Les complexes – révisions prépa 3

On reconnaît que : $$j=cos\left(\frac{2\pi }{3}\right)+isin\left(\frac{2\pi }{3}\right)=e^{i\frac{2\pi }{3}}.$$

Alors : $$j^2=e^{i\frac{4\pi }{3}}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

On vérifie : $$1+j+j^2=1+(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})+(-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2})=0.$$

De plus : $$\overline{j}=e^{-i\frac{2\pi }{3}},j^3=e^{i2\pi }=1,j^{15}={\left(j^3\right)}^5=1.$$

1. Résolution de $z^5=1$ et 1^re factorisation .
   Les solutions sont les racines 5-ièmes de l’unité : $${\zeta }_k=e^{i\frac{2k\pi }{5}},k=0,1,2,3,4.$$

   $$z^5-1=\prod _{k=0}^4(z-{\zeta }_k)=(z-1)(z-e^{i\frac{2\pi }{5}})(z-e^{i\frac{4\pi }{5}})(z-e^{i\frac{6\pi }{5}})(z-e^{i\frac{8\pi }{5}}).$$

2. On regroupe par paires pour obtenir des coefficients réels
   Le polynôme $z^5-1$ a des coefficients réels est donc les racines non réelles apparaissent par paires conjuguées. Ici : $$\overline{e^{i\theta }}=e^{-i\theta },\text{donc}{e}^{i\frac{2\pi }{5}}\text{va avec}{e}^{-i\frac{2\pi }{5}}=e^{i\frac{8\pi }{5}},e^{i\frac{4\pi }{5}}\text{va avec}{e}^{-i\frac{4\pi }{5}}=e^{i\frac{6\pi }{5}}.$$ On regroupe donc $(k,5-k)$ : $(1,4)$ et $(2,3)$.

   Regroupement en binômes conjugués et apparition des cosinus.
   Pour tout $\theta \in ℝ$, $$(z-e^{i\theta })(z-e^{-i\theta })=z^2-(e^{i\theta }+e^{-i\theta })z+1=z^2-2cos\theta z+1.$$

   En appliquant cela aux paires ci-dessus, on obtient deux facteurs à coefficients réels :

   $$(z-e^{i\frac{2\pi }{5}})(z-e^{i\frac{8\pi }{5}})=z^2-2cos\left(\frac{2\pi }{5}\right)z+1,$$ $$(z-e^{i\frac{4\pi }{5}})(z-e^{i\frac{6\pi }{5}})=z^2-2cos\left(\frac{4\pi }{5}\right)z+1.$$ Factorisation finale (en 3 facteurs réels) : $$\boxed{z^5-1=(z-1)(z^2-2cos\frac{2\pi }{5}z+1)(z^2-2cos\frac{4\pi }{5}z+1)}.$$

   Vérifications

   Posons $a=cos\frac{2\pi }{5}$ et $b=cos\frac{4\pi }{5}$. On sait (identités trigonométriques) que $$a+b=cos\frac{2\pi }{5}+cos\frac{4\pi }{5}=-\frac{1}{2},ab=cos\frac{2\pi }{5}cos\frac{4\pi }{5}=-\frac{1}{4}.$$ Alors $$(z^2-2az+1)(z^2-2bz+1)=z^4-2(a+b)z^3+(4ab+2)z^2-2(a+b)z+1=z^4+z^3+z^2+z+1,$$ ce qui redonne bien le facteur $\Phi \left(z\right)=z^4+z^3+z^2+z+1$. On a donc : $$(z-1)\Phi \left(z\right)=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=(z-1)(z^2-2cos\frac{2\pi }{5}z+1)(z^2-2cos\frac{4\pi }{5}z+1).$$

1. Résolution de $z^7=1$ et 1^re factorisation (7 facteurs linéaires).
   Les solutions sont les racines 7-ièmes de l’unité : $${\zeta }_k=e^{i\frac{2k\pi }{7}},k=0,1,2,3,4,5,6.$$

   $$z^7-1=\prod _{k=0}^6(z-{\zeta }_k)=(z-1)(z-e^{i\frac{2\pi }{7}})(z-e^{i\frac{4\pi }{7}})(z-e^{i\frac{6\pi }{7}})(z-e^{i\frac{8\pi }{7}})(z-e^{i\frac{10\pi }{7}})(z-e^{i\frac{12\pi }{7}}).$$

2. Regroupement par paires conjuguées pour obtenir des coefficients réels.
   Le polynôme $z^7-1$ a des coefficients réels, donc les racines non réelles apparaissent par paires conjuguées. Ici : $$\overline{e^{i\theta }}=e^{-i\theta }\Rightarrow \{\begin{array}{c}{e}^{i\frac{2\pi }{7}}\text{avec}{e}^{-i\frac{2\pi }{7}}=e^{i\frac{12\pi }{7}},\hfill \\ e^{i\frac{4\pi }{7}}\text{avec}{e}^{-i\frac{4\pi }{7}}=e^{i\frac{10\pi }{7}},\hfill \\ e^{i\frac{6\pi }{7}}\text{avec}{e}^{-i\frac{6\pi }{7}}=e^{i\frac{8\pi }{7}}.\hfill \end{array}$$ On regroupe donc $(k,7-k)$ : $(1,6),(2,5),(3,4)$.

