     Remarque $\dfrac{189}{200}=\dfrac{189 \times 5}{200\times 5}=\dfrac{945}{1000}=0,945$

   • Réduction. $-\sqrt{81}=-9$ .

   • Conclusion. -9 est décimal car entier.
     $-\sqrt{81} \in \mathbb{D}$.

   • Réduction. $\dfrac{123}{500}$ est irréductible (PGCD$(123,500)=1$).

   • Analyse du dénominateur. $500=2^2\cdot 5^3$ ne contient que des facteurs premiers $2$ et $5$.

   • Conclusion. Le dénominateur est de la forme $2^m5^n$ donc $\dfrac{123}{500}$ est décimal.
     donc $\dfrac{123}{500}\in \mathbb{D}$.

     Remarque :$\dfrac{123}{500}=\dfrac{246}{1000}=0,246$.

Ce sont toutes des fractions irréductibles .

Rappel : un rationnel est décimal si et seulement si, après réduction, son dénominateur ne possède aucun facteur premier autre que 2 et 5.

$$\begin{aligned} \text{Décimaux : }&\frac11=1,\quad\frac12=0{,}5,\quad\frac14=0{,}25,\\ &\frac15=0{,}2,\quad\frac18=0{,}125,\\ &\frac1{10}=0{,}1. \end{aligned}$$

$$\text{Non décimaux : }\ \frac13,\ \frac16,\ \frac17,\ \frac19.$$

Décimaux et rationnels.

• Décimaux : $10$ (entier), $-3$ (entier), $\dfrac{7}{4}=1{,}75$ (car $4=2^2$).

• Non décimaux : $\dfrac{7}{3}$ (irréductible et dénominateur divisible par $3$), $\sqrt{2}$ (irrationnel), $\pi$ (irrationnel).

• Rationnels : $10,\ -3$ (entiers) , $\dfrac{7}{4},\ \dfrac{7}{3}$ (fractions).

• Irrationnels : $\sqrt{2},\ \pi$.

Tableau corrigé

Explications, sur une seule colonne :

1. $0$ : naturel, entier, décimal, rationnel et réel.

2. $4{,}5$ : décimal, donc rationnel et réel.

3. $7{,}0=7$ : naturel, entier, décimal, rationnel et réel.

4. $-11$ : entier, décimal, rationnel et réel.

5. $\frac{11}{3}$ : rationnel non décimal.

6. $-\frac{21}{3}=-7$ : entier, décimal, rationnel et réel.

7. $\frac14=0{,}25$ : décimal, rationnel et réel.

8. $-\frac{55}{5}=-11$ : entier, décimal, rationnel et réel.

9. $3{,}1415$ : décimal, rationnel et réel.

10. $\frac37$ : rationnel non décimal.

11. $\pi-1$ : irrationnel : il appartient seulement à ℝ.

12. $1+\sqrt2$ : irrationnel : il appartient seulement à ℝ.

13. $\sqrt{196}=14$ : naturel, entier, décimal, rationnel et réel.

14. $-10^2=-100$ : entier, décimal, rationnel et réel.

Nombres dans l’intervalle $[-4,3]$. Exemples demandés.

1. Trois dans $\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N}$ : $-4,\ -3,\ -1$.

2. Trois dans $\mathbb{D}\setminus\mathbb{Z}$ : $2{,}5,\ -0{,}8,\ -3{,}2$.

3. Un rationnel non décimal : $\dfrac{1}{3}$.

4. Un réel non rationnel (irrationnel) : $\sqrt{2}$.

Vrai / Faux — avec justifications.

1. Faux. Un entier peut être négatif strictement (ex. $-3$ ).

2. Vrai. Si $n\in\mathbb{Z}$ alors $-n\in\mathbb{Z}$ (stabilité par l’opposé).

3. Faux. Tout entier est décimal (écriture finie : $5=5{,}0$).

4. Faux. Par ex. l’inverse de $3$ est $\frac13$, qui n’est pas décimal.

5. Vrai. Un décimal (écriture finie) est un rationnel de type $\frac{p}{2^a5^b}$.

6. Vrai. Si $x$ est irrationnel et $\frac{1}{x}$ était rationnel $=\frac{p}{q}$, alors $x=\frac{q}{p}$ serait rationnel — contradiction.

