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L’exponentielle

📈 Fonction exponentielle — exercices corrigés

Chaque exercice possède une correction vidéo et un corrigé écrit déroulant.

Exercice 1 — Simplification d’écritures exponentielles ★

Simplifier les écritures suivantes :

  1. exp(2)×exp(8)\exp(2) \times \exp(8)

  2. exp(3)×exp(6)×exp(−6)\exp(3) \times \exp(6)\times \exp(-6)

  3. (exp(2))2×(exp(8))3(\exp(2))^2 \times (\exp(8))^3

  4. (exp(14))2×(exp(54))2(\exp(\frac{1}{4}))^2 \times (\exp(\frac{5}{4}))^2

  5. exp(23)×(exp(4))2×exp(−12)\exp(\frac{2}{3}) \times (\exp(4))^2\times \exp(-\frac{1}{2})

  6. exp(52)exp(12)\dfrac{\exp(\frac{5}{2}) }{\exp(\frac{1}{2}) }

  7. exp(8)exp(−12)\dfrac{\exp(8) }{\exp(-\frac{1}{2}) }

  8. exp(6)×exp(9)\sqrt{\exp(6)} \times \sqrt{\exp(9)}

✅ Afficher le corrigé écrit

On utilise les propriétés : exp(a)exp(b)=exp(a+b),exp(a)exp(b)=exp(a−b),(exp(a))n=exp(na),exp(a)=exp(a2).\exp(a)\exp(b)=\exp(a+b),\qquad \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}=\exp(a-b),\qquad (\exp(a))^n=\exp(na),\qquad \sqrt{\exp(a)}=\exp\!\left(\dfrac a2\right).

  1. exp(2)exp(8)=exp(2+8)=exp(10).\exp(2)\exp(8)=\exp(2+8)=\exp(10).

  2. exp(3)exp(6)exp(−6)=exp(3+6−6)=exp(3).\exp(3)\exp(6)\exp(-6)=\exp(3+6-6)=\exp(3).

  3. (exp(2))2(exp(8))3=exp(4)exp(24)=exp(28).(\exp(2))^2(\exp(8))^3=\exp(4)\exp(24)=\exp(28).

  4. (exp(14))2(exp(54))2=exp(12)exp(52)=exp(12+52)=exp(3).(\exp(\tfrac14))^2(\exp(\tfrac54))^2 =\exp(\tfrac12)\exp(\tfrac52) =\exp(\tfrac12+\tfrac52) =\exp(3).

  5. exp(23)(exp(4))2exp(−12)=exp(23+8−12)=exp(8+16)=exp(496).\exp(\tfrac23)(\exp(4))^2\exp(-\tfrac12) =\exp(\tfrac23+8-\tfrac12) =\exp\!\left(8+\tfrac16\right) =\exp\!\left(\tfrac{49}{6}\right).

  6. exp(52)exp(12)=exp(52−12)=exp(2).\dfrac{\exp(\tfrac52)}{\exp(\tfrac12)} =\exp\!\left(\tfrac52-\tfrac12\right) =\exp(2).

  7. exp(8)exp(−12)=exp(8+12)=exp(172).\dfrac{\exp(8)}{\exp(-\tfrac12)} =\exp\!\left(8+\tfrac12\right) =\exp\!\left(\tfrac{17}{2}\right).

  8. exp(6)exp(9)=exp(3)exp(92)=exp(152).\sqrt{\exp(6)}\,\sqrt{\exp(9)} =\exp(3)\exp(\tfrac92) =\exp\!\left(\tfrac{15}{2}\right).

Exercice 2 — Simplification d’écritures exponentielles avec $x$ ★

Simplifier les écritures suivantes :

  1. exp(x)×exp(2x)\exp(x) \times \exp(2x)

  2. exp(3x)×exp(4x)×exp(−2x)\exp(3x) \times \exp(4x)\times \exp(-2x)

  3. (exp(x))2×(exp(3x))3(\exp(x))^2 \times (\exp(3x))^3

  4. (exp(−3x))3×(exp(−6x))2(\exp(-3x))^3 \times (\exp(-6x))^2

  5. exp(3x+1)×(exp(1−x))2×exp(1+2x)\exp(3x+1) \times (\exp(1-x))^2\times \exp(1+2x)

  6. exp(−3x)exp(−6x)\dfrac{\exp(-3x) }{\exp(-6x) }

  7. exp(2x)×exp(4x)\sqrt{\exp(2x)} \times \sqrt{\exp(4x) }

  8. exp(2+x)(exp(x))2\dfrac{\exp(2+x) }{(\exp(x))^2 }

✅ Afficher le corrigé écrit

On utilise les propriétés : exp(a)exp(b)=exp(a+b),exp(a)exp(b)=exp(a−b),(exp(a))n=exp(na),exp(a)=exp(a2).\exp(a)\exp(b)=\exp(a+b),\qquad \dfrac{\exp(a)}{\exp(b)}=\exp(a-b),\qquad (\exp(a))^n=\exp(na),\qquad \sqrt{\exp(a)}=\exp\!\left(\dfrac a2\right).

  1. exp(x)exp(2x)=exp(x+2x)=exp(3x).\exp(x)\exp(2x)=\exp(x+2x)=\exp(3x).

  2. exp(3x)exp(4x)exp(−2x)=exp(3x+4x−2x)=exp(5x).\exp(3x)\exp(4x)\exp(-2x)=\exp(3x+4x-2x)=\exp(5x).

  3. (exp(x))2(exp(3x))3=exp(2x)exp(9x)=exp(11x).(\exp(x))^2(\exp(3x))^3=\exp(2x)\exp(9x)=\exp(11x).

  4. (exp(−3x))3(exp(−6x))2=exp(−9x)exp(−12x)=exp(−21x).(\exp(-3x))^3(\exp(-6x))^2=\exp(-9x)\exp(-12x)=\exp(-21x).

  5. exp(3x+1)(exp(1−x))2exp(1+2x)=exp(3x+1)exp(2−2x)exp(1+2x)=exp(3x+4).\exp(3x+1)(\exp(1-x))^2\exp(1+2x) =\exp(3x+1)\exp(2-2x)\exp(1+2x) =\exp(3x+4).

  6. exp(−3x)exp(−6x)=exp(−3x+6x)=exp(3x).\dfrac{\exp(-3x)}{\exp(-6x)}=\exp(-3x+6x)=\exp(3x).

  7. exp(2x)exp(4x)=exp(x)exp(2x)=exp(3x).\sqrt{\exp(2x)}\sqrt{\exp(4x)} =\exp(x)\exp(2x)=\exp(3x).

  8. exp(2+x)(exp(x))2=exp(2+x)exp(2x)=exp(2−x).\dfrac{\exp(2+x)}{(\exp(x))^2} =\dfrac{\exp(2+x)}{\exp(2x)} =\exp(2-x).

Exercice 3 — Simplification d’écritures avec \(\e^x\) ★

Simplifier les écritures suivantes :

  1. (ex)3×e−2x(\mathrm{e}^{x})^3 \times \mathrm{e}^{-2x}

  2. ex+e−xex\dfrac{\mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}}

  3. e−x+y×ey+x\mathrm{e}^{-x+y} \times \mathrm{e}^{y+x}

  4. e2xex\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{x}}

  5. e−x−yey−x\dfrac{\mathrm{e}^{-x-y}}{\mathrm{e}^{y-x}}

  6. exeyex−y\dfrac{\mathrm{e}^{x}\mathrm{e}^{y}}{\mathrm{e}^{x-y}}

✅ Afficher le corrigé écrit

On utilise : eaeb=ea+b,eaeb=ea−b,(ea)n=ena.\mathrm{e}^a\mathrm{e}^b=\mathrm{e}^{a+b},\qquad \dfrac{\mathrm{e}^a}{\mathrm{e}^b}=\mathrm{e}^{a-b},\qquad (\mathrm{e}^a)^n=\mathrm{e}^{na}.

  1. (ex)3e−2x=e3xe−2x=ex.(\mathrm{e}^x)^3\mathrm{e}^{-2x}=\mathrm{e}^{3x}\mathrm{e}^{-2x}=\mathrm{e}^{x}.

  2. ex+e−xex=exex+e−xex=1+e−2x.\dfrac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x} =\dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x}+\dfrac{\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^x} =1+\mathrm{e}^{-2x}.

  3. e−x+yey+x=e(−x+y)+(y+x)=e2y.\mathrm{e}^{-x+y}\mathrm{e}^{y+x}=\mathrm{e}^{(-x+y)+(y+x)}=\mathrm{e}^{2y}.

  4. e2xex=e2x−x=ex.\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^x}=\mathrm{e}^{2x-x}=\mathrm{e}^x.

  5. e−x−yey−x=e(−x−y)−(y−x)=e−2y.\dfrac{\mathrm{e}^{-x-y}}{\mathrm{e}^{y-x}} =\mathrm{e}^{(-x-y)-(y-x)} =\mathrm{e}^{-2y}.

  6. exeyex−y=ex+yex−y=e(x+y)−(x−y)=e2y.\dfrac{\mathrm{e}^x\mathrm{e}^y}{\mathrm{e}^{x-y}} =\dfrac{\mathrm{e}^{x+y}}{\mathrm{e}^{x-y}} =\mathrm{e}^{(x+y)-(x-y)} =\mathrm{e}^{2y}.

Exercice 4 — Écriture sous la forme \(\e^X\) ★★

Ecrire les expressions suivantes sous la forme eX\mathrm{e}^X où XX est une expression dépendant de xx.

  1. ex×e4\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^4

  2. e3x×e2x×e−4x\mathrm{e}^{3x} \times \mathrm{e}^{2x} \times \mathrm{e}^{-4x}

  3. e−x+2×e5x\mathrm{e}^{-x+2} \times \mathrm{e}^{5x}

  4. e2xe5x\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{5x}}

  5. 1e6x×e−8x−5\dfrac{1}{\mathrm{e}^{6x}} \times \mathrm{e}^{-8x-5}

  6. e6x+2e−6x−3\dfrac{\mathrm{e}^{6x+2}}{\mathrm{e}^{-6x-3}}

  7. (ex)2×ex(\mathrm{e}^{x})^2 \times \mathrm{e}^x

  8. (e−3x+1)4×(e2x+2)2(\mathrm{e}^{-3x+1})^4 \times (\mathrm{e}^{2x+2})^2

  9. e2xe−3x×e−3xe4x\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{-3x}} \times \dfrac{\mathrm{e}^{-3x}}{\mathrm{e}^{4x}}

  10. (ex2)6×(ex3)3(\mathrm{e}^{\frac{x}{2}})^6 \times (\mathrm{e}^{\frac{x}{3}})^3

✅ Afficher le corrigé écrit

On utilise les propriétés :

eaeb=ea+b,eaeb=ea−b,(ea)n=ena.\mathrm{e}^a\mathrm{e}^b=\mathrm{e}^{a+b}, \qquad \dfrac{\mathrm{e}^a}{\mathrm{e}^b}=\mathrm{e}^{a-b}, \qquad (\mathrm{e}^a)^n=\mathrm{e}^{na}.