   Binômes conjugués et apparition des cosinus.
   Pour tout $\theta \in ℝ$, $$(z-e^{i\theta })(z-e^{-i\theta })=z^2-(e^{i\theta }+e^{-i\theta })z+1=z^2-2cos\theta z+1.$$ En appliquant cela aux trois paires ci-dessus, on obtient les trois facteurs quadratiques réels : $$(z-e^{i\frac{2\pi }{7}})(z-e^{i\frac{12\pi }{7}})=z^2-2cos\left(\frac{2\pi }{7}\right)z+1,$$ $$(z-e^{i\frac{4\pi }{7}})(z-e^{i\frac{10\pi }{7}})=z^2-2cos\left(\frac{4\pi }{7}\right)z+1,$$ $$(z-e^{i\frac{6\pi }{7}})(z-e^{i\frac{8\pi }{7}})=z^2-2cos\left(\frac{6\pi }{7}\right)z+1.$$ Factorisation finale (4 facteurs réels) : $$\boxed{z^7-1=(z-1)(z^2-2cos\frac{2\pi }{7}z+1)(z^2-2cos\frac{4\pi }{7}z+1)(z^2-2cos\frac{6\pi }{7}z+1)}.$$

1. Forme exponentielle du second membre. $3=3{\mathrm{e}}^{i\cdot 0}$.

2. Solutions. $z=\rho {\mathrm{e}}^{i\phi }$ vérifie $z^6=3\iff {\rho }^6=3$ et $6\phi \equiv 0(mod2\pi )$, d’où $$\boxed{z_k=3^{\frac{1}{6}}{\mathrm{e}}^{i\frac{2k\pi }{6}},k=0,1,2,3,4,5}.$$

1. Forme exponentielle du second membre. $4=4{\mathrm{e}}^{i\cdot 0}$.

2. Solutions. $z^7=4\iff {\rho }^7=4,7\phi \equiv 0(mod2\pi )$, donc $$\boxed{z_k=4^{\frac{1}{7}}{\mathrm{e}}^{i\frac{2k\pi }{7}},k=0,1,2,3,4,5,6}.$$

1. Forme exponentielle du second membre. $-8=8{\mathrm{e}}^{i\pi }$.

2. Solutions. $$z^3=-8\iff {\rho }^3$$

   $$=8,3\phi \equiv \pi (mod2\pi )$$ , donc $$\boxed{z_k=2{\mathrm{e}}^{i\frac{\pi +2k\pi }{3}},k=0,1,2}.$$ (Facultatif algébrique) : $z\in \{-2,1+i\sqrt{3},1-i\sqrt{3}\}$.

1. Forme exponentielle du second membre. $-4=4{\mathrm{e}}^{i\pi }$.

2. Solutions. $$z^2=-4\iff {\rho }^2$$

   $$=4,2\phi \equiv \pi (mod2\pi )$$ , donc $$\boxed{z=2{\mathrm{e}}^{i\frac{\pi }{2}}=2i\text{ou}z=2{\mathrm{e}}^{i\frac{3\pi }{2}}=-2i}.$$

1. Forme exponentielle du second membre. $i={\mathrm{e}}^{i\frac{\pi }{2}}$.

2. Solutions. $$z^4=i\iff {\rho }^4$$

   $$=1,4\phi \equiv \frac{\pi }{2}(mod2\pi )$$ , donc $$\boxed{z_k={\mathrm{e}}^{i(\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2})},k=0,1,2,3}.$$ (Option) : en algébrique, ce sont les quatre points aux angles $$22,5^{\circ },112,5^{\circ },202,5^{\circ },292,5^{\circ }$$ .

1. Forme exponentielle du second membre. $1-i=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-i\frac{\pi }{4}}$ (module $\sqrt{2}$, argument $-\frac{\pi }{4}$).

2. Solutions. $$z^5=1-i\iff {\rho }^5$$

   $$=\sqrt{2},5\phi \equiv -\frac{\pi }{4}(mod2\pi )$$ , donc $$\boxed{z_k=2^{\frac{1}{5}}{\mathrm{e}}^{i(-\frac{\pi }{20}+\frac{2k\pi }{5})},k=0,1,2,3,4}.$$

On écrit $-32=32e^{i\pi }$.

Les solutions sont : $$z_k=2e^{i\frac{\pi +2k\pi }{5}},k=0,1,2,3,4.$$

Donc : $$z^5+32=(z-2e^{i\frac{\pi }{5}})(z-2e^{i\frac{3\pi }{5}})(z-2e^{i\pi })(z-2e^{i\frac{7\pi }{5}})(z-2e^{i\frac{9\pi }{5}}).$$

On regroupe par paires de conjugués pour obtenir trois polynômes à coefficients réels : $$z^5+32=(z+2)(z^2-4cos\frac{\pi }{5}z+4)(z^2-4cos\frac{3\pi }{5}z+4).$$

On écrit $-1=e^{i\pi }$.