7. Faux. Un quotient peut être irrationnel (ex. $\frac{\sqrt2}{1}=\sqrt2$).

8. Vrai. Les naturels sont inclus dans les entiers relatifs (ex. $3\in\mathbb{N}\cap\mathbb{Z}$).

9. Vrai. $3=\frac{3}{1}$ est rationnel.

10. Vrai. L’inverse de $-\frac{8}{3}$ est $-\frac{3}{8}=-0{,}375$, qui est décimal.

Décider si chaque nombre est décimal (sans calculatrice).

Rappel — Un rationnel est décimal ssi, après réduction, son dénominateur est de la forme $2^{a}5^{b}$ ($a,b\in\mathbb N$).

Tout nombre irrationnel n’est pas décimal.

• $A=\dfrac{7}{3}$ : non décimal (dénominateur $3$).

• $B=\dfrac{1}{25}$ : décimal ($25=5^2$).

• $C=2\pi$ : non décimal (irrationnel).

• $D=0{,}54785478$ : décimal (écriture finie).

• $E=\dfrac{105}{21}=5$ : décimal (entier).

• $F=\dfrac{0{,}8}{1{,}6}=\dfrac{8/10}{16/10}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}$ : décimal.

• $G=\dfrac{0{,}5}{0{,}15}=\dfrac{5/10}{15/100}=\dfrac{500}{150}=\dfrac{10}{3}$ : non décimal (dénominateur $3$).

• $H=3\times10^{-100}$ : décimal (puissance de $10$ $\Rightarrow$

• $I=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ : non décimal (irrationnel).

• $J=-\dfrac{1525}{244}=-\dfrac{61\cdot25}{4\cdot61}=-\dfrac{25}{4}$ : décimal.

• $K=\dfrac{12{,}1}{4}=\dfrac{121/10}{4}=\dfrac{121}{40}$ avec $40=2^3\cdot5$ : décimal.

• $L=\dfrac{132}{11}=12$ : décimal (entier).

• $M=\dfrac{4}{\sqrt{8}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ : non décimal (irrationnel).

• $N=\dfrac{1}{0{,}375}=\dfrac{1}{375/1000}=\dfrac{1000}{375}=\dfrac{8}{3}$ : non décimal (dénominateur $3$).

1. $A=\dfrac{1}{3}=0{,}\overline{3}$

2. $B=\dfrac{1}{6}=0{,}1\overline{6}$

3. $C=\dfrac{1}{9}=0{,}\overline{1}$

4. $D=\dfrac{27}{9}=3$

5. $E=\dfrac{5}{3}=1{,}\overline{6}$

6. $F=\dfrac{67}{3}=22{,}\overline{3}$

7. $G=\dfrac{41}{9}=4{,}\overline{5}$

8. $H=-\dfrac{7}{12}=-0{,}58\overline{3}$

9. $I=\dfrac{4}{15}=0{,}2\overline{6}$

10. $J=-\dfrac{19}{11}=-1{,}\overline{72}$

11. $K=\dfrac{1}{7}=0{,}\overline{142857}$

12. $L=\dfrac{1}{13}=0{,}\overline{076923}$

13. $M=\dfrac{2}{33}=0{,}\overline{06}$

14. $N=\dfrac{123}{999}=0{,}\overline{123}$

Tableau corrigé

Explications, sur une seule colonne :

1. $\frac{35}{7}=5$ : naturel.

2. $\frac{27}{100}=0{,}27$ : décimal.

3. $\frac{\sqrt5+3\sqrt5}{\sqrt5}=4$ : naturel.

4. $1-\sqrt3$ : irrationnel.

5. $\pi$ : irrationnel.

6. $\frac{24}{30}=\frac45=0{,}8$ : décimal.

7. $\sqrt{5^2-4^2}=3$ : naturel.

8. $(1+\sqrt5)(1-\sqrt5)=-4$ : entier relatif.

9. $0{,}11111111111$ : décimal car son écriture est finie.

10. $\frac{341}{19}$ : rationnel non décimal : la fraction est irréductible et son dénominateur vaut 19.

1. Possible. Les naturels sont des entiers relatifs, donc par exemple $1$ convient.

2. Possible. Par exemple $\dfrac{16}{3}=5{,}333\ldots$ est rationnel mais non décimal (développement infini périodique).

3. Impossible. Tout nombre décimal (écriture décimale finie) est rationnel. Il ne peut donc pas être « décimal » et « non rationnel ».

4. Possible. Par exemple $7+\sqrt{2}\approx 8{,}414\ldots$ est réel, $>7$, et non décimal (irrationnel).

5. Possible. Par exemple $-\sqrt{2}$ est irrationnel, non décimal et négatif.

6. Possible. On a $\dfrac{3}{2}=1{,}5$ et $\dfrac{5}{3}\approx 1{,}666\ldots$ ; par exemple $1{,}6$ convient (décimal).

7. Possible. Par exemple $\sqrt{210}$ vérifie $14^2<210<15^2$, donc $14<\sqrt{210}<15$, et c’est irrationnel.

8. Possible. Entre $\dfrac{31}{13}$ et $\dfrac{32}{13}$, on peut prendre la moyenne : $$\frac{\frac{31}{13}+\frac{32}{13}}{2}=\frac{63}{26}\approx 2{,}423\ldots$$ C’est rationnel et bien dans l’intervalle.

9. Possible. On sait $\pi\approx 3{,}14159$ et $\sqrt{10}\approx 3{,}16228$. Par exemple $\dfrac{22}{7}\approx 3{,}142857$ est rationnel et vérifie $\pi<\dfrac{22}{7}<\sqrt{10}$.

10. Possible. Chercher $n\in\mathbb{Z}$ tel que $32<\sqrt{n}<33$ équivaut à $1024<n<1089$. Par exemple $n=1050$ convient (et plus généralement tout $n\in\{1025,\dots,1088\}$).

1. Vrai. Si $n\in\mathbb{Z}$, alors $-n\in\mathbb{Z}$.

2. Faux. Contre-exemple : l’inverse de $3$ est $\dfrac{1}{3}=0{,}\overline{3}$, qui n’est pas un décimal (développement infini périodique).

3. Vrai. Si $x=\dfrac{a}{b}$ avec $a,b\in\mathbb{Z}$ et $b\neq 0$, alors $x^{-1}=\dfrac{b}{a}$ est encore rationnel (pour $a\neq 0$).

4. Vrai. (pour tout irrationnel non nul) Si $x$ est irrationnel et $x\neq 0$, alors $x^{-1}$ est irrationnel ; sinon, si $x^{-1}$ était rationnel, on aurait $x=\dfrac{1}{x^{-1}}$ rationnel, contradiction.

5. Vrai. Exemple : $(\sqrt{2})^2=2$ qui est rationnel.

6. Vrai. Tout entier s’écrit avec un nombre fini de décimales : $5=5{,}0$, etc. (au sens « écriture décimale finie »).

7. Faux. Contre-exemple : $\sqrt{9}=3$ est rationnel. (Plus généralement, $\sqrt{n}$ est rationnel si $n$ est un carré parfait.)

8. Faux. $\dfrac{22}{7}=3{,}142857142857\ldots$ ; $3{,}142857143$ n’est qu’un arrondi à $9$ décimales, donc l’égalité écrite est fausse.

9. Vrai. $3{,}375=\dfrac{27}{8}$, donc son inverse vaut $\dfrac{8}{27}$.

10. Vrai. L’inverse de $-\dfrac{16}{7}$ est $-\dfrac{7}{16}=-0{,}4375$, qui est un décimal.