  1. exe4=ex+4\mathrm{e}^x\mathrm{e}^4=\mathrm{e}^{x+4}

  2. e3xe2xe−4x=e3x+2x−4x=ex\mathrm{e}^{3x}\mathrm{e}^{2x}\mathrm{e}^{-4x}=\mathrm{e}^{3x+2x-4x}=\mathrm{e}^x

  3. e−x+2e5x=e(−x+2)+5x=e4x+2\mathrm{e}^{-x+2}\mathrm{e}^{5x}=\mathrm{e}^{(-x+2)+5x}=\mathrm{e}^{4x+2}

  4. e2xe5x=e2x−5x=e−3x\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{5x}}=\mathrm{e}^{2x-5x}=\mathrm{e}^{-3x}

  5. 1e6xe−8x−5=e−6xe−8x−5=e−14x−5\dfrac{1}{\mathrm{e}^{6x}}\mathrm{e}^{-8x-5}=\mathrm{e}^{-6x}\mathrm{e}^{-8x-5}=\mathrm{e}^{-14x-5}

  6. e6x+2e−6x−3=e(6x+2)−(−6x−3)=e12x+5\dfrac{\mathrm{e}^{6x+2}}{\mathrm{e}^{-6x-3}}=\mathrm{e}^{(6x+2)-(-6x-3)}=\mathrm{e}^{12x+5}

  7. (ex)2ex=e2xex=e3x(\mathrm{e}^x)^2\mathrm{e}^x=\mathrm{e}^{2x}\mathrm{e}^x=\mathrm{e}^{3x}

  8. (e−3x+1)4(e2x+2)2=e4(−3x+1)e2(2x+2)=e−12x+4e4x+4=e−8x+8(\mathrm{e}^{-3x+1})^4(\mathrm{e}^{2x+2})^2 =\mathrm{e}^{4(-3x+1)}\mathrm{e}^{2(2x+2)} =\mathrm{e}^{-12x+4}\mathrm{e}^{4x+4} =\mathrm{e}^{-8x+8}

  9. e2xe−3x×e−3xe4x=e2x+3xe−3x−4x=e5xe−7x=e−2x\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{-3x}}\times\dfrac{\mathrm{e}^{-3x}}{\mathrm{e}^{4x}} =\mathrm{e}^{2x+3x}\mathrm{e}^{-3x-4x} =\mathrm{e}^{5x}\mathrm{e}^{-7x} =\mathrm{e}^{-2x}

  10. (ex2)6(ex3)3=e3xex=e4x(\mathrm{e}^{\frac{x}{2}})^6(\mathrm{e}^{\frac{x}{3}})^3 =\mathrm{e}^{3x}\mathrm{e}^x =\mathrm{e}^{4x}

Exercice 5 — Identités remarquables et exponentielle ★★

Écrire plus simplement :

A=(e2x+e1−2x)2B=e2x+3ex−1C=ex(ex+e−x)2D=(e−2x−e2x+1e2x)(e−2x+e2x+1e2x)A=\big(\mathrm{e}^{2x}+ \mathrm{e}^{1-2x}\big)^2\qquad \quad B=\displaystyle \sqrt{\dfrac{\mathrm{e}^{2x+3}}{\mathrm{e}^{x-1}}}\qquad \quad C=\mathrm{e}^x\left( \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}\right) ^{2}\qquad \quad D=\big(\mathrm{e}^{-2x}-\dfrac{\mathrm{e}^{2x}+1}{\mathrm{e}^{2x}}\big)\big(\mathrm{e}^{-2x}+\dfrac{\mathrm{e}^{2x}+1}{\mathrm{e}^{2x}}\big)

✅ Afficher le corrigé écrit

On utilise les propriétés : eaeb=ea+b,eaeb=ea−b,(ea)2=e2a,ea=ea2.\mathrm{e}^a\mathrm{e}^b=\mathrm{e}^{a+b}, \qquad \dfrac{\mathrm{e}^a}{\mathrm{e}^b}=\mathrm{e}^{a-b}, \qquad (\mathrm{e}^a)^2=\mathrm{e}^{2a}, \qquad \sqrt{\mathrm{e}^a}=\mathrm{e}^{\frac a2}.

  1. Expression AA

    On développe à l’aide de (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 :

    A=(e2x+e1−2x)2=(e2x)2+2×e2x×e1−2x+(e1−2x)2A=\big(\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{1-2x}\big)^2=(\mathrm{e}^{2x})^2+2\times \mathrm{e}^{2x}\times \mathrm{e}^{1-2x}+(\mathrm{e}^{1-2x})^2

    A=e4x+2e2x+1−2x+e2−4x=e4x+2e+e2−4x.A=\mathrm{e}^{4x}+2\mathrm{e}^{2x+1-2x}+\mathrm{e}^{2-4x}=\mathrm{e}^{4x}+2\mathrm{e}+\mathrm{e}^{2-4x}.

    A=e4x+2e+e2−4x\boxed{A=\mathrm{e}^{4x}+2\mathrm{e}+\mathrm{e}^{2-4x}}

  2. Expression BB

    B=e2x+3ex−1=e2x+3−(x−1)=ex+4=ex+42.B=\sqrt{\dfrac{\mathrm{e}^{2x+3}}{\mathrm{e}^{x-1}}}=\sqrt{\mathrm{e}^{2x+3-(x-1)}}=\sqrt{\mathrm{e}^{x+4}}=\mathrm{e}^{\frac{x+4}{2}}.

    B=ex+42\boxed{B=\mathrm{e}^{\frac{x+4}{2}}}

  3. Expression CC

    On développe d’abord le carré :

    (ex+e−x)2=e2x+2exe−x+e−2x=e2x+2+e−2x.\left(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}\right)^2=\mathrm{e}^{2x}+2\mathrm{e}^x\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{-2x}=\mathrm{e}^{2x}+2+\mathrm{e}^{-2x}.

    Donc

    C=ex(e2x+2+e−2x)=e3x+2ex+e−x.C=\mathrm{e}^x\left(\mathrm{e}^{2x}+2+\mathrm{e}^{-2x}\right)=\mathrm{e}^{3x}+2\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}.

    C=e3x+2ex+e−x\boxed{C=\mathrm{e}^{3x}+2\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}

  4. Expression DD

    On commence par simplifier la fraction :

    e2x+1e2x=e2xe2x+1e2x=1+e−2x.\dfrac{\mathrm{e}^{2x}+1}{\mathrm{e}^{2x}}=\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{2x}}+\dfrac{1}{\mathrm{e}^{2x}}=1+\mathrm{e}^{-2x}.

    Ainsi,

    D=(e−2x−(1+e−2x))(e−2x+(1+e−2x)).D=\big(\mathrm{e}^{-2x}-(1+\mathrm{e}^{-2x})\big)\big(\mathrm{e}^{-2x}+(1+\mathrm{e}^{-2x})\big).

    Donc

    D=(−1)(1+2e−2x)=−1−2e−2x.D=(-1)(1+2\mathrm{e}^{-2x})=-1-2\mathrm{e}^{-2x}.

    D=−1−2e−2x\boxed{D=-1-2\mathrm{e}^{-2x}}

Exercice 6 — Démonstrations d’égalités avec l’exponentielle ★★

Démontrer que pour tout réel xx :

  1. e2x+1=ex(ex+e−x)\mathrm{e}^{2x}+1=\mathrm{e}^x(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x})

  2. ex−1ex+1=1−e−x1+e−x\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^x+1}=\dfrac{1-\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}

  3. e−x−e−2x=ex−1e2x\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{-2x}=\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^{2x}}

✅ Afficher le corrigé écrit

Pour démontrer une égalité, on peut partir d’un membre et le transformer jusqu’à obtenir l’autre.

  1. Première égalité

    Partons du membre de droite : ex(ex+e−x)=ex⋅ex+ex⋅e−x=e2x+e0=e2x+1.\mathrm{e}^x(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x})=\mathrm{e}^x\cdot \mathrm{e}^x+\mathrm{e}^x\cdot \mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^0=\mathrm{e}^{2x}+1.

    Donc e2x+1=ex(ex+e−x).\boxed{\mathrm{e}^{2x}+1=\mathrm{e}^x(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x})}.

  2. Deuxième égalité

    Partons du membre de gauche et divisons le numérateur et le dénominateur par ex\mathrm{e}^x : ex−1ex+1=exex−1exexex+1ex=1−e−x1+e−x.\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^x+1}=\dfrac{\frac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x}-\frac{1}{\mathrm{e}^x}}{\frac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x}+\frac{1}{\mathrm{e}^x}} =\dfrac{1-\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}.

    Donc ex−1ex+1=1−e−x1+e−x.\boxed{\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^x+1}=\dfrac{1-\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}}.

  3. Troisième égalité

    Partons du membre de gauche : e−x−e−2x=1ex−1e2x=exe2x−1e2x=ex−1e2x.\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{-2x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^x}-\dfrac{1}{\mathrm{e}^{2x}} =\dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{2x}}-\dfrac{1}{\mathrm{e}^{2x}} =\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^{2x}}.

    Donc e−x−e−2x=ex−1e2x.\boxed{\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{-2x}=\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^{2x}}}.

Exercice 7 — Démonstrations d’égalités avec l’exponentielle ★

Démontrer que pour tout réel xx :

  1. −2e2x+3ex+2=(1+2ex)(2−ex)-2\mathrm{e}^{2x}+3\mathrm{e}^x+2=(1+2\mathrm{e}^x)(2-\mathrm{e}^x)

  2. e×exe2+3x=(e−x−0,5)2\dfrac{\mathrm{e} \times \mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{2+3x}}=(\mathrm{e}^{-x-0,5})^2

  3. e1−3x1+e−3x=e1+e3x\dfrac{\mathrm{e}^{1-3x}}{1+\mathrm{e}^{-3x}}=\dfrac{\mathrm{e}}{1+\mathrm{e}^{3x}}

✅ Afficher le corrigé écrit

Pour démontrer une égalité, on transforme un membre jusqu’à obtenir l’autre.

  1. Première égalité

    Partons du membre de droite : (1+2ex)(2−ex)=2−ex+4ex−2e2x=−2e2x+3ex+2.(1+2\mathrm{e}^x)(2-\mathrm{e}^x)=2-\mathrm{e}^x+4\mathrm{e}^x-2\mathrm{e}^{2x}=-2\mathrm{e}^{2x}+3\mathrm{e}^x+2.

    Donc −2e2x+3ex+2=(1+2ex)(2−ex).\boxed{-2\mathrm{e}^{2x}+3\mathrm{e}^x+2=(1+2\mathrm{e}^x)(2-\mathrm{e}^x)}.

  2. Deuxième égalité

    Partons du membre de gauche : e×exe2+3x=e1+xe2+3x=e1+x−(2+3x)=e−1−2x.\dfrac{\mathrm{e}\times \mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{2+3x}}=\dfrac{\mathrm{e}^{1+x}}{\mathrm{e}^{2+3x}}=\mathrm{e}^{1+x-(2+3x)}=\mathrm{e}^{-1-2x}.

    Or (e−x−0,5)2=e2(−x−0,5)=e−2x−1.(\mathrm{e}^{-x-0,5})^2=\mathrm{e}^{2(-x-0,5)}=\mathrm{e}^{-2x-1}.

    Les deux expressions sont donc égales : e×exe2+3x=(e−x−0,5)2.\boxed{\dfrac{\mathrm{e}\times \mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{2+3x}}=(\mathrm{e}^{-x-0,5})^2}.

  3. Troisième égalité

    Partons du membre de gauche et multiplions le numérateur et le dénominateur par e3x\mathrm{e}^{3x} : e1−3x1+e−3x=e1−3x×e3x(1+e−3x)e3x=ee3x+1=e1+e3x.\dfrac{\mathrm{e}^{1-3x}}{1+\mathrm{e}^{-3x}} =\dfrac{\mathrm{e}^{1-3x}\times \mathrm{e}^{3x}}{(1+\mathrm{e}^{-3x})\mathrm{e}^{3x}} =\dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^{3x}+1} =\dfrac{\mathrm{e}}{1+\mathrm{e}^{3x}}.

    Donc e1−3x1+e−3x=e1+e3x.\boxed{\dfrac{\mathrm{e}^{1-3x}}{1+\mathrm{e}^{-3x}}=\dfrac{\mathrm{e}}{1+\mathrm{e}^{3x}}}.

Exercice 8 — Résolution d’équations exponentielles ★

Résoudre chacune des équations suivantes :

  1. ex=1\;\mathrm{e}^{x}=1\;

  2. ex=e\;\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}\;

  3. ex=e−x\;\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{-x}\;

✅ Afficher le corrigé écrit

On utilise le fait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ\mathbb{R}. Ainsi, pour tous réels aa et bb :

ea=eb⇔a=b.\mathrm{e}^a=\mathrm{e}^b \iff a=b.

  1. Résolution de ex=1\mathrm{e}^x=1

    Comme 1=e0,1=\mathrm{e}^0, on obtient ex=1⇔ex=e0⇔x=0.\mathrm{e}^x=1 \iff \mathrm{e}^x=\mathrm{e}^0 \iff x=0.

    L’équation admet donc une unique solution :

    S={0}\boxed{S=\{0\}}

  2. Résolution de ex=e\mathrm{e}^x=\mathrm{e}

    Comme e=e1,\mathrm{e}=\mathrm{e}^1, on a ex=e⇔ex=e1⇔x=1.\mathrm{e}^x=\mathrm{e} \iff \mathrm{e}^x=\mathrm{e}^1 \iff x=1.

    L’équation admet donc une unique solution :

    S={1}\boxed{S=\{1\}}

  3. Résolution de ex=e−x\mathrm{e}^x=\mathrm{e}^{-x}

    La fonction exponentielle étant strictement croissante, on peut identifier les exposants :

    ex=e−x⇔x=−x⇔2x=0⇔x=0.\mathrm{e}^x=\mathrm{e}^{-x} \iff x=-x \iff 2x=0 \iff x=0.

    L’équation admet donc une unique solution :

    S={0}\boxed{S=\{0\}}

Exercice 9 — Résolution d’équations exponentielles ★

Résoudre chacune des équations suivantes :

  1. e−x=1\;\mathrm{e}^{-x}=1\;

  2. e2−x=1\;\mathrm{e}^{2-x}=1\;

  3. ex2+2x=1\;\mathrm{e}^{x^2+2x}=1\;

✅ Afficher le corrigé écrit

On utilise le fait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ\mathbb{R}. Ainsi, pour tous réels aa et bb : ea=eb⇔a=b.\mathrm{e}^a=\mathrm{e}^b \iff a=b. De plus, 1=e0.1=\mathrm{e}^0. Donc résoudre une équation de la forme eA=1\mathrm{e}^A=1 revient à résoudre A=0.A=0.