Les solutions sont : $$z_k=e^{i\frac{\pi +2k\pi }{6}},k=0,1,2,3,4,5.$$

Donc : $$z^6+1=\prod _{k=0}^5(z-e^{i\frac{(2k+1)\pi }{6}}).$$

On regroupe par paires conjuguées : $$z^6+1=(z^2+1)(z^2-\sqrt{3}z+1)(z^2+\sqrt{3}z+1).$$

1. Somme immédiate. Comme ${\omega }^7=1$ et $\omega \ne 1$, $$1+\omega +{\omega }^2+{\omega }^3+{\omega }^4+{\omega }^5+{\omega }^6=0\Rightarrow \omega +{\omega }^2+\cdots +{\omega }^6=-1.$$ Donc $$\boxed{S+T=(\omega +{\omega }^2+\cdots +{\omega }^6)=-1}.$$

2. Produit rapide (développement puis réduction mod $7$). $$\begin{array}{cc}\hfill ST& =(\omega +{\omega }^2+{\omega }^4)({\omega }^3+{\omega }^5+{\omega }^6)\hfill \\ \hfill & ={\omega }^{1+3}+{\omega }^{1+5}+{\omega }^{1+6}+{\omega }^{2+3}+{\omega }^{2+5}+{\omega }^{2+6}+{\omega }^{4+3}+{\omega }^{4+5}+{\omega }^{4+6}\hfill \\ \hfill & ={\omega }^4+{\omega }^6+{\omega }^7+{\omega }^5+{\omega }^7+{\omega }^8+{\omega }^7+{\omega }^9+{\omega }^{10}.\hfill \end{array}$$ Or ${\omega }^7=1$, ${\omega }^8=\omega$, ${\omega }^9={\omega }^2$, ${\omega }^{10}={\omega }^3$, donc $$ST=(\omega +{\omega }^2+{\omega }^3+{\omega }^4+{\omega }^5+{\omega }^6)+3\cdot 1=(-1)+3=\boxed{2}.$$

3. Équation quadratique (“caractéristique”) pour $u\in \{S,T\}$. Tout nombre $u$ parmi $S,T$ vérifie $$u^2-(S+T)u+ST=0\iff u^2+u+2=0.$$ Ainsi $$\boxed{u=\frac{-1\pm i\sqrt{7}}{2}}.$$ De plus, comme $T=\overline{S}$ (les ensembles d’exposants sont conjugués : $\{1,2,4\}\mapsto \{6,5,3\}$), on choisit $$\boxed{S=\frac{-1+i\sqrt{7}}{2}},\boxed{T=\frac{-1-i\sqrt{7}}{2}}.$$

4. Vérification éclair (optionnelle). $S+T=-1$ et $ST={\left|S\right|}^2=2$ (puisque $T=\overline{S}$). Tout est cohérent.

(a) $z_k={\mathrm{e}}^{i\frac{2k\pi }{12}}={\mathrm{e}}^{i\frac{k\pi }{6}},k=0,\dots ,11$.

Formes usuelles : $$\pm 1,\pm i,\pm (\frac{\sqrt{3}}{2}\pm \frac{i}{2}),\pm (\frac{1}{2}\pm \frac{i\sqrt{3}}{2})$$ .

(b) $z^{12}-1=(z^4-1)(z^8+z^4+1)$. Donc $z^8+z^4+1=0\iff z^{12}=1$ et $z^4\ne 1$.

$$\boxed{z={\mathrm{e}}^{i\frac{k\pi }{6}},k\in \{1,2,4,5,7,8,10,11\}}.$$

(a) $z={\mathrm{e}}^{i\frac{2k\pi }{5}},k=0,\dots ,4$.
(b) $z^5=-i\iff z={\mathrm{e}}^{i(-\frac{\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5})},k=0,\dots ,4$.
(c) Posons $P\left(z\right)=z^4-\mathrm{i}{z}^3-z^2+\mathrm{i}z+1$. On a $z^5+\mathrm{i}=(z+\mathrm{i})P\left(z\right)$. Donc $P\left(z\right)=0\iff z^5=-\mathrm{i}$ et $z\ne -\mathrm{i}$. Conclusion : les solutions sont les 5 racines de $-i$ sauf $z=-i$.

(a) Écriture exponentielle des nombres donnés.

On écrit toujours $z=r{\mathrm{e}}^{i\theta }$ avec $r=\left|z\right|>0$ et $\theta =arg\left(z\right)$. $$\begin{array}{cccc}\hfill & \pm 1:\hfill & \hfill & 1={\mathrm{e}}^{i\cdot 0},-1={\mathrm{e}}^{i\pi }.\hfill \\ \hfill & \pm i:\hfill & \hfill & i={\mathrm{e}}^{i\frac{\pi }{2}},-i={\mathrm{e}}^{-i\frac{\pi }{2}}.\hfill \\ \hfill & \pm 2i:\hfill & \hfill & 2i=2{\mathrm{e}}^{i\frac{\pi }{2}},-2i=2{\mathrm{e}}^{-i\frac{\pi }{2}}.\hfill \\ \hfill & \pm \sqrt{2}\pm i\sqrt{2}:\hfill & \hfill & