✅ Corrigé écrit

On raisonne par récurrence. Pour n = 1, les deux membres valent 1.

Supposons la formule vraie au rang n. Alors :

1³ + ··· + n³ + (n + 1)³
= [n(n + 1)/2]² + (n + 1)³
= (n + 1)²[n²/4 + n + 1]
= [(n + 1)(n + 2)/2]².

La propriété est donc vraie au rang n + 1, puis pour tout n ≥ 1.

✅ Corrigé écrit

Pour n = 0, 5 = 1 + 2² × 1 : on peut prendre λ₀ = 1, qui est impair.

Supposons 5²ⁿ = 1 + 2ⁿ⁺²λ_n, avec λ_n impair. En élevant au carré :

5²ⁿ⁺¹ = (1 + 2ⁿ⁺²λ_n)²
= 1 + 2ⁿ⁺³[λ_n + 2ⁿ⁺¹λ_n²].

On pose λ_n+1 = λ_n + 2ⁿ⁺¹λ_n². C’est la somme d’un impair et d’un pair, donc un entier impair.

✅ Corrigé écrit

Si a = 1, la suite est arithmétique : u_n = u₀ + nb.

Si a ≠ 1, l’équation ℓ = aℓ + b donne ℓ = b/(1 − a). Posons v_n = u_n − ℓ. Alors v_n+1 = av_n, donc :

u_n = (u₀ − ℓ)aⁿ + ℓ.

Pour a ≠ 1, la suite converge si −1 < a < 1, ou si u₀ = ℓ (suite constante). Dans ces cas, sa limite est ℓ.

✅ Corrigé écrit

Les termes sont positifs. Posons v_n = ln(t_n). Alors :

v_n+1 = ½v_n − 1,   v₀ = 0.

Le point fixe vaut −2. Ainsi v_n + 2 = (½)ⁿ(v₀ + 2), d’où :

v_n = 2(½)ⁿ − 2
et t_n = exp[2(½)ⁿ − 2].

Comme (½)ⁿ tend vers 0, t_n tend vers e⁻².

✅ Corrigé écrit

Pour tout n ∈ ℕ :

x_n+2 = (x₀ + ··· + x_n) + x_n+1 = 2x_n+1.

Or x₁ = x₀ = 1. À partir du rang 1, la suite est géométrique de raison 2 :

x₀ = 1 et, pour n ≥ 1, x_n = 2ⁿ⁻¹.

✅ Corrigé écrit

Un calcul direct donne :

f²(x) = x/√(1 + 2cx²),   f³(x) = x/√(1 + 3cx²).

On conjecture fⁿ(x) = x/√(1 + ncx²). Si la formule est vraie au rang n, son remplacement dans la définition de f donne immédiatement :

fⁿ⁺¹(x) = x/√(1 + (n + 1)cx²).

La formule est donc vraie pour tout entier n ≥ 1.

✅ Corrigé écrit

Les rangs 0 et 1 vérifient la formule. Supposons-la vraie aux rangs n et n + 1. Alors :

u_n+2 = 5(2ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹) − 6(2ⁿ + 3ⁿ)
= 4·2ⁿ + 9·3ⁿ
= 2ⁿ⁺² + 3ⁿ⁺².

La récurrence double conclut.

✅ Corrigé écrit

Les premiers termes sont 1, 2, 4, 8, 16 : on conjecture u_n = 2ⁿ.

La formule est vraie aux rangs 0 et 1. Si elle est vraie aux rangs n et n + 1, alors :

u_n+2 = (2ⁿ⁺¹)² / 2ⁿ = 2ⁿ⁺².

Donc u_n = 2ⁿ pour tout n ∈ ℕ.

✅ Corrigé écrit

Les premiers termes sont 0, 0, 1, 1, 2, 2… On conjecture :

u_n = ⌊n/2⌋.

Si n = 2k, alors u_n+1 = 2k − k = k = ⌊(n + 1)/2⌋. Si n = 2k + 1, alors u_n+1 = 2k + 1 − k = k + 1 = ⌊(n + 1)/2⌋. La récurrence conclut.

Variante u₀ = 2 : on obtient u_2k = k + 2 et u_2k+1 = k − 2. ▶ Voir la vidéo de la variante.

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Les premières valeurs sont −1, 1, −1, 1… On conjecture Δ_n = (−1)ⁿ⁺¹.

En utilisant F_n+3 = F_n+2 + F_n+1 et F_n+2 = F_n+1 + F_n :

Δ_n+1 = F_n+1F_n+3 − F_n+2² = −Δ_n.

Comme Δ₀ = −1, Δ_n = (−1)ⁿ⁺¹. La formule de Binet donne le même résultat en utilisant αβ = −1 et (α − β)² = 5.

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Comme λ² = aλ + b et μ² = aμ + b, toute suite de la forme w_n = αλⁿ + βμⁿ vérifie la récurrence.

Les conditions initiales imposent :

α + β = u₀,   αλ + βμ = u₁,
α = (u₀μ − u₁)/(μ − λ),   β = (u₁ − u₀λ)/(μ − λ).

Une récurrence double montre alors que u_n = αλⁿ + βμⁿ. Pour l’exercice 7, λ = 2, μ = 3 et α = β = 1.

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Pour une racine double, λ² = aλ + b et a = 2λ. On vérifie par substitution que toute suite :

u_n = (α + βn)λⁿ

vérifie la relation de récurrence. Les conditions initiales donnent α = u₀ et, si λ ≠ 0, β = (u₁ − u₀λ)/λ. Une récurrence double établit ensuite la formule pour tout n.

Cas particulier λ = 0 : alors a = b = 0 et la suite est nulle à partir du rang 2 ; ce cas se traite séparément.

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Comme 1 = 2⁰ appartient à A et que n ∈ A entraîne 2n ∈ A, une récurrence donne 2^m ∈ A pour tout m ∈ ℕ.

La seconde propriété permet de redescendre : si N ∈ A, alors N − 1, N − 2, …, 1 appartiennent à A.

Pour tout k ≥ 1, choisissons m tel que 2^m ≥ k. Puisque 2^m ∈ A, la descente donne k ∈ A. Ainsi A = ℕ*.

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Écrivons x = m/n et n = qm + r, avec 0 ≤ r < m. Si r = 0, x = 1/q.

Sinon :

m/n − 1/(q + 1) = (m − r)/[(q + 1)n].

Le nouveau numérateur m − r est strictement inférieur à m. Une récurrence forte sur le numérateur termine donc l’algorithme, et les dénominateurs obtenus sont strictement croissants.

Pour 5/17 : 17 = 3×5 + 2, donc 5/17 = 1/4 + 3/68. Puis 68 = 22×3 + 2, d’où :

5/17 = 1/4 + 1/23 + 1/1564.

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Minoration. Par récurrence forte, les indices ⌊n/2⌋, ⌊n/3⌋ et ⌊n/6⌋ sont plus petits que n. En appliquant l’hypothèse :

u_n ≥ ⌊n/2⌋ + ⌊n/3⌋ + ⌊n/6⌋ + 3 ≥ n + 1.

Majoration. Les premiers termes conduisent à prendre C = 3. On vérifie d’abord u_n ≤ 3n pour 1 ≤ n ≤ 5. Puis, pour n ≥ 6, les trois indices sont au moins égaux à 1 et la récurrence forte donne :

u_n ≤ 3[⌊n/2⌋ + ⌊n/3⌋ + ⌊n/6⌋] ≤ 3n.

A fortiori, u_n ≤ 3(n + 1). La constante C = 3 convient.

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On procède par récurrence forte sur N. Pour N = 1, la décomposition 1 = 2⁰3⁰ convient.

Si N est pair, on décompose N/2 par récurrence puis on multiplie tous les termes par 2 : les propriétés de divisibilité sont conservées.

Si N est impair, choisissons k tel que 3^k ≤ N < 3^k+1. Le nombre N − 3^k est pair. S’il n’est pas nul, on décompose (N − 3^k)/2, puis on double chaque terme et on ajoute 3^k. Les termes doublés sont pairs, 3^k est impair et plus grand qu’eux : aucune nouvelle divisibilité n’apparaît.

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L’égalité donne a − c = (d − b)√2.

Si d ≠ b, alors √2 = (a − c)/(d − b), quotient de deux rationnels : √2 serait rationnel, contradiction.

Donc d = b, puis l’égalité initiale donne immédiatement a = c.

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Supposons √3 = p/q, avec p/q irréductible. Alors p² = 3q². Donc 3 divise p², puis p ; écrivons p = 3k. On obtient q² = 3k², donc 3 divise aussi q, contradiction avec l’irréductibilité.

Généralisation : pour tout entier N ≥ 1, √N est soit un entier, soit un irrationnel. En effet, si √N = p/q sous forme irréductible, l’unicité de la décomposition en facteurs premiers impose q = 1 ; N est alors un carré parfait.

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Supposons ln(3)/ln(2) = p/q avec p, q ∈ ℕ*. Alors q ln(3) = p ln(2).

En appliquant l’exponentielle :

3^q = 2^p.

C’est impossible : le membre de gauche est impair tandis que celui de droite est pair. Le quotient ln(3)/ln(2) est donc irrationnel.

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1. Soient r rationnel et x irrationnel. Si r + x était rationnel, alors x = (r + x) − r serait rationnel : contradiction.
2. Si r ≠ 0 est rationnel et rx rationnel, alors x = (rx)/r serait rationnel : contradiction.
3. Somme rationnelle : √2 + (−√2) = 0. Somme irrationnelle : √2 + √3 (voir l’exercice 21). Produit rationnel : √2 × √2 = 2. Produit irrationnel : √2 × √3 = √6.