  1. Résolution de e−x=1\mathrm{e}^{-x}=1

    e−x=1⇔e−x=e0⇔−x=0⇔x=0.\mathrm{e}^{-x}=1 \iff \mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^0 \iff -x=0 \iff x=0.

    Ainsi, S={0}\boxed{S=\{0\}}

  2. Résolution de e2−x=1\mathrm{e}^{2-x}=1

    e2−x=1⇔e2−x=e0⇔2−x=0⇔x=2.\mathrm{e}^{2-x}=1 \iff \mathrm{e}^{2-x}=\mathrm{e}^0 \iff 2-x=0 \iff x=2.

    Ainsi, S={2}\boxed{S=\{2\}}

  3. Résolution de ex2+2x=1\mathrm{e}^{x^2+2x}=1

    ex2+2x=1⇔ex2+2x=e0⇔x2+2x=0.\mathrm{e}^{x^2+2x}=1 \iff \mathrm{e}^{x^2+2x}=\mathrm{e}^0 \iff x^2+2x=0.

    On factorise : x2+2x=x(x+2).x^2+2x=x(x+2).

    Donc x(x+2)=0⇔x=0 ou x=−2.x(x+2)=0 \iff x=0 \text{ ou } x=-2.

    Ainsi, S={−2;0}\boxed{S=\{-2\,;\,0\}}

Exercice 10 — Équations exponentielles sans solution ★

Parmi les équations suivantes, lesquelles n’ont pas de solution dans ℝ\mathbb{R} ? Justifier.

  1. ex=0\;\mathrm{e}^{x}=0\;

  2. ex+1=−1\;\mathrm{e}^{x+1}=-1\;

  3. ex−1=0\;\mathrm{e}^{x}-1=0\;

  4. e−x+1=0\;\mathrm{e}^{-x}+1=0\;

  5. 2ex+1=0\;2\mathrm{e}^{x}+1=0\;

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On utilise la propriété fondamentale suivante :

Pour tout réel x,ex>0.\text{Pour tout réel } x,\quad \mathrm{e}^x>0.

Ainsi, une exponentielle est toujours strictement positive.

  1. ex=0\mathrm{e}^x=0

    Or ex>0\mathrm{e}^x>0 pour tout réel xx, donc cette égalité est impossible.

    Pas de solution\boxed{\text{Pas de solution}}

  2. ex+1=−1\mathrm{e}^{x+1}=-1

    Or une exponentielle est toujours positive, donc elle ne peut pas être négative.

    Pas de solution\boxed{\text{Pas de solution}}

  3. ex−1=0⇔ex=1.\mathrm{e}^x-1=0 \iff \mathrm{e}^x=1.

    Or 1=e01=\mathrm{e}^0, donc

    ex=e0⇔x=0.\mathrm{e}^x=\mathrm{e}^0 \iff x=0.

    S={0}\boxed{S=\{0\}}

  4. e−x+1=0⇔e−x=−1.\mathrm{e}^{-x}+1=0 \iff \mathrm{e}^{-x}=-1.

    Or e−x>0\mathrm{e}^{-x}>0 pour tout réel xx, donc cette égalité est impossible.

    Pas de solution\boxed{\text{Pas de solution}}

  5. 2ex+1=0⇔2ex=−1.2\mathrm{e}^x+1=0 \iff 2\mathrm{e}^x=-1.

    Or ex>0\mathrm{e}^x>0, donc 2ex>02\mathrm{e}^x>0, ce qui ne peut pas être égal à −1-1.

    Pas de solution\boxed{\text{Pas de solution}}

Ainsi, les équations qui n’ont pas de solution dans ℝ\mathbb{R} sont :

1,2,4,5\boxed{1,\;2,\;4,\;5}

Exercice 11 — Résolution d’équations exponentielles ★

Résoudre chacune des équations suivantes :

  1. e2x=e5\;\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{5}\;

  2. e2x=e\;\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}\;

  3. e3x=e−x+1\;\mathrm{e}^{3x}=\mathrm{e}^{-x+1}\;

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La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ\mathbb{R}, donc

ea=eb⇔a=b.\mathrm{e}^a=\mathrm{e}^b \iff a=b.

  1. Résolution de e2x=e5\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^5

    e2x=e5⇔2x=5⇔x=52.\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^5 \iff 2x=5 \iff x=\dfrac{5}{2}.

    S={52}\boxed{S=\left\{\dfrac{5}{2}\right\}}

  2. Résolution de e2x=e\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}

    Comme e=e1\mathrm{e}=\mathrm{e}^1 :

    e2x=e⇔e2x=e1⇔2x=1⇔x=12.\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e} \iff \mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^1 \iff 2x=1 \iff x=\dfrac12.

    S={12}\boxed{S=\left\{\dfrac12\right\}}

  3. Résolution de e3x=e−x+1\mathrm{e}^{3x}=\mathrm{e}^{-x+1}

    e3x=e−x+1⇔3x=−x+1⇔4x=1⇔x=14.\mathrm{e}^{3x}=\mathrm{e}^{-x+1} \iff 3x=-x+1 \iff 4x=1 \iff x=\dfrac14.

    S={14}\boxed{S=\left\{\dfrac14\right\}}

Exercice 12 — Résolution d’équations exponentielles ★★

Résoudre les équations suivantes :

  1. e2x−1=0\;\mathrm{e}^{2x}-1=0\;

  2. ex+1−e2x−3=0\;\mathrm{e}^{x+1}-\mathrm{e}^{2x-3}=0\;

  3. ex−1×e3x+5=1\;\mathrm{e}^{x-1}\times \mathrm{e}^{3x+5}=1\;

  4. 2ex+1ex=2e3+e−x\;\dfrac{2 \mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}}=2 \mathrm{e}^{3}+\mathrm{e}^{-x}\;

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On utilise les propriétés suivantes : ea=eb⇔a=bet1=e0.\mathrm{e}^a=\mathrm{e}^b \iff a=b \qquad \text{et} \qquad 1=\mathrm{e}^0.

  1. Résolution de e2x−1=0\mathrm{e}^{2x}-1=0

    e2x−1=0⇔e2x=1⇔e2x=e0⇔2x=0⇔x=0.\mathrm{e}^{2x}-1=0 \iff \mathrm{e}^{2x}=1 \iff \mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^0 \iff 2x=0 \iff x=0.

    S={0}\boxed{S=\{0\}}

  2. Résolution de ex+1−e2x−3=0\mathrm{e}^{x+1}-\mathrm{e}^{2x-3}=0

    ex+1−e2x−3=0⇔ex+1=e2x−3⇔x+1=2x−3⇔x=4.\mathrm{e}^{x+1}-\mathrm{e}^{2x-3}=0 \iff \mathrm{e}^{x+1}=\mathrm{e}^{2x-3} \iff x+1=2x-3 \iff x=4.

    S={4}\boxed{S=\{4\}}

  3. Résolution de ex−1×e3x+5=1\mathrm{e}^{x-1}\times \mathrm{e}^{3x+5}=1

    ex−1×e3x+5=1⇔e(x−1)+(3x+5)=1⇔e4x+4=e0\mathrm{e}^{x-1}\times \mathrm{e}^{3x+5}=1 \iff \mathrm{e}^{(x-1)+(3x+5)}=1 \iff \mathrm{e}^{4x+4}=\mathrm{e}^0 ⇔4x+4=0⇔x=−1.\iff 4x+4=0 \iff x=-1.

    S={−1}\boxed{S=\{-1\}}

  4. Résolution de 2ex+1ex=2e3+e−x\dfrac{2 \mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}}=2 \mathrm{e}^{3}+\mathrm{e}^{-x}

    On simplifie le membre de gauche : 2ex+1ex=2exex+1ex=2+e−x.\dfrac{2 \mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}}=\dfrac{2\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x}+\dfrac{1}{\mathrm{e}^x}=2+\mathrm{e}^{-x}.

    L’équation devient donc 2+e−x=2e3+e−x.2+\mathrm{e}^{-x}=2\mathrm{e}^3+\mathrm{e}^{-x}.

    On retranche e−x\mathrm{e}^{-x} dans les deux membres : 2=2e3⇔1=e3,2=2\mathrm{e}^3 \iff 1=\mathrm{e}^3, ce qui est faux puisque e3>1\mathrm{e}^3>1.

    Donc cette équation n’a pas de solution.

    S=⌀\boxed{S=\varnothing}

Exercice 13 — Résolution d’inéquations exponentielles ★★

Résoudre les inéquations suivantes :

  1. ex>1\; \mathrm{e}^{x}>1\qquad

  2. e2x≥e\; \mathrm{e}^{2x}\geq \mathrm{e} \qquad

  3. ex+1<1\; \mathrm{e}^{x+1}<1\qquad

  4. ex<e−x\; \mathrm{e}^{x}<\mathrm{e}^{-x}

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On utilise le fait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ\mathbb{R}. Ainsi, pour tous réels aa et bb,

a<b⇔ea<ebeta≤b⇔ea≤eb.a<b \iff \mathrm{e}^a<\mathrm{e}^b \qquad \text{et} \qquad a\leq b \iff \mathrm{e}^a\leq \mathrm{e}^b.

De plus, 1=e0.1=\mathrm{e}^0.

  1. Résolution de ex>1\mathrm{e}^x>1

    ex>1⇔ex>e0⇔x>0.\mathrm{e}^x>1 \iff \mathrm{e}^x>\mathrm{e}^0 \iff x>0.

    Donc S=]0;+∞[\boxed{S=]0;+\infty[}

  2. Résolution de e2x≥e\mathrm{e}^{2x}\geq \mathrm{e}

    Comme e=e1\mathrm{e}=\mathrm{e}^1,

    e2x≥e⇔e2x≥e1⇔2x≥1⇔x≥12.\mathrm{e}^{2x}\geq \mathrm{e} \iff \mathrm{e}^{2x}\geq \mathrm{e}^1 \iff 2x\geq 1 \iff x\geq \dfrac12.

    Donc S=[12;+∞[\boxed{S=\left[\dfrac12;+\infty\right[}

  3. Résolution de ex+1<1\mathrm{e}^{x+1}<1

    ex+1<1⇔ex+1<e0⇔x+1<0⇔x<−1.\mathrm{e}^{x+1}<1 \iff \mathrm{e}^{x+1}<\mathrm{e}^0 \iff x+1<0 \iff x<-1.

    Donc S=]−∞;−1[\boxed{S=]-\infty;-1[}

  4. Résolution de ex<e−x\mathrm{e}^x<\mathrm{e}^{-x}

    ex<e−x⇔x<−x⇔2x<0⇔x<0.\mathrm{e}^x<\mathrm{e}^{-x} \iff x<-x \iff 2x<0 \iff x<0.

    Donc S=]−∞;0[\boxed{S=]-\infty;0[}

Exercice 14 — Résolution d’inéquations exponentielles ★★

Résoudre les inéquations suivantes :

  1. e2x−1>0\; \mathrm{e}^{2x}-1>0\qquad

  2. ex+3ex+1>2\; \dfrac{\mathrm{e}^{x}+3}{\mathrm{e}^{x}+1}>2\qquad

  3. e2x+5<e1−x\; \mathrm{e}^{2x+5}<\mathrm{e}^{1-x}\qquad

  4. ex−e2x≤0\; \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{2x}\leqslant 0

✅ Afficher le corrigé écrit

On utilise le fait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ\mathbb{R} et que, pour tout réel xx, ex>0.\mathrm{e}^x>0.

  1. Résolution de e2x−1>0\mathrm{e}^{2x}-1>0

    e2x−1>0⇔e2x>1⇔e2x>e0⇔2x>0⇔x>0.\mathrm{e}^{2x}-1>0 \iff \mathrm{e}^{2x}>1 \iff \mathrm{e}^{2x}>\mathrm{e}^0 \iff 2x>0 \iff x>0.

    Donc S=]0;+∞[\boxed{S=]0;+\infty[}

  2. Résolution de ex+3ex+1>2\dfrac{\mathrm{e}^x+3}{\mathrm{e}^x+1}>2

    Comme ex>0\mathrm{e}^x>0, on a ex+1>0\mathrm{e}^x+1>0, donc on peut multiplier par ex+1\mathrm{e}^x+1 sans changer le sens de l’inégalité : ex+3ex+1>2⇔ex+3>2(ex+1)\dfrac{\mathrm{e}^x+3}{\mathrm{e}^x+1}>2 \iff \mathrm{e}^x+3>2(\mathrm{e}^x+1) ⇔ex+3>2ex+2⇔1>ex⇔ex<e0⇔x<0.\iff \mathrm{e}^x+3>2\mathrm{e}^x+2 \iff 1>\mathrm{e}^x \iff \mathrm{e}^x<\mathrm{e}^0 \iff x<0.

    Donc S=]−∞;0[\boxed{S=]-\infty;0[}

  3. Résolution de e2x+5<e1−x\mathrm{e}^{2x+5}<\mathrm{e}^{1-x}

    La fonction exponentielle étant strictement croissante, e2x+5<e1−x⇔2x+5<1−x⇔3x<−4⇔x<−43.\mathrm{e}^{2x+5}<\mathrm{e}^{1-x} \iff 2x+5<1-x \iff 3x<-4 \iff x<-\dfrac43.

    Donc S=]−∞;−43[\boxed{S=]-\infty;-\dfrac43[}

  4. Résolution de ex−e2x≤0\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{2x}\leqslant 0

    On factorise par ex\mathrm{e}^x : ex−e2x≤0⇔ex(1−ex)≤0.\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{2x}\leqslant 0 \iff \mathrm{e}^x(1-\mathrm{e}^x)\leqslant 0.

    Or ex>0\mathrm{e}^x>0 pour tout réel xx, donc le signe du produit est celui de 1−ex1-\mathrm{e}^x. Ainsi ex(1−ex)≤0⇔1−ex≤0⇔ex≥1\mathrm{e}^x(1-\mathrm{e}^x)\leqslant 0 \iff 1-\mathrm{e}^x\leqslant 0 \iff \mathrm{e}^x\geqslant 1 ⇔ex≥e0⇔x≥0.\iff \mathrm{e}^x\geqslant \mathrm{e}^0 \iff x\geqslant 0.

    Donc S=[0;+∞[\boxed{S=[0;+\infty[}

Exercice 15 — Signe d’expressions exponentielles ★

Donner le signe des expressions suivantes :

  1. 6ex−66\mathrm{e}^{x}-6

  2. 5ex+35\mathrm{e}^{x}+3

  3. −3ex−e-3\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}

  4. −3ex+3e-3\mathrm{e}^{x}+3\mathrm{e}

  5. 8−8ex8-8\mathrm{e}^{x}

  6. e2x+3ex+7\mathrm{e}^{2x}+3\mathrm{e}^{x}+7

  7. −4e2x−2ex−9-4\mathrm{e}^{2x}-2\mathrm{e}^{x}-9

  8. e2x−1\mathrm{e}^{2x}-1

  9. 2−2e2x2-2\mathrm{e}^{2x}

✅ Afficher le corrigé écrit

On utilise les propriétés suivantes : ex>0pour tout réel xet1=e0.\mathrm{e}^x>0 \quad \text{pour tout réel } x \qquad \text{et} \qquad 1=\mathrm{e}^0.

  1. 6ex−6=6(ex−1).6\mathrm{e}^x-6=6(\mathrm{e}^x-1). Comme 6>06>0, cette expression a le même signe que ex−1\mathrm{e}^x-1. Or ex−1=0⇔ex=1⇔x=0.\mathrm{e}^x-1=0 \iff \mathrm{e}^x=1 \iff x=0. Donc : x−∞0+∞6ex−6−0+\begin{array}{c|ccccc} x&-\infty&&0&&+\infty\\ 6\mathrm{e}^x-6&&-&0&+&\\ \end{array}

  2. 5ex+3.5\mathrm{e}^x+3. Comme ex>0\mathrm{e}^x>0, on a 5ex>05\mathrm{e}^x>0, donc 5ex+3>0.5\mathrm{e}^x+3>0. Ainsi : x−∞+∞5ex+3+\begin{array}{c|ccccc} x&-\infty&&&&+\infty\\ 5\mathrm{e}^x+3&&+&&&\\ \end{array}

  3. −3ex−e=−(3ex+e).-3\mathrm{e}^x-\mathrm{e}=-(3\mathrm{e}^x+\mathrm{e}). Or 3ex+e>03\mathrm{e}^x+\mathrm{e}>0, donc −3ex−e<0.-3\mathrm{e}^x-\mathrm{e}<0. Ainsi : x−∞+∞−3ex−e−\begin{array}{c|ccccc} x&-\infty&&&&+\infty\\ -3\mathrm{e}^x-\mathrm{e}&&-&&&\\ \end{array}

  4. −3ex+3e=3(e−ex).-3\mathrm{e}^x+3\mathrm{e}=3(\mathrm{e}-\mathrm{e}^x). Comme 3>03>0, cette expression a le même signe que e−ex\mathrm{e}-\mathrm{e}^x. Or e−ex=0⇔ex=e⇔x=1.\mathrm{e}-\mathrm{e}^x=0 \iff \mathrm{e}^x=\mathrm{e} \iff x=1. Donc : x−∞1+∞−3ex+3e+0−\begin{array}{c|ccccc} x&-\infty&&1&&+\infty\\ -3\mathrm{e}^x+3\mathrm{e}&&+&0&-&\\ \end{array}

  5. 8−8ex=8(1−ex).8-8\mathrm{e}^x=8(1-\mathrm{e}^x). Comme 8>08>0, cette expression a le même signe que 1−ex1-\mathrm{e}^x. Or 1−ex=0⇔ex=1⇔x=0.1-\mathrm{e}^x=0 \iff \mathrm{e}^x=1 \iff x=0. Donc : x−∞0+∞8−8ex+0−\begin{array}{c|ccccc} x&-\infty&&0&&+\infty\\ 8-8\mathrm{e}^x&&+&0&-&\\ \end{array}

  6. e2x+3ex+7.\mathrm{e}^{2x}+3\mathrm{e}^x+7. Chaque terme est strictement positif, donc e2x+3ex+7>0.\mathrm{e}^{2x}+3\mathrm{e}^x+7>0. Ainsi : x−∞+∞e2x+3ex+7+\begin{array}{c|ccccc} x&-\infty&&&&+\infty\\ \mathrm{e}^{2x}+3\mathrm{e}^x+7&&+&&&\\ \end{array}

Exercice 16 — Étude de signe d’une expression exponentielle ★★

Etudier le signe de f(x)=x2ex−ex+2f(x)=x^2\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{x+2} sur ℝ\mathbb{R}.

✅ Afficher le corrigé écrit

Pour tout réel xx, f(x)=x2ex−ex+2=ex(x2−e2).f(x)=x^2\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{x+2}=\mathrm{e}^x\big(x^2-\mathrm{e}^2\big).

Or ex>0sur ℝ,\mathrm{e}^x>0 \quad \text{sur } \mathbb{R}, donc f(x)f(x) a le même signe que x2−e2.x^2-\mathrm{e}^2.

On reconnaît une différence de deux carrés : x2−e2=(x−e)(x+e).x^2-\mathrm{e}^2=(x-\mathrm{e})(x+\mathrm{e}).

Les zéros de ff sont donc les solutions de x2−e2=0⇔x=−e ou x=e.x^2-\mathrm{e}^2=0 \iff x=-\mathrm{e} \text{ ou } x=\mathrm{e}.

Comme x2−e2x^2-\mathrm{e}^2 est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles, on obtient :

x−∞−ee+∞f(x)+0−0+\begin{array}{c|ccccccc} x&-\infty&&-\mathrm{e}&&\mathrm{e}&&+\infty\\ f(x)&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}

Ainsi, {f(x)>0si x∈]−∞;−e[∪]e;+∞[f(x)=0si x=−e ou x=ef(x)<0si x∈]−e;e[\boxed{ \begin{cases} f(x)>0 & \text{si } x\in ]-\infty;-\mathrm{e}[\,\cup\,]\mathrm{e};+\infty[\\ f(x)=0 & \text{si } x=-\mathrm{e} \text{ ou } x=\mathrm{e}\\ f(x)<0 & \text{si } x\in ]-\mathrm{e};\mathrm{e}[ \end{cases}}

Exercice 17 — Étude de signe d’une expression exponentielle ★★

Etudier le signe de f(x)=ex−e2xf(x)=\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{2x} sur ℝ\mathbb{R}.

✅ Afficher le corrigé écrit

Pour tout réel xx, f(x)=ex−e2x.f(x)=\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{2x}.

On factorise par ex\mathrm{e}^x :

f(x)=ex(1−ex).f(x)=\mathrm{e}^x(1-\mathrm{e}^x).

Or ex>0pour tout réel x,\mathrm{e}^x>0 \quad \text{pour tout réel } x, donc f(x)f(x) a le même signe que 1−ex1-\mathrm{e}^x.

Cherchons quand 1−ex=01-\mathrm{e}^x=0 : 1−ex=0⇔ex=1⇔x=0.1-\mathrm{e}^x=0 \iff \mathrm{e}^x=1 \iff x=0.

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante : x<0⇒ex<1⇒1−ex>0,x>0⇒ex>1⇒1−ex<0.x<0 \Rightarrow \mathrm{e}^x<1 \Rightarrow 1-\mathrm{e}^x>0, \qquad x>0 \Rightarrow \mathrm{e}^x>1 \Rightarrow 1-\mathrm{e}^x<0.

Ainsi :

x−∞0+∞f(x)+0−\begin{array}{c|ccccc} x&-\infty&&0&&+\infty\\ f(x)&&+&0&-&\\ \end{array}

Donc

{f(x)>0si x∈]−∞;0[f(x)=0si x=0f(x)<0si x∈]0;+∞[\boxed{ \begin{cases} f(x)>0 & \text{si } x\in ]-\infty;0[\\ f(x)=0 & \text{si } x=0\\ f(x)<0 & \text{si } x\in ]0;+\infty[ \end{cases}}

Exercice 18 — Étude de signe d’une expression exponentielle ★

Etudier le signe de f(x)=ex−e−xf(x)=\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x} sur ℝ\mathbb{R}.

✅ Afficher le corrigé écrit

Pour tout réel xx, f(x)=ex−e−x=e−x(e2x−1).f(x)=\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^{-x}(\mathrm{e}^{2x}-1).

Or e−x>0sur ℝ,\mathrm{e}^{-x}>0 \quad \text{sur } \mathbb{R}, donc f(x)f(x) a le même signe que e2x−1\mathrm{e}^{2x}-1.

Cherchons quand e2x−1=0\mathrm{e}^{2x}-1=0 : e2x−1=0⇔e2x=1⇔2x=0⇔x=0.\mathrm{e}^{2x}-1=0 \iff \mathrm{e}^{2x}=1 \iff 2x=0 \iff x=0.

La fonction exponentielle étant strictement croissante : x<0⇒e2x<1⇒e2x−1<0,x>0⇒e2x>1⇒e2x−1>0.x<0 \Rightarrow \mathrm{e}^{2x}<1 \Rightarrow \mathrm{e}^{2x}-1<0, \qquad x>0 \Rightarrow \mathrm{e}^{2x}>1 \Rightarrow \mathrm{e}^{2x}-1>0.

On obtient donc :

x−∞0+∞f(x)−0+\begin{array}{c|ccccc} x&-\infty&&0&&+\infty\\ f(x)&&-&0&+&\\ \end{array}

Ainsi,

{f(x)<0si x<0f(x)=0si x=0f(x)>0si x>0\boxed{ \begin{cases} f(x)<0 & \text{si } x<0\\ f(x)=0 & \text{si } x=0\\ f(x)>0 & \text{si } x>0 \end{cases}}

Exercice 19 — Étude de signe d’un quotient exponentiel ★★

Etudier le signe de f(x)=ex+1ex−1f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x+1}{\mathrm{e}^x-1} sur ℝ*\mathbb{R}^{*}.

✅ Afficher le corrigé écrit

On étudie le signe du numérateur et du dénominateur.

Pour tout réel xx, ex>0.\mathrm{e}^x>0.

Donc ex+1>0,\mathrm{e}^x+1>0, ainsi le numérateur est strictement positif sur ℝ\mathbb{R}.

Il reste donc à étudier le signe de ex−1.\mathrm{e}^x-1.

On a ex−1=0⇔ex=1⇔x=0.\mathrm{e}^x-1=0 \iff \mathrm{e}^x=1 \iff x=0.

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, x<0⇒ex<1⇒ex−1<0,x>0⇒ex>1⇒ex−1>0.x<0 \Rightarrow \mathrm{e}^x<1 \Rightarrow \mathrm{e}^x-1<0, \qquad x>0 \Rightarrow \mathrm{e}^x>1 \Rightarrow \mathrm{e}^x-1>0.

Le quotient a donc le même signe que ex−1\mathrm{e}^x-1, puisque le numérateur est toujours positif.

On obtient :

x−∞0+∞ex+1++ex−1−0+f(x)−n.d.+\begin{array}{c|ccccc} x&-\infty&&0&&+\infty\\ \mathrm{e}^x+1&&+&&+&\\ \mathrm{e}^x-1&&-&0&+&\\ f(x)&&-&\text{n.d.}&+&\\ \end{array}

Ainsi, {f(x)<0si x∈]−∞;0[f(x)>0si x∈]0;+∞[\boxed{ \begin{cases} f(x)<0 & \text{si } x\in ]-\infty;0[\\ f(x)>0 & \text{si } x\in ]0;+\infty[ \end{cases}}

Comme 0∉ℝ*0\notin \mathbb{R}^*, la fonction est bien étudiée sur ℝ*=]−∞;0[∪]0;+∞[.\mathbb{R}^*=]-\infty;0[\cup]0;+\infty[.

Exercice 20 — Calcul de dérivées avec l’exponentielle ★

Calculer la fonction dérivée de la fonction ff définie sur DD .

  1. f(x)=xexf(x)=x\mathrm{e}^x sur D=ℝD=\mathbb{R}

  2. f(x)=exxf(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{x} sur D=ℝ*D=\mathbb{R}^{*}

  3. f(x)=(4x+3)exf(x)=(4x+3)\mathrm{e}^x sur D=ℝD=\mathbb{R}

  4. f(x)=ex+2ex+1f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x+2}{\mathrm{e}^x+1} sur D=ℝD=\mathbb{R}

✅ Afficher le corrigé écrit

  1. Dérivée de f(x)=xexf(x)=x\mathrm{e}^x

    On utilise la formule : (uv)′=u′v+uv′.(uv)’=u’v+uv’.

    Avec u(x)=xu(x)=x et v(x)=exv(x)=\mathrm{e}^x, on a u′(x)=1etv′(x)=ex.u'(x)=1 \qquad \text{et} \qquad v'(x)=\mathrm{e}^x.

    Donc f′(x)=1×ex+x×ex=(x+1)ex.f'(x)=1\times \mathrm{e}^x+x\times \mathrm{e}^x=(x+1)\mathrm{e}^x.

    f′(x)=(x+1)ex\boxed{f'(x)=(x+1)\mathrm{e}^x}

  2. Dérivée de f(x)=exxf(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{x}

    On utilise la formule : (uv)′=u′v−uv′v2.\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}.

    Avec u(x)=exu(x)=\mathrm{e}^x et v(x)=xv(x)=x, on a u′(x)=exetv′(x)=1.u'(x)=\mathrm{e}^x \qquad \text{et} \qquad v'(x)=1.

    Donc f′(x)=ex⋅x−ex⋅1x2=ex(x−1)x2.f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x\cdot x-\mathrm{e}^x\cdot 1}{x^2} =\dfrac{\mathrm{e}^x(x-1)}{x^2}.

    f′(x)=ex(x−1)x2\boxed{f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x(x-1)}{x^2}}

  3. Dérivée de f(x)=(4x+3)exf(x)=(4x+3)\mathrm{e}^x

    On utilise la formule : (uv)′=u′v+uv′.(uv)’=u’v+uv’.

    Avec u(x)=4x+3u(x)=4x+3 et v(x)=exv(x)=\mathrm{e}^x, on a u′(x)=4etv′(x)=ex.u'(x)=4 \qquad \text{et} \qquad v'(x)=\mathrm{e}^x.

    Donc f′(x)=4ex+(4x+3)ex=(4x+7)ex.f'(x)=4\mathrm{e}^x+(4x+3)\mathrm{e}^x=(4x+7)\mathrm{e}^x.

    f′(x)=(4x+7)ex\boxed{f'(x)=(4x+7)\mathrm{e}^x}

  4. Dérivée de f(x)=ex+2ex+1f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x+2}{\mathrm{e}^x+1}

    On utilise la formule : (uv)′=u′v−uv′v2.\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}.

    Avec u(x)=ex+2etv(x)=ex+1,u(x)=\mathrm{e}^x+2 \qquad \text{et} \qquad v(x)=\mathrm{e}^x+1, on a u′(x)=exetv′(x)=ex.u'(x)=\mathrm{e}^x \qquad \text{et} \qquad v'(x)=\mathrm{e}^x.

    Donc f′(x)=ex(ex+1)−(ex+2)ex(ex+1)2=e2x+ex−e2x−2ex(ex+1)2=−ex(ex+1)2.f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x(\mathrm{e}^x+1)-(\mathrm{e}^x+2)\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x+1)^2} =\dfrac{\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{2x}-2\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x+1)^2} =\dfrac{-\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x+1)^2}.

    f′(x)=−ex(ex+1)2\boxed{f'(x)=\dfrac{-\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x+1)^2}}

Exercice 21 — Calcul de dérivées avec l’exponentielle ★

Calculer la fonction dérivée de la fonction ff définie sur DD .

  1. f(x)=3ex+4x−e2f(x)=3\mathrm{e}^x+4x-\mathrm{e}^2 sur D=ℝD=\mathbb{R}

  2. f(x)=3ex+3ex+4f(x)=\dfrac{3\mathrm{e}^x+3}{\mathrm{e}^x+4} sur D=ℝD=\mathbb{R}

  3. f(x)=(x2−x)exf(x)=(x^2-x)\mathrm{e}^x sur D=ℝD=\mathbb{R}

  4. f(x)=3exx+1f(x)=\dfrac{3\mathrm{e}^x}{x+1} sur D=]−1;+∞[D=]-1;+\infty[

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  1. Dérivée de f(x)=3ex+4x−e2f(x)=3\mathrm{e}^x+4x-\mathrm{e}^2

    On dérive terme à terme : f′(x)=3ex+4.f'(x)=3\mathrm{e}^x+4.

    f′(x)=3ex+4\boxed{f'(x)=3\mathrm{e}^x+4}

  2. Dérivée de f(x)=3ex+3ex+4f(x)=\dfrac{3\mathrm{e}^x+3}{\mathrm{e}^x+4}

    On utilise la formule : (uv)′=u′v−uv′v2.\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}.

    Avec u(x)=3ex+3etv(x)=ex+4,u(x)=3\mathrm{e}^x+3 \qquad \text{et} \qquad v(x)=\mathrm{e}^x+4, on a u′(x)=3exetv′(x)=ex.u'(x)=3\mathrm{e}^x \qquad \text{et} \qquad v'(x)=\mathrm{e}^x.

    Donc f′(x)=3ex(ex+4)−(3ex+3)ex(ex+4)2=3e2x+12ex−3e2x−3ex(ex+4)2=9ex(ex+4)2.f'(x)=\dfrac{3\mathrm{e}^x(\mathrm{e}^x+4)-(3\mathrm{e}^x+3)\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x+4)^2} =\dfrac{3\mathrm{e}^{2x}+12\mathrm{e}^x-3\mathrm{e}^{2x}-3\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x+4)^2} =\dfrac{9\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x+4)^2}.

    f′(x)=9ex(ex+4)2\boxed{f'(x)=\dfrac{9\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x+4)^2}}

  3. Dérivée de f(x)=(x2−x)exf(x)=(x^2-x)\mathrm{e}^x

    On utilise la formule : (uv)′=u′v+uv′.(uv)’=u’v+uv’.

    Avec u(x)=x2−xetv(x)=ex,u(x)=x^2-x \qquad \text{et} \qquad v(x)=\mathrm{e}^x, on a u′(x)=2x−1etv′(x)=ex.u'(x)=2x-1 \qquad \text{et} \qquad v'(x)=\mathrm{e}^x.

    Donc f′(x)=(2x−1)ex+(x2−x)ex=(x2+x−1)ex.f'(x)=(2x-1)\mathrm{e}^x+(x^2-x)\mathrm{e}^x=(x^2+x-1)\mathrm{e}^x.

    f′(x)=(x2+x−1)ex\boxed{f'(x)=(x^2+x-1)\mathrm{e}^x}

  4. Dérivée de f(x)=3exx+1f(x)=\dfrac{3\mathrm{e}^x}{x+1}

    On utilise la formule : (uv)′=u′v−uv′v2.\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}.

    Avec u(x)=3exetv(x)=x+1,u(x)=3\mathrm{e}^x \qquad \text{et} \qquad v(x)=x+1, on a u′(x)=3exetv′(x)=1.u'(x)=3\mathrm{e}^x \qquad \text{et} \qquad v'(x)=1.

    Donc f′(x)=3ex(x+1)−3ex(x+1)2=3xex(x+1)2.f'(x)=\dfrac{3\mathrm{e}^x(x+1)-3\mathrm{e}^x}{(x+1)^2} =\dfrac{3x\mathrm{e}^x}{(x+1)^2}.

    f′(x)=3xex(x+1)2\boxed{f'(x)=\dfrac{3x\mathrm{e}^x}{(x+1)^2}}

Exercice 22 — Calcul de dérivées avec l’exponentielle ★

Dans chaque cas, trouver l’expression de f′f’(on ne s’occupera pas des problèmes de dérivabilité ).

  1. f(x)=(x2−2x)exf(x)=(x^2-2x)\mathrm{e}^x

  2. f(x)=1xexf(x)=\dfrac{1}{x}\mathrm{e}^x

  3. f(x)=ex−12ex+1f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{2\mathrm{e}^x+1}

  4. f(x)=exex−xf(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x-x}

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  1. Dérivée de f(x)=(x2−2x)exf(x)=(x^2-2x)\mathrm{e}^x

    On utilise la formule : (uv)′=u′v+uv′.(uv)’=u’v+uv’.

    Avec u(x)=x2−2xu(x)=x^2-2x et v(x)=exv(x)=\mathrm{e}^x, on a u′(x)=2x−2etv′(x)=ex.u'(x)=2x-2 \qquad \text{et} \qquad v'(x)=\mathrm{e}^x.

    Donc f′(x)=(2x−2)ex+(x2−2x)ex=(x2−2)ex.f'(x)=(2x-2)\mathrm{e}^x+(x^2-2x)\mathrm{e}^x=(x^2-2)\mathrm{e}^x.

    f′(x)=(x2−2)ex\boxed{f'(x)=(x^2-2)\mathrm{e}^x}

  2. Dérivée de f(x)=1xexf(x)=\dfrac{1}{x}\mathrm{e}^x

    On utilise la formule : (uv)′=u′v+uv′.(uv)’=u’v+uv’.

    Avec u(x)=1xu(x)=\dfrac{1}{x} et v(x)=exv(x)=\mathrm{e}^x, on a u′(x)=−1x2etv′(x)=ex.u'(x)=-\dfrac{1}{x^2} \qquad \text{et} \qquad v'(x)=\mathrm{e}^x.

    Donc f′(x)=−1x2ex+1xex=ex(−1x2+1x)=(x−1)exx2.f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\mathrm{e}^x+\dfrac{1}{x}\mathrm{e}^x =\mathrm{e}^x\left(-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}\right) =\dfrac{(x-1)\mathrm{e}^x}{x^2}.

    f′(x)=(x−1)exx2\boxed{f'(x)=\dfrac{(x-1)\mathrm{e}^x}{x^2}}

  3. Dérivée de f(x)=ex−12ex+1f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x-1}{2\mathrm{e}^x+1}

    On utilise la formule : (uv)′=u′v−uv′v2.\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}.

    Avec u(x)=ex−1u(x)=\mathrm{e}^x-1 et v(x)=2ex+1v(x)=2\mathrm{e}^x+1, on a u′(x)=exetv′(x)=2ex.u'(x)=\mathrm{e}^x \qquad \text{et} \qquad v'(x)=2\mathrm{e}^x.

    Donc f′(x)=ex(2ex+1)−(ex−1)2ex(2ex+1)2=2e2x+ex−2e2x+2ex(2ex+1)2=3ex(2ex+1)2.f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x(2\mathrm{e}^x+1)-(\mathrm{e}^x-1)\,2\mathrm{e}^x}{(2\mathrm{e}^x+1)^2} =\dfrac{2\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^x-2\mathrm{e}^{2x}+2\mathrm{e}^x}{(2\mathrm{e}^x+1)^2} =\dfrac{3\mathrm{e}^x}{(2\mathrm{e}^x+1)^2}.

    f′(x)=3ex(2ex+1)2\boxed{f'(x)=\dfrac{3\mathrm{e}^x}{(2\mathrm{e}^x+1)^2}}

  4. Dérivée de f(x)=exex−xf(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^x-x}

    On utilise la formule : (uv)′=u′v−uv′v2.\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}.

    Avec u(x)=exu(x)=\mathrm{e}^x et v(x)=ex−xv(x)=\mathrm{e}^x-x, on a u′(x)=exetv′(x)=ex−1.u'(x)=\mathrm{e}^x \qquad \text{et} \qquad v'(x)=\mathrm{e}^x-1.

    Donc f′(x)=ex(ex−x)−ex(ex−1)(ex−x)2=e2x−xex−e2x+ex(ex−x)2=(1−x)ex(ex−x)2.f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^x(\mathrm{e}^x-x)-\mathrm{e}^x(\mathrm{e}^x-1)}{(\mathrm{e}^x-x)^2} =\dfrac{\mathrm{e}^{2x}-x\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x-x)^2} =\dfrac{(1-x)\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x-x)^2}.

    f′(x)=(1−x)ex(ex−x)2\boxed{f'(x)=\dfrac{(1-x)\mathrm{e}^x}{(\mathrm{e}^x-x)^2}}

Exercice 23 — Calcul de dérivées avec l’exponentielle ★

Dans chaque cas, trouver l’expression de f′f’(on ne s’occupera pas des problèmes de dérivabilité ).

  1. f(x)=x2−2(x−1)exf(x)=x^2-2(x-1)\mathrm{e}^x

  2. f(x)=x2exf(x)=x^2\mathrm{e}^{x}

  3. f(x)=2(x−1)exf(x)=2(x-1)\mathrm{e}^{x}

  4. f(x)=cos(x)exf(x)=\cos(x)\mathrm{e}^x

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  1. Dérivée de f(x)=x2−2(x−1)exf(x)=x^2-2(x-1)\mathrm{e}^x

    On dérive d’abord x2x^2, puis on utilise la formule (uv)′=u′v+uv′(uv)’=u’v+uv’ avec u(x)=x−1u(x)=x-1 et v(x)=exv(x)=\mathrm{e}^x. On a u′(x)=1etv′(x)=ex.u'(x)=1 \qquad \text{et} \qquad v'(x)=\mathrm{e}^x.

    Donc f′(x)=2x−2(u′(x)v(x)+u(x)v′(x))=2x−2(ex+(x−1)ex)f'(x)=2x-2\big(u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\big) =2x-2\big(\mathrm{e}^x+(x-1)\mathrm{e}^x\big) f′(x)=2x−2xex.f'(x)=2x-2x\mathrm{e}^x.

    f′(x)=2x−2xex\boxed{f'(x)=2x-2x\mathrm{e}^x}

  2. Dérivée de f(x)=x2exf(x)=x^2\mathrm{e}^x

    On utilise la formule (uv)′=u′v+uv′(uv)’=u’v+uv’ avec u(x)=x2u(x)=x^2 et v(x)=exv(x)=\mathrm{e}^x. On a u′(x)=2xetv′(x)=ex.u'(x)=2x \qquad \text{et} \qquad v'(x)=\mathrm{e}^x.

    Donc f′(x)=2xex+x2ex=(x2+2x)ex.f'(x)=2x\mathrm{e}^x+x^2\mathrm{e}^x=(x^2+2x)\mathrm{e}^x.

    f′(x)=(x2+2x)ex\boxed{f'(x)=(x^2+2x)\mathrm{e}^x}

  3. Dérivée de f(x)=2(x−1)exf(x)=2(x-1)\mathrm{e}^x

    On utilise la formule (uv)′=u′v+uv′(uv)’=u’v+uv’ avec u(x)=x−1u(x)=x-1 et v(x)=exv(x)=\mathrm{e}^x. On a u′(x)=1etv′(x)=ex.u'(x)=1 \qquad \text{et} \qquad v'(x)=\mathrm{e}^x.

    Donc f′(x)=2(ex+(x−1)ex)=2xex.f'(x)=2\big(\mathrm{e}^x+(x-1)\mathrm{e}^x\big)=2x\mathrm{e}^x.

    f′(x)=2xex\boxed{f'(x)=2x\mathrm{e}^x}

  4. Dérivée de f(x)=cos(x)exf(x)=\cos(x)\mathrm{e}^x

    On utilise la formule (uv)′=u′v+uv′(uv)’=u’v+uv’ avec u(x)=cos(x)u(x)=\cos(x) et v(x)=exv(x)=\mathrm{e}^x. On a u′(x)=−sin(x)etv′(x)=ex.u'(x)=-\sin(x) \qquad \text{et} \qquad v'(x)=\mathrm{e}^x.

    Donc f′(x)=−sin(x)ex+cos(x)ex=(cos(x)−sin(x))ex.f'(x)=-\sin(x)\mathrm{e}^x+\cos(x)\mathrm{e}^x=(\cos(x)-\sin(x))\mathrm{e}^x.

    f′(x)=(cos(x)−sin(x))ex\boxed{f'(x)=(\cos(x)-\sin(x))\mathrm{e}^x}

Exercice 24 — Calcul d’une dérivée seconde avec l’exponentielle ★

Soit ff définie sur ℝ\mathbb{R} par f(x)=(3x+1)e2x−4f(x)=(3x+1)\mathrm{e}^{2x-4} .

On admet que ff est deux fois dérivable sur $\R$ et on note f″f » sa dérivée seconde.

Montrer que pour tout xx réel , f″(x)=4(3x+4)e2x−4f »(x)=4(3x+4)\mathrm{e}^{2x-4}

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On commence par calculer f′f’.

On utilise la formule du produit : (uv)′=u′v+uv′.(uv)’=u’v+uv’.

Avec u(x)=3x+1etv(x)=e2x−4.u(x)=3x+1 \qquad \text{et} \qquad v(x)=\mathrm{e}^{2x-4}.

On a u′(x)=3.u'(x)=3.

De plus, pour la dérivée de vv, on utilise : ddx(eu(x))=u′(x)eu(x).\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\big(\mathrm{e}^{u(x)}\big)=u'(x)\mathrm{e}^{u(x)}.

Ici, dans l’exponentielle, u(x)=2x−4u(x)=2x-4, donc ddx(e2x−4)=2e2x−4.\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\big(\mathrm{e}^{2x-4}\big)=2\mathrm{e}^{2x-4}.

Ainsi, f′(x)=3e2x−4+(3x+1)×2e2x−4=(3+6x+2)e2x−4=(6x+5)e2x−4.f'(x)=3\mathrm{e}^{2x-4}+(3x+1)\times 2\mathrm{e}^{2x-4} =\big(3+6x+2\big)\mathrm{e}^{2x-4} =(6x+5)\mathrm{e}^{2x-4}.

Calculons maintenant f″f ».

On utilise encore la formule du produit : (uv)′=u′v+uv′(uv)’=u’v+uv’ avec u(x)=6x+5etv(x)=e2x−4.u(x)=6x+5 \qquad \text{et} \qquad v(x)=\mathrm{e}^{2x-4}.

On a u′(x)=6etv′(x)=2e2x−4.u'(x)=6 \qquad \text{et} \qquad v'(x)=2\mathrm{e}^{2x-4}.

Donc f″(x)=6e2x−4+(6x+5)×2e2x−4=(6+12x+10)e2x−4=(12x+16)e2x−4.f »(x)=6\mathrm{e}^{2x-4}+(6x+5)\times 2\mathrm{e}^{2x-4} =\big(6+12x+10\big)\mathrm{e}^{2x-4} =(12x+16)\mathrm{e}^{2x-4}.

On factorise par 44 : f″(x)=4(3x+4)e2x−4.f »(x)=4(3x+4)\mathrm{e}^{2x-4}.

f″(x)=4(3x+4)e2x−4\boxed{f »(x)=4(3x+4)\mathrm{e}^{2x-4}}

Exercice 25 — Calcul d’une dérivée troisième ★

Soit ff définie sur ℝ\mathbb{R} par f(x)=(x+1)exf(x)=(x+1)\mathrm{e}^x .

Calculer la dérivée troisième de ff .

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Calcul de f′f’

On utilise la formule du produit : (uv)′=u′v+uv′.(uv)’=u’v+uv’.

Avec u(x)=x+1u(x)=x+1 et v(x)=exv(x)=\mathrm{e}^x, on a u′(x)=1etv′(x)=ex.u'(x)=1 \qquad \text{et} \qquad v'(x)=\mathrm{e}^x.

Donc f′(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex.f'(x)=\mathrm{e}^x+(x+1)\mathrm{e}^x=(x+2)\mathrm{e}^x.

Calcul de f″f »

On dérive encore en utilisant la formule du produit avec u(x)=x+2etv(x)=ex.u(x)=x+2 \qquad \text{et} \qquad v(x)=\mathrm{e}^x.

On a u′(x)=1etv′(x)=ex.u'(x)=1 \qquad \text{et} \qquad v'(x)=\mathrm{e}^x.

Donc f″(x)=ex+(x+2)ex=(x+3)ex.f »(x)=\mathrm{e}^x+(x+2)\mathrm{e}^x=(x+3)\mathrm{e}^x.

Calcul de f‴f »’

On dérive une troisième fois avec u(x)=x+3etv(x)=ex.u(x)=x+3 \qquad \text{et} \qquad v(x)=\mathrm{e}^x.

On a u′(x)=1etv′(x)=ex.u'(x)=1 \qquad \text{et} \qquad v'(x)=\mathrm{e}^x.

Donc f‴(x)=ex+(x+3)ex=(x+4)ex.f »'(x)=\mathrm{e}^x+(x+3)\mathrm{e}^x=(x+4)\mathrm{e}^x.

f‴(x)=(x+4)ex\boxed{f »'(x)=(x+4)\mathrm{e}^x}

Exercice 26 — Calcul d’une dérivée d’un quotient ★

Soit ff définie et dérivable sur ℝ∖{−1}\mathbb{R} \backslash \{-1\} par f(x)=xe2xx+1.f(x)=\dfrac{x\mathrm{e}^{2x}}{x+1}.

Déterminer l’expression de la dérivée de ff.

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On utilise la formule de dérivation d’un quotient : (uv)′=u′v−uv′v2.\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}.

Avec u(x)=xe2xetv(x)=x+1.u(x)=x\mathrm{e}^{2x} \qquad \text{et} \qquad v(x)=x+1.

Calcul de u′(x)u'(x)

On utilise la formule du produit : (uv)′=u′v+uv′.(uv)’=u’v+uv’.

Avec u1(x)=xu_1(x)=x et v1(x)=e2xv_1(x)=\mathrm{e}^{2x}, on a u1′(x)=1etddx(e2x)=2e2x.u_1′(x)=1 \qquad \text{et} \qquad \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}(\mathrm{e}^{2x})=2\mathrm{e}^{2x}.

Donc u′(x)=e2x+2xe2x=(1+2x)e2x.u'(x)=\mathrm{e}^{2x}+2x\mathrm{e}^{2x}=(1+2x)\mathrm{e}^{2x}.

Calcul de v′(x)v'(x)

v′(x)=1.v'(x)=1.

Calcul de f′(x)f'(x)

f′(x)=u′v−uv′v2=(1+2x)e2x(x+1)−xe2x(x+1)2.f'(x)=\dfrac{u’v-uv’}{v^2} =\dfrac{(1+2x)\mathrm{e}^{2x}(x+1)-x\mathrm{e}^{2x}}{(x+1)^2}.

On factorise par e2x\mathrm{e}^{2x} : f′(x)=e2x((1+2x)(x+1)−x)(x+1)2.f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{2x}\big((1+2x)(x+1)-x\big)}{(x+1)^2}.

On développe : (1+2x)(x+1)=2x2+3x+1.(1+2x)(x+1)=2x^2+3x+1.

Donc (1+2x)(x+1)−x=2x2+2x+1.(1+2x)(x+1)-x=2x^2+2x+1.

Ainsi f′(x)=(2x2+2x+1)e2x(x+1)2.\boxed{f'(x)=\dfrac{(2x^2+2x+1)\mathrm{e}^{2x}}{(x+1)^2}}.

Exercice 27 — ★

Soit ff définie sur ℝ\mathbb{R} par f(x)=1+ex10f(x)=1+\dfrac{\mathrm{e}^x}{10} .

  1. Exprimer f′(x)f'(x) en fonction de xx.

  2. Etudier le signe de f′(x)f'(x) sur ℝ\mathbb{R}

  3. Construire le tableau de variation de ff.

  4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de ff au point d’abscisse 0.

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  1. La fonction ff est définie par f(x)=1+ex10.f(x)=1+\frac{\mathrm{e}^x}{10}.

    On dérive : f′(x)=0+110×ex=ex10.f'(x)=0+\frac{1}{10}\times \mathrm{e}^x=\frac{\mathrm{e}^x}{10}.

    f′(x)=ex10\boxed{f'(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{10}}

  2. Pour tout réel xx, on sait que ex>0.\mathrm{e}^x>0. Comme 10>010>0, on en déduit que f′(x)=ex10>0.f'(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{10}>0.

    Donc f′(x)f'(x) est strictement positive sur ℝ\mathbb{R}.

    f′(x)>0 sur ℝ\boxed{f'(x)>0 \text{ sur } \mathbb{R}}

  3. Comme f′(x)>0f'(x)>0 sur ℝ\mathbb{R}, la fonction ff est strictement croissante sur ℝ\mathbb{R}.

    Le tableau de variation est donc :

    x−∞+∞f′(x)+f(x)↗\begin{array}{c|ccc} x & -\infty && +\infty\\ f'(x) & & + & \\ f(x) & & \nearrow & \\ \end{array}

  4. Une équation de la tangente à la courbe de ff au point d’abscisse 00 est y=f′(0)(x−0)+f(0).y=f'(0)(x-0)+f(0).

    Calculons f(0)f(0) : f(0)=1+e010=1+110=1110.f(0)=1+\frac{\mathrm{e}^0}{10}=1+\frac{1}{10}=\frac{11}{10}.

    Calculons f′(0)f'(0) : f′(0)=e010=110.f'(0)=\frac{\mathrm{e}^0}{10}=\frac{1}{10}.

    Donc une équation de la tangente est y=110x+1110.y=\frac{1}{10}x+\frac{11}{10}.

    y=110x+1110\boxed{y=\frac{1}{10}x+\frac{11}{10}}

Exercice 28 — ★

Soit ff définie sur ℝ\mathbb{R} par f(x)=(x+2)exf(x)=(x+2)\mathrm{e}^x .

  1. Exprimer f′(x)f'(x) en fonction de xx.

  2. Etudier le signe de f′(x)f'(x) sur ℝ\mathbb{R}

  3. Construire le tableau de variation de ff.

  4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de ff au point d’abscisse 1.

✅ Afficher le corrigé écrit

  1. La fonction ff est définie par f(x)=(x+2)ex.f(x)=(x+2)\mathrm{e}^x.

    On dérive avec la formule du produit : f′(x)=1×ex+(x+2)ex.f'(x)=1\times \mathrm{e}^x+(x+2)\mathrm{e}^x. Donc f′(x)=ex+(x+2)ex=(x+3)ex.f'(x)=\mathrm{e}^x+(x+2)\mathrm{e}^x=(x+3)\mathrm{e}^x.

    f′(x)=(x+3)ex\boxed{f'(x)=(x+3)\mathrm{e}^x}

  2. Pour tout réel xx, on sait que ex>0.\mathrm{e}^x>0. Le signe de f′(x)f'(x) est donc celui de x+3x+3.

    On a : x+3<0 si x<−3,x+3<0 \text{ si } x<-3, x+3=0 si x=−3,x+3=0 \text{ si } x=-3, x+3>0 si x>−3.x+3>0 \text{ si } x>-3.

    Donc f′(x)<0 sur ]−∞;−3[,f′(−3)=0,f′(x)>0 sur ]−3;+∞[\boxed{f'(x)<0 \text{ sur } ]-\infty;-3[, \quad f'(-3)=0, \quad f'(x)>0 \text{ sur } ]-3;+\infty[}

  3. Comme f′(x)f'(x) est négative sur ]−∞;−3[]-\infty;-3[ puis positive sur ]−3;+∞[]-3;+\infty[, la fonction ff est décroissante puis croissante.

    Calculons la valeur au point critique : f(−3)=(−3+2)e−3=−e−3.f(-3)=(-3+2)\mathrm{e}^{-3}=-\mathrm{e}^{-3}.

    On obtient donc le tableau de variation :

    x−∞−3+∞f′(x)−0+f(x)↘−e−3↗\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty && -3 && +\infty\\ f'(x) & & – & 0 & + & \\ f(x) & & \searrow & -\mathrm{e}^{-3} & \nearrow & \\ \end{array}

  4. Une équation de la tangente à la courbe de ff au point d’abscisse 11 est y=f′(1)(x−1)+f(1).y=f'(1)(x-1)+f(1).

    Calculons f(1)f(1) : f(1)=(1+2)e=3e.f(1)=(1+2)\mathrm{e}=3\mathrm{e}.

    Calculons f′(1)f'(1) : f′(1)=(1+3)e=4e.f'(1)=(1+3)\mathrm{e}=4\mathrm{e}.

    Donc y=4e(x−1)+3e.y=4\mathrm{e}(x-1)+3\mathrm{e}. Ainsi y=4ex−4e+3e=4ex−e.y=4\mathrm{e} x-4\mathrm{e}+3\mathrm{e}=4\mathrm{e} x-\mathrm{e}.

    y=4ex−e\boxed{y=4\mathrm{e} x-\mathrm{e}}

Exercice 29 — ★

Soit ff définie sur ℝ\mathbb{R} par f(x)=x−3exf(x)=\dfrac{x-3}{\mathrm{e}^x} .

  1. Exprimer f′(x)f'(x) en fonction de xx.

  2. Etudier le signe de f′(x)f'(x) sur ℝ\mathbb{R}

  3. Construire le tableau de variation de ff.

  4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de ff au point d’abscisse -1.

✅ Afficher le corrigé écrit

  1. La fonction ff est définie par f(x)=x−3ex=(x−3)e−x.f(x)=\frac{x-3}{\mathrm{e}^x}=(x-3)\mathrm{e}^{-x}.

    On dérive à l’aide de la formule du produit : f′(x)=1×e−x+(x−3)×(−e−x).f'(x)=1\times \mathrm{e}^{-x}+(x-3)\times(-\mathrm{e}^{-x}).

    Donc f′(x)=e−x−(x−3)e−x=(1−(x−3))e−x=(4−x)e−x.f'(x)=\mathrm{e}^{-x}-(x-3)\mathrm{e}^{-x} =\bigl(1-(x-3)\bigr)\mathrm{e}^{-x} =(4-x)\mathrm{e}^{-x}.

    f′(x)=(4−x)e−x\boxed{f'(x)=(4-x)\mathrm{e}^{-x}}

  2. Pour tout réel xx, on sait que e−x>0.\mathrm{e}^{-x}>0. Le signe de f′(x)f'(x) est donc celui de 4−x4-x.

    Ainsi : f′(x)>0 sur ]−∞;4[,f'(x)>0 \text{ sur } ]-\infty;4[, f′(4)=0,f'(4)=0, f′(x)<0 sur ]4;+∞[.f'(x)<0 \text{ sur } ]4;+\infty[.

    f′(x)>0 sur ]−∞;4[,f′(4)=0,f′(x)<0 sur ]4;+∞[\boxed{f'(x)>0 \text{ sur } ]-\infty;4[, \quad f'(4)=0, \quad f'(x)<0 \text{ sur } ]4;+\infty[}

  3. Comme f′(x)f'(x) est positive puis négative, la fonction ff est croissante puis décroissante sur ℝ\mathbb{R}.

    Calculons l’image de 44 : f(4)=4−3e4=e−4.f(4)=\frac{4-3}{\mathrm{e}^4}=\mathrm{e}^{-4}.

    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    x−∞4+∞f′(x)+0−f(x)↗e−4↘\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty && 4 && +\infty\\ f'(x) & & + & 0 & – & \\ f(x) & & \nearrow & \mathrm{e}^{-4} & \searrow & \\ \end{array}

  4. Une équation de la tangente à la courbe de ff au point d’abscisse −1-1 est y=f′(−1)(x+1)+f(−1).y=f'(-1)(x+1)+f(-1).

    Calculons d’abord f(−1)f(-1) : f(−1)=−1−3e−1=−4e−1=−4e.f(-1)=\frac{-1-3}{\mathrm{e}^{-1}}=\frac{-4}{\mathrm{e}^{-1}}=-4\mathrm{e}.

    Calculons ensuite f′(−1)f'(-1) : f′(−1)=(4−(−1))e−(−1)=5e.f'(-1)=(4-(-1))\mathrm{e}^{-(-1)}=5\mathrm{e}.

    Donc y=5e(x+1)−4e.y=5\mathrm{e}(x+1)-4\mathrm{e}.

    En réduisant : y=5ex+5e−4e=5ex+e.y=5\mathrm{e} x+5\mathrm{e}-4\mathrm{e}=5\mathrm{e} x+\mathrm{e}.

    y=5ex+e\boxed{y=5\mathrm{e} x+\mathrm{e}}

Exercice 30 — ★

Soit ff définie sur ℝ\mathbb{R} par f(x)=xex−2f(x)=x\mathrm{e}^x-2 .

  1. Calculer f′(x)f'(x).

  2. Etudier le signe de f′(x)f'(x) sur ℝ\mathbb{R}

  3. Construire le tableau de variation de ff.

  4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de ff au point d’abscisse 0.

✅ Afficher le corrigé écrit

  1. La fonction ff est définie par f(x)=xex−2.f(x)=x\mathrm{e}^x-2.

    On dérive à l’aide de la formule du produit : f′(x)=1×ex+xex.f'(x)=1\times \mathrm{e}^x+x\mathrm{e}^x. Donc f′(x)=ex+xex=(x+1)ex.f'(x)=\mathrm{e}^x+x\mathrm{e}^x=(x+1)\mathrm{e}^x.

    f′(x)=(x+1)ex\boxed{f'(x)=(x+1)\mathrm{e}^x}

  2. Pour tout réel xx, on sait que ex>0.\mathrm{e}^x>0. Le signe de f′(x)f'(x) est donc celui de x+1x+1.

    Ainsi : f′(x)<0 sur ]−∞;−1[,f'(x)<0 \text{ sur } ]-\infty;-1[, f′(−1)=0,f'(-1)=0, f′(x)>0 sur ]−1;+∞[.f'(x)>0 \text{ sur } ]-1;+\infty[.

    f′(x)<0 sur ]−∞;−1[,f′(−1)=0,f′(x)>0 sur ]−1;+∞[\boxed{f'(x)<0 \text{ sur } ]-\infty;-1[, \quad f'(-1)=0, \quad f'(x)>0 \text{ sur } ]-1;+\infty[}

  3. Comme f′(x)f'(x) est négative puis positive, la fonction ff est décroissante puis croissante sur ℝ\mathbb{R}.

    Calculons l’image de −1-1 : f(−1)=−1×e−1−2=−e−1−2.f(-1)=-1\times \mathrm{e}^{-1}-2=-\mathrm{e}^{-1}-2.

    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    x−∞−1+∞f′(x)−0+f(x)↘−e−1−2↗\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty && -1 && +\infty\\ f'(x) & & – & 0 & + & \\ f(x) & & \searrow & -\mathrm{e}^{-1}-2 & \nearrow & \\ \end{array}

  4. Une équation de la tangente à la courbe de ff au point d’abscisse 00 est y=f′(0)(x−0)+f(0).y=f'(0)(x-0)+f(0).

    Calculons : f(0)=0×e0−2=−2f(0)=0\times \mathrm{e}^0-2=-2 et f′(0)=(0+1)e0=1.f'(0)=(0+1)\mathrm{e}^0=1.

    Donc y=1(x−0)−2.y=1(x-0)-2. Ainsi y=x−2.y=x-2.

    y=x−2\boxed{y=x-2}

Exercice 31 — ★

Soit ff définie sur [−4;4][-4;4] par f(x)=x+e−xf(x)=x+\mathrm{e}^{-x} .

  1. Calculer f′(x)f'(x).

  2. Etudier le signe de f′(x)f'(x) sur ℝ\mathbb{R}

  3. Construire le tableau de variation de ff.

✅ Afficher le corrigé écrit

  1. La fonction ff est définie sur [−4;4][-4;4] par f(x)=x+e−x.f(x)=x+\mathrm{e}^{-x}.

    On dérive : f′(x)=1−e−x.f'(x)=1-\mathrm{e}^{-x}.

    f′(x)=1−e−x\boxed{f'(x)=1-\mathrm{e}^{-x}}

  2. On étudie le signe de f′(x)=1−e−x.f'(x)=1-\mathrm{e}^{-x}.

    Cherchons d’abord quand f′(x)=0f'(x)=0 : 1−e−x=0⇔e−x=1⇔−x=0⇔x=0.1-\mathrm{e}^{-x}=0 \iff \mathrm{e}^{-x}=1 \iff -x=0 \iff x=0.

    Ensuite : f′(x)>0⇔1−e−x>0⇔e−x<1⇔−x<0⇔x>0,f'(x)>0 \iff 1-\mathrm{e}^{-x}>0 \iff \mathrm{e}^{-x}<1 \iff -x<0 \iff x>0, et f′(x)<0⇔1−e−x<0⇔e−x>1⇔−x>0⇔x<0.f'(x)<0 \iff 1-\mathrm{e}^{-x}<0 \iff \mathrm{e}^{-x}>1 \iff -x>0 \iff x<0.

    Ainsi : f′(x)<0 sur ]−∞;0[,f'(x)<0 \text{ sur } ]-\infty;0[, f′(0)=0,f'(0)=0, f′(x)>0 sur ]0;+∞[.f'(x)>0 \text{ sur } ]0;+\infty[.

    f′(x)<0 sur ]−∞;0[,f′(0)=0,f′(x)>0 sur ]0;+∞[\boxed{f'(x)<0 \text{ sur } ]-\infty;0[, \quad f'(0)=0, \quad f'(x)>0 \text{ sur } ]0;+\infty[}

  3. Comme ff est définie sur [−4;4][-4;4], on étudie ses variations sur cet intervalle.

    D’après la question précédente, ff est décroissante sur [−4;0][-4;0], puis croissante sur [0;4][0;4].

    Calculons les valeurs utiles : f(−4)=−4+e4,f(-4)=-4+\mathrm{e}^4, f(0)=0+e0=1,f(0)=0+\mathrm{e}^0=1, f(4)=4+e−4.f(4)=4+\mathrm{e}^{-4}.

