Cours — Tableaux croisés et probabilités conditionnelles
Tableau croisé : une case intérieure correspond aux individus qui vérifient les deux conditions. Les totaux de lignes et de colonnes sont les effectifs marginaux.
| B | Non B | Total | |
|---|---|---|---|
| A | card(A ∩ B) | card(A ∩ B̄) | card(A) |
| Non A | card(Ā ∩ B) | card(Ā ∩ B̄) | card(Ā) |
| Total | card(B) | card(B̄) | card(Ω) |
Proportion
effectif étudié / effectif de référence
effectif étudié / effectif de référence
Équiprobabilité
P(A) = card(A) / card(Ω)
P(A) = card(A) / card(Ω)
Contraire
P(Ā) = 1 − P(A)
P(Ā) = 1 − P(A)
Union
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Conditionnelle
PB(A) = P(A ∩ B) / P(B) = card(A ∩ B) / card(B)
PB(A) = P(A ∩ B) / P(B) = card(A ∩ B) / card(B)
Indépendance
A et B indépendants ⇔ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
A et B indépendants ⇔ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Réflexe : le mot « parmi » donne le dénominateur.
Exercice 1 — Lire un tableau croisé ★
Le tableau donne la répartition de 200 élèves de Première STMG selon leur sexe et leur régime.
- Donner l’effectif total puis l’effectif marginal des filles.
- En déduire la fréquence marginale des filles.
- Déterminer, en pourcentage, la fréquence des internes.
- Calculer la fréquence des demi-pensionnaires parmi les garçons.
| Filles | Garç. | Tot. | |
|---|---|---|---|
| Externes | 42 | 22 | 64 |
| Demi-pens. | 49 | 55 | 104 |
| Internes | 21 | 11 | 32 |
| Tot. | 112 | 88 | 200 |
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1. Total : 200 ; filles : 112.
2. 112/200 = 56 % : 56 % des élèves sont des filles.
3. 32/200 = 16 % : 16 % des élèves sont internes.
4. 55/88 = 62,5 % : parmi les garçons, 62,5 % sont demi-pensionnaires.
2. 112/200 = 56 % : 56 % des élèves sont des filles.
3. 32/200 = 16 % : 16 % des élèves sont internes.
4. 55/88 = 62,5 % : parmi les garçons, 62,5 % sont demi-pensionnaires.
Exercice 2 — Compléter un tableau croisé ★
Une association sportive compte 240 adhérents, dont 130 internes. 30 % ont choisi le volley ; 25 % sont des internes ayant choisi la natation ; 66 ont choisi le basket ; 40 internes pratiquent le volley.
- Compléter le tableau.
- Calculer la fréquence des externes.
- Calculer la fréquence des nageurs parmi les externes.
- Calculer la fréquence des internes parmi les volleyeurs.
| Basket | Volley | Nat. | Tot. | |
|---|---|---|---|---|
| Internes | ||||
| Externes | ||||
| Tot. |
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| Basket | Volley | Nat. | Tot. | |
|---|---|---|---|---|
| Internes | 30 | 40 | 60 | 130 |
| Externes | 36 | 32 | 42 | 110 |
| Tot. | 66 | 72 | 102 | 240 |
Externes : 110 ; volley : 72 ; internes-natation : 60.
Fréquence des externes : 110/240 ≈ 45,8 % : environ 45,8 % des adhérents sont externes.
Natation parmi externes : 42/110 ≈ 38,2 % : parmi les externes, environ 38,2 % pratiquent la natation.
Internes parmi volley : 40/72 ≈ 55,6 % : parmi les volleyeurs, environ 55,6 % sont internes.
Fréquence des externes : 110/240 ≈ 45,8 % : environ 45,8 % des adhérents sont externes.
Natation parmi externes : 42/110 ≈ 38,2 % : parmi les externes, environ 38,2 % pratiquent la natation.
Internes parmi volley : 40/72 ≈ 55,6 % : parmi les volleyeurs, environ 55,6 % sont internes.
Exercice 3 — Du tableau aux événements ★★
On choisit au hasard un participant. A : « ressent des effets secondaires » ; B : « a reçu un placebo ».
- Calculer P(A) et P(B).
- Calculer et interpréter P(A ∩ B).
- Calculer et interpréter P(Ā ∩ B).
- Calculer et interpréter P(A ∪ B).
| Tête | Ventre | Aucun | Tot. | |
|---|---|---|---|---|
| Méd. | 25 | 18 | 177 | 220 |
| Placebo | 12 | 6 | 62 | 80 |
| Tot. | 37 | 24 | 239 | 300 |
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P(A)=61/300≈0,203 : environ 20,3 % des participants ressentent des effets secondaires.
P(B)=80/300≈0,267 : environ 26,7 % des participants ont reçu un placebo.
P(A ∩ B)=18/300=6 % : 6 % des participants ont reçu un placebo et ressentent des effets secondaires.
P(Ā ∩ B)=62/300≈20,7 % : environ 20,7 % des participants ont reçu un placebo et ne ressentent aucun effet secondaire.
P(A ∪ B)=123/300=41 % : 41 % des participants ressentent des effets secondaires ou ont reçu un placebo (éventuellement les deux).
P(B)=80/300≈0,267 : environ 26,7 % des participants ont reçu un placebo.
P(A ∩ B)=18/300=6 % : 6 % des participants ont reçu un placebo et ressentent des effets secondaires.
P(Ā ∩ B)=62/300≈20,7 % : environ 20,7 % des participants ont reçu un placebo et ne ressentent aucun effet secondaire.
P(A ∪ B)=123/300=41 % : 41 % des participants ressentent des effets secondaires ou ont reçu un placebo (éventuellement les deux).
Exercice 4 — Intersection et probabilités conditionnelles ★★
Dans un lycée de 500 élèves : F = « l’élève est une fille » et T = « l’élève est en Terminale ». On sait que 52 % sont des garçons, 40 % sont en Terminale et 27 % sont des filles de Terminale.
- Traduire ces trois informations avec des probabilités.
- Compléter le tableau.
- Calculer P(F̄ ∩ T).
- Calculer PF(T) et PT(F).
| T | T̄ | Tot. | |
|---|---|---|---|
| F | |||
| F̄ | |||
| Tot. | 500 |
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| T | T̄ | Tot. | |
|---|---|---|---|
| F | 135 | 105 | 240 |
| F̄ | 65 | 195 | 260 |
| Tot. | 200 | 300 | 500 |
P(F̄)=0,52 : 52 % des élèves sont des garçons.
P(T)=0,40 : 40 % des élèves sont en Terminale.
P(F ∩ T)=0,27 : 27 % des élèves sont des filles de Terminale.
P(F̄ ∩ T)=65/500=0,13 : 13 % des élèves sont des garçons de Terminale.
PF(T)=135/240=0,5625 : parmi les filles, 56,25 % sont en Terminale.
PT(F)=135/200=0,675 : parmi les élèves de Terminale, 67,5 % sont des filles.
P(T)=0,40 : 40 % des élèves sont en Terminale.
P(F ∩ T)=0,27 : 27 % des élèves sont des filles de Terminale.
P(F̄ ∩ T)=65/500=0,13 : 13 % des élèves sont des garçons de Terminale.
PF(T)=135/240=0,5625 : parmi les filles, 56,25 % sont en Terminale.
PT(F)=135/200=0,675 : parmi les élèves de Terminale, 67,5 % sont des filles.
Exercice 5 — Lire des probabilités dans un tableau ★★
On choisit une voiture au hasard.
- Probabilité qu’elle soit française ?
- Française et blanche ?
- Grise sachant qu’elle est française ?
- Étrangère sachant qu’elle est blanche ?
| Bl. | Gr. | Aut. | Tot. | |
|---|---|---|---|---|
| Françaises | 4 | 12 | 2 | 18 |
| Étrangères | 4 | 7 | 1 | 12 |
| Tot. | 8 | 19 | 3 | 30 |
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18/30=0,6 : 60 % des voitures sont françaises.
4/30≈0,133 : environ 13,3 % des voitures sont françaises et blanches.
12/18≈0,667 : parmi les voitures françaises, environ 66,7 % sont grises.
4/8=0,5 : parmi les voitures blanches, 50 % sont étrangères.
4/30≈0,133 : environ 13,3 % des voitures sont françaises et blanches.
12/18≈0,667 : parmi les voitures françaises, environ 66,7 % sont grises.
4/8=0,5 : parmi les voitures blanches, 50 % sont étrangères.
Exercice 6 — Construire un tableau à partir de pourcentages ★★
La machine A fournit 65 % de 15 000 ampoules ; B fournit le reste. 8 % des ampoules de A et 4 % de celles de B ont un défaut.
- Calculer les effectifs produits par A et B.
- Compléter le tableau.
- Avec D = « défaut », calculer P(D), P(A) et P(A ∩ D).
- Calculer PA(D) et PD(A).
| A | B | Tot. | |
|---|---|---|---|
| Défaut | 780 | ||
| Sans | |||
| Tot. | 15000 |
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| A | B | Tot. | |
|---|---|---|---|
| Défaut | 780 | 210 | 990 |
| Sans | 8970 | 5040 | 14010 |
| Tot. | 9750 | 5250 | 15000 |
A : 9 750 ; B : 5 250.
P(D)=990/15000=0,066 : 6,6 % des ampoules ont un défaut.
P(A)=0,65 : 65 % des ampoules proviennent de la machine A.
P(A ∩ D)=0,052 : 5,2 % des ampoules proviennent de A et ont un défaut.
PA(D)=0,08 : parmi les ampoules produites par A, 8 % ont un défaut.
PD(A)=780/990≈0,788 : parmi les ampoules défectueuses, environ 78,8 % proviennent de A.
P(D)=990/15000=0,066 : 6,6 % des ampoules ont un défaut.
P(A)=0,65 : 65 % des ampoules proviennent de la machine A.
P(A ∩ D)=0,052 : 5,2 % des ampoules proviennent de A et ont un défaut.
PA(D)=0,08 : parmi les ampoules produites par A, 8 % ont un défaut.
PD(A)=780/990≈0,788 : parmi les ampoules défectueuses, environ 78,8 % proviennent de A.
Exercice 7 — Tableau incomplet et probabilités ★★★
Un site propose 1 500 articles.
- Compléter le tableau.
- Calculer la probabilité que le produit soit : a) un smartphone ; b) non tablette ; c) un ordinateur fabriqué en France ; d) un ordinateur sachant qu’il est fabriqué en France ; e) fabriqué en France sachant que c’est un ordinateur.
| Ordi. | Smart. | Tab. | Tot. | |
|---|---|---|---|---|
| France | 450 | 100 | 1000 | |
| Étranger | 50 | |||
| Tot. | 750 | 250 |
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| Ordi. | Smart. | Tab. | Tot. | |
|---|---|---|---|---|
| France | 450 | 450 | 100 | 1000 |
| Étranger | 300 | 50 | 150 | 500 |
| Tot. | 750 | 500 | 250 | 1500 |
Smartphone : 500/1500=1/3 : un article choisi au hasard a une chance sur trois d’être un smartphone.
Non tablette : 5/6 : cinq articles sur six ne sont pas des tablettes.
Ordinateur et France : 0,3 : 30 % des articles sont des ordinateurs fabriqués en France.
Ordinateur sachant France : 0,45 : parmi les articles fabriqués en France, 45 % sont des ordinateurs.
France sachant ordinateur : 0,6 : parmi les ordinateurs, 60 % sont fabriqués en France.
Non tablette : 5/6 : cinq articles sur six ne sont pas des tablettes.
Ordinateur et France : 0,3 : 30 % des articles sont des ordinateurs fabriqués en France.
Ordinateur sachant France : 0,45 : parmi les articles fabriqués en France, 45 % sont des ordinateurs.
France sachant ordinateur : 0,6 : parmi les ordinateurs, 60 % sont fabriqués en France.
Exercice 8 — Proportions successives ★★★
Un magasin possède 2 000 vélos. Les VTT représentent 19 % du stock ; 55 % des VTT sont pour femmes ; 15 % des VTT sont anciens ; parmi les VTT, la proportion de vélos récents pour femmes est 8/19.
- Montrer qu’il y a 380 VTT.
- Compléter le tableau.
- Avec G = « pour homme » et R = « récent », définir R̄ et R̄ ∩ G.
- Calculer P(R̄), P(G), P(R̄ ∩ G).
- Calculer la probabilité d’un VTT pour femme sachant qu’il est ancien.
| Hommes | Femmes | Tot. | |
|---|---|---|---|
| Récent | 160 | ||
| Ancien | |||
| Tot. |
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| Hommes | Femmes | Tot. | |
|---|---|---|---|
| Récent | 163 | 160 | 323 |
| Ancien | 8 | 49 | 57 |
| Tot. | 171 | 209 | 380 |
380 VTT. R̄ : « ancien » ; R̄ ∩ G : « ancien et pour homme ».
P(R̄)=0,15 : 15 % des VTT sont anciens.
P(G)=0,45 : 45 % des VTT sont pour hommes.
P(R̄ ∩ G)≈0,02 : environ 2 % des VTT sont anciens et pour hommes.
49/57≈0,86 : parmi les VTT anciens, environ 86 % sont pour femmes.
P(R̄)=0,15 : 15 % des VTT sont anciens.
P(G)=0,45 : 45 % des VTT sont pour hommes.
P(R̄ ∩ G)≈0,02 : environ 2 % des VTT sont anciens et pour hommes.
49/57≈0,86 : parmi les VTT anciens, environ 86 % sont pour femmes.
Exercice 9 — Exercice de synthèse ★★
Une galerie recense 3 000 œuvres, dont 1 530 tableaux. 74 % des œuvres sont de 2019. Parmi celles de 2018, 351 sont des tableaux.
- Justifier qu’il y a 2 220 œuvres de 2019.
- Compléter le tableau.
- Calculer P(T), puis P(T ∩ H), avec H = « œuvre de 2018 ».
- Calculer la probabilité d’un tableau sachant que l’œuvre date de 2019.
| 2018 | 2019 | Tot. | |
|---|---|---|---|
| Tableaux | 351 | 1530 | |
| Sculpt. | |||
| Tot. | 2220 | 3000 |
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| 2018 | 2019 | Tot. | |
|---|---|---|---|
| Tableaux | 351 | 1179 | 1530 |
| Sculpt. | 429 | 1041 | 1470 |
| Tot. | 780 | 2220 | 3000 |
2019 : 0,74×3000=2220.
P(T)=0,510 : 51 % des œuvres sont des tableaux.
P(T ∩ H)=351/3000=0,117 : 11,7 % des œuvres sont des tableaux datant de 2018.
P2019(T)=1179/2220≈0,531 : parmi les œuvres de 2019, environ 53,1 % sont des tableaux.
P(T)=0,510 : 51 % des œuvres sont des tableaux.
P(T ∩ H)=351/3000=0,117 : 11,7 % des œuvres sont des tableaux datant de 2018.
P2019(T)=1179/2220≈0,531 : parmi les œuvres de 2019, environ 53,1 % sont des tableaux.
Exercice 10 — Construire un tableau croisé ★★
Une boîte contient 140 clous et vis. 51 objets ont une tête ronde. Il y a 85 clous, dont 40 % à tête ronde.
- Compléter le tableau.
- Avec A = « clou » et B = « tête plate », calculer P(A), P(B), P(A ∩ B), PB(A) et PA(B).
| Clou | Vis | Tot. | |
|---|---|---|---|
| Plate | |||
| Ronde | |||
| Tot. | 140 |
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| Clou | Vis | Tot. | |
|---|---|---|---|
| Plate | 51 | 38 | 89 |
| Ronde | 34 | 17 | 51 |
| Tot. | 85 | 55 | 140 |
Clous ronds : 34 ; clous plats : 51 ; vis rondes : 17 ; vis plates : 38.
P(A)=85/140≈0,607 : environ 60,7 % des objets sont des clous.
P(B)=89/140≈0,636 : environ 63,6 % des objets ont une tête plate.
P(A ∩ B)=51/140≈0,364 : environ 36,4 % des objets sont des clous à tête plate.
PB(A)=51/89≈0,573 : parmi les objets à tête plate, environ 57,3 % sont des clous.
PA(B)=51/85=0,6 : parmi les clous, 60 % ont une tête plate.
P(A)=85/140≈0,607 : environ 60,7 % des objets sont des clous.
P(B)=89/140≈0,636 : environ 63,6 % des objets ont une tête plate.
P(A ∩ B)=51/140≈0,364 : environ 36,4 % des objets sont des clous à tête plate.
PB(A)=51/89≈0,573 : parmi les objets à tête plate, environ 57,3 % sont des clous.
PA(B)=51/85=0,6 : parmi les clous, 60 % ont une tête plate.
Exercice 11 — Tableau de fréquences ★★★
60 % des livres sont des romans, dont un quart non poche. 25 % sont des essais, dont un cinquième poche. Le reste est de la poésie, dont un tiers non poche.
- Compléter le tableau.
- Avec F = « poche » et E = « essai », calculer P(F) et P(E).
- Décrire E ∩ F et calculer sa probabilité.
- Décrire Ē et calculer sa probabilité.
- Calculer PF(E).
- Traduire « 20 % des essais sont au format poche ».
| Poche | Non poche | Tot. | |
|---|---|---|---|
| Romans | |||
| Essais | |||
| Poésies | |||
| Tot. | 100 |
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| Poche | Non poche | Tot. | |
|---|---|---|---|
| Romans | 45 | 15 | 60 |
| Essais | 5 | 20 | 25 |
| Poésies | 10 | 5 | 15 |
| Tot. | 60 | 40 | 100 |
P(F)=0,6 : 60 % des livres sont au format poche.
P(E)=0,25 : 25 % des livres sont des essais.
P(E ∩ F)=0,05 : 5 % des livres sont des essais au format poche.
P(Ē)=0,75 : 75 % des livres ne sont pas des essais.
PF(E)=5/60≈0,083 :Sachant que l’on a choisi un livre au format poche, la probabilité que ce soit un essai est 1/12( environ $8,3\,\%$).
« 20 % des essais sont poche » se traduit par PE(F)=0,20 : parmi les essais, 20 % sont au format poche.
P(E)=0,25 : 25 % des livres sont des essais.
P(E ∩ F)=0,05 : 5 % des livres sont des essais au format poche.
P(Ē)=0,75 : 75 % des livres ne sont pas des essais.
PF(E)=5/60≈0,083 :Sachant que l’on a choisi un livre au format poche, la probabilité que ce soit un essai est 1/12( environ $8,3\,\%$).
« 20 % des essais sont poche » se traduit par PE(F)=0,20 : parmi les essais, 20 % sont au format poche.
Exercice 12 — Tableau croisé et probabilités conditionnelles — Bac 2026 ★★
Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse en justifiant.
- La probabilité que le coureur ne soit pas dopé ou soit testé positif vaut 213/200.
- Parmi les tests positifs, il y a 7,5 % de chances que le coureur ne soit pas dopé.
- La probabilité d’une erreur de test vaut 8,5 %.
| Non dopé | Dopé | Tot. | |
|---|---|---|---|
| Test + | 15 | 5 | 20 |
| Test − | 178 | 2 | 180 |
| Tot. | 193 | 7 | 200 |
Voir le corrigé
1. P(non dopé ∪ test +)=198/200=0,99 : 99 % des coureurs sont non dopés ou ont un test positif. L’affirmation est donc fausse.
2. 15/20=75 % : parmi les tests positifs, 75 % des coureurs sont non dopés. L’affirmation est donc fausse.
3. Erreurs : 15 faux positifs + 2 faux négatifs = 17 ; 17/200=8,5 % : 8,5 % des tests donnent un résultat erroné. L’affirmation est vraie.
2. 15/20=75 % : parmi les tests positifs, 75 % des coureurs sont non dopés. L’affirmation est donc fausse.
3. Erreurs : 15 faux positifs + 2 faux négatifs = 17 ; 17/200=8,5 % : 8,5 % des tests donnent un résultat erroné. L’affirmation est vraie.
Exercice 13 — Sujet de bac — Le marchand de glaces ★★
On interroge un client au hasard. Donner les réponses sous forme de fractions.
- Probabilité d’avoir choisi un sorbet.
- Probabilité d’avoir choisi un sorbet dans un pot.
- Sachant que le client a choisi un cornet, probabilité d’une glace au lait.
- Sachant qu’il a choisi une crème glacée, probabilité d’un pot.
| Sorbet | Lait | Crème | Tot. | |
|---|---|---|---|---|
| Cornet | 16 | 64 | 80 | 160 |
| Pot | 12 | 4 | 24 | 40 |
| Tot. | 28 | 68 | 104 | 200 |
Voir le corrigé
Sorbet : 28/200 : 28 clients sur 200 ont choisi un sorbet.
Sorbet dans un pot : 12/200 : 12 clients sur 200 ont choisi à la fois un sorbet et un pot.
Lait sachant cornet : 64/160 (= 2/5) : parmi les clients ayant choisi un cornet, 2 sur 5 ont choisi une glace au lait.
Pot sachant crème : 24/104 (= 3/13) : parmi les clients ayant choisi une crème glacée, 3 sur 13 ont choisi un pot.
Sorbet dans un pot : 12/200 : 12 clients sur 200 ont choisi à la fois un sorbet et un pot.
Lait sachant cornet : 64/160 (= 2/5) : parmi les clients ayant choisi un cornet, 2 sur 5 ont choisi une glace au lait.
Pot sachant crème : 24/104 (= 3/13) : parmi les clients ayant choisi une crème glacée, 3 sur 13 ont choisi un pot.