    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    x−404f′(x)−0+f(x)−4+e4↘1↗4+e−4\begin{array}{c|ccccc} x & -4 && 0 && 4\\ f'(x) & & – & 0 & + & \\ f(x) & -4+\mathrm{e}^4 & \searrow & 1 & \nearrow & 4+\mathrm{e}^{-4}\\ \end{array}

Exercice 32 — Hyperbole n°55 p150 ★

Soit ff la fonction définie sur ℝ\mathbb{R} par f(x)=(x2−4)ex.f(x)=(x^2-4)e^x.

Dresser le tableau de variations de ff.

✅ Afficher le corrigé écrit

On dérive ff : f′(x)=(2x)ex+(x2−4)ex=ex(x2+2x−4).f'(x)=(2x)e^x+(x^2-4)e^x=e^x(x^2+2x-4).

Or, pour tout réel xx, on a ex>0e^x>0. Le signe de f′(x)f'(x) est donc celui de x2+2x−4.x^2+2x-4.

Résolvons l’équation x2+2x−4=0.x^2+2x-4=0. On a Δ=22−4×1×(−4)=20.\Delta=2^2-4\times 1\times (-4)=20. Donc les deux racines sont x1=−2−202=−1−5etx2=−2+202=−1+5.x_1=\frac{-2-\sqrt{20}}{2}=-1-\sqrt5 \qquad \text{et} \qquad x_2=\frac{-2+\sqrt{20}}{2}=-1+\sqrt5.

Comme le coefficient de x2x^2 est positif, on en déduit : f′(x)>0 sur ]−∞;−1−5[ et sur ]−1+5;+∞[f'(x)>0 \text{ sur } ]-\infty;-1-\sqrt5[ \text{ et sur } ]-1+\sqrt5;+\infty[ et f′(x)<0 sur ]−1−5;−1+5[.f'(x)<0 \text{ sur } ]-1-\sqrt5;-1+\sqrt5[.

Calculons les images des nombres critiques. Comme −1−5-1-\sqrt5 et −1+5-1+\sqrt5 sont racines de x2+2x−4x^2+2x-4, on a x2−4=−2x.x^2-4=-2x.

Donc f(−1−5)=2(1+5)e−1−5,f(-1-\sqrt5)=2(1+\sqrt5)e^{-1-\sqrt5}, et f(−1+5)=2(1−5)e−1+5.f(-1+\sqrt5)=2(1-\sqrt5)e^{-1+\sqrt5}.

On obtient donc le tableau de variations :

x−∞−1−5−1+5+∞f′(x)+0−0+f(x)↗2(1+5)e−1−5↘2(1−5)e−1+5↗\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty && -1-\sqrt5 && -1+\sqrt5 && +\infty\\ f'(x) & & + & 0 & – & 0 & + & \\ f(x) & & \nearrow & 2(1+\sqrt5)e^{-1-\sqrt5} & \searrow & 2(1-\sqrt5)e^{-1+\sqrt5} & \nearrow & \\ \end{array}

Exercice 33 — Hyperbole n°56 p150 ★

Soit gg la fonction définie sur l’intervalle [1;3][1;3] par g(t)=et2t.g(t)=\frac{e^t}{2t}.

Dresser le tableau de variations de gg sur [1;3][1;3].

✅ Afficher le corrigé écrit

On dérive gg : g′(t)=(et)′×2t−et×(2t)′(2t)2=et⋅2t−et⋅24t2=et(t−1)2t2.g'(t)=\frac{(e^t)’\times 2t-e^t\times (2t)’}{(2t)^2} =\frac{e^t\cdot 2t-e^t\cdot 2}{4t^2} =\frac{e^t(t-1)}{2t^2}.

Sur [1;3][1;3], on a : et>0et2t2>0.e^t>0 \qquad \text{et} \qquad 2t^2>0. Le signe de g′(t)g'(t) est donc celui de t−1t-1.

Ainsi : g′(1)=0etg′(t)>0 pour t∈]1;3].g'(1)=0 \qquad \text{et} \qquad g'(t)>0 \text{ pour } t\in ]1;3].

Donc gg est croissante sur [1;3][1;3].

Calculons les valeurs utiles : g(1)=e2etg(3)=e36.g(1)=\frac e2 \qquad \text{et} \qquad g(3)=\frac{e^3}{6}.

On obtient donc le tableau de variations :

t13g′(t)0+g(t)e2↗e36\begin{array}{c|ccc} t & 1 && 3\\ g'(t) & 0 & + & \\ g(t) & \dfrac e2 & \nearrow & \dfrac{e^3}{6}\\ \end{array}

Exercice 34 — Hyperbole n°57 p150 ★

Soit hh la fonction définie sur ℝ\mathbb{R} par h(x)=x2+2xex.h(x)=\frac{x^2+2x}{e^x}.

Dresser le tableau de variations de hh.

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On écrit h(x)=(x2+2x)e−x.h(x)=(x^2+2x)e^{-x}.

On dérive : h′(x)=(2x+2)e−x−(x2+2x)e−x=e−x(2x+2−x2−2x)=e−x(2−x2).h'(x)=(2x+2)e^{-x}-(x^2+2x)e^{-x} =e^{-x}(2x+2-x^2-2x) =e^{-x}(2-x^2).

Or, pour tout réel xx, on a e−x>0e^{-x}>0. Le signe de h′(x)h'(x) est donc celui de 2−x2.2-x^2.

Résolvons l’équation 2−x2=0.2-x^2=0. On obtient x=−2oux=2.x=-\sqrt2 \qquad \text{ou} \qquad x=\sqrt2.

Ainsi : h′(x)<0 sur ]−∞;−2[,h'(x)<0 \text{ sur } ]-\infty;-\sqrt2[, h′(x)>0 sur ]−2;2[,h'(x)>0 \text{ sur } ]-\sqrt2;\sqrt2[, h′(x)<0 sur ]2;+∞[.h'(x)<0 \text{ sur } ]\sqrt2;+\infty[.

Calculons les images des extremums locaux : h(−2)=2−22e−2=2(1−2)e2,h(-\sqrt2)=\frac{2-2\sqrt2}{e^{-\sqrt2}}=2(1-\sqrt2)e^{\sqrt2}, et h(2)=2+22e2=2(1+2)e−2.h(\sqrt2)=\frac{2+2\sqrt2}{e^{\sqrt2}}=2(1+\sqrt2)e^{-\sqrt2}.

On obtient donc le tableau de variations :

x−∞−22+∞h′(x)−0+0−h(x)↘2(1−2)e2↗2(1+2)e−2↘\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty && -\sqrt2 && \sqrt2 && +\infty\\ h'(x) & & – & 0 & + & 0 & – & \\ h(x) & & \searrow & 2(1-\sqrt2)e^{\sqrt2} & \nearrow & 2(1+\sqrt2)e^{-\sqrt2} & \searrow & \\ \end{array}

Exercice 35 — Étude de fonction ★★★

Soit ff définie sur ℝ\mathbb{R} par

f(x)=(x+2)ex2+x.f(x)=(x+2)\mathrm{e}^{x^2+x}.

  1. Exprimer f′(x)f'(x) en fonction de xx et montrer que pour tout xx, f′(x)=(2x2+5x+3)ex2+x.f'(x)=(2x^2+5x+3)\mathrm{e}^{x^2+x}.

  2. Étudier le signe de f′(x)f'(x) sur ℝ\mathbb{R}.

  3. En déduire le tableau de variation de ff (on calculera les valeurs exactes des deux extremums locaux).

  4. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de ff au point d’abscisse 11.

✅ Afficher le corrigé écrit

  1. Par dérivation d’un produit : f′(x)=ex2+x+(x+2)(2x+1)ex2+x.f'(x)=\mathrm{e}^{x^2+x}+(x+2)(2x+1)\mathrm{e}^{x^2+x}. Donc f′(x)=(1+(x+2)(2x+1))ex2+x.f'(x)=\left(1+(x+2)(2x+1)\right)\mathrm{e}^{x^2+x}. Or (x+2)(2x+1)=2x2+5x+2.(x+2)(2x+1)=2x^2+5x+2. Ainsi : f′(x)=(2x2+5x+3)ex2+x.f'(x)=(2x^2+5x+3)\mathrm{e}^{x^2+x}.

  2. Comme ex2+x>0\mathrm{e}^{x^2+x}>0 sur ℝ\mathbb{R}, le signe de f′(x)f'(x) est celui de 2x2+5x+3=(2x+3)(x+1).2x^2+5x+3=(2x+3)(x+1).

    Les racines sont −32-\dfrac32 et −1-1.

    x−∞−32−1+∞f′(x)+0−0+\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & -\frac32 & & -1 & +\infty\\ \hline f'(x) & + & 0 & – & 0 & + \end{array}

  3. f(−32)=12e3/4,f(−1)=1.f\left(-\frac32\right)=\frac12\mathrm{e}^{3/4}, \qquad f(-1)=1.

    x−32−1f′(x)+0−0+f(x)↗12e3/4↘1↗\begin{array}{c|ccccccc} x&&&-\frac32&&-1&&\\ f'(x)& &+&0&-&0&+&\\ f(x)& &\nearrow&\frac12\mathrm{e}^{3/4}&\searrow&1&\nearrow&\\ \end{array}

  4. Une équation de la tangente en x=1x=1 est : y=f′(1)(x−1)+f(1).y=f'(1)(x-1)+f(1).

    On a : f(1)=3e2f(1)=3\mathrm{e}^2 et f′(1)=10e2.f'(1)=10\mathrm{e}^2.

    Donc : y=10e2(x−1)+3e2=10e2x−7e2.y=10\mathrm{e}^2(x-1)+3\mathrm{e}^2=10\mathrm{e}^2x-7\mathrm{e}^2.

Exercice 36 — Étude de fonction ★★★

On considère la fonction ff définie sur ℝ\mathbb{R} par f(x)=−2e3x+1+6x.f(x)=-2\mathrm{e}^{3x+1}+6x.

  1. Exprimer f′(x)f'(x) en fonction de xx.

  2. On donne le tableau de variation de ff sur ℝ\mathbb{R} :

    x−13f′(x)+0−f(x)↗−4↘\begin{array}{c|ccccc} x&&&-\frac13&&\\ f'(x)&&+&0&-&\\ f(x)&&\nearrow&-4&\searrow&\\ \end{array}

    Vérifier, en justifiant, chaque élément de ce tableau.

  3. Étudier la position relative entre 𝒞f\mathcal C_f et la droite Δ1:y=6x\Delta_1:y=6x.

  4. Étudier le signe de f(x)−(6x−2)f(x)-(6x-2) et en déduire la position relative entre 𝒞f\mathcal C_f et la droite Δ2:y=6x−2\Delta_2:y=6x-2.

  5. Soit m<4m<4 et soit gg définie sur ℝ\mathbb{R} par g(x)=−23e3x+1+3x2+mx.g(x)=-\frac23\mathrm{e}^{3x+1}+3x^2+mx.

    1. Exprimer g′(x)g'(x) en fonction de f(x)f(x) et de mm.

    2. Déduire de la question 2, le tableau de variation de g′g’.

    3. Déterminer alors le sens de variation de gg.

✅ Afficher le corrigé écrit

  1. f′(x)=−6e3x+1+6=6(1−e3x+1).f'(x)=-6\mathrm{e}^{3x+1}+6=6(1-\mathrm{e}^{3x+1}).

  2. f′(x)=0⇔e3x+1=1⇔x=−13.f'(x)=0 \iff \mathrm{e}^{3x+1}=1 \iff x=-\frac13.

    Si x<−13x<-\dfrac13, alors e3x+1<1\mathrm{e}^{3x+1}<1, donc f′(x)>0f'(x)>0.

    Si x>−13x>-\dfrac13, alors e3x+1>1\mathrm{e}^{3x+1}>1, donc f′(x)<0f'(x)<0.

    Donc ff est croissante puis décroissante.

    f(−13)=−2−2=−4.f\left(-\frac13\right)=-2-2=-4.

  3. f(x)−6x=−2e3x+1<0.f(x)-6x=-2\mathrm{e}^{3x+1}<0.

    Donc 𝒞f\mathcal C_f est sous Δ1\Delta_1.

  4. f(x)−(6x−2)=2(1−e3x+1).f(x)-(6x-2)=2(1-\mathrm{e}^{3x+1}).

    Donc :

    {>0si x<−13=0si x=−13<0si x>−13\begin{cases} >0 & \text{si }x<-\frac13\\ =0 & \text{si }x=-\frac13\\ <0 & \text{si }x>-\frac13 \end{cases}

    La courbe est au-dessus de Δ2\Delta_2, puis la coupe, puis passe en dessous.

    1. g′(x)=f(x)+m.g'(x)=f(x)+m.

    2. Le maximum de ff vaut −4-4, donc le maximum de g′g’ vaut m−4<0.m-4<0.

      Ainsi : g′(x)<0sur ℝ.g'(x)<0 \quad \text{sur }\mathbb{R}.

    3. Donc gg est strictement décroissante sur ℝ\mathbb{R}.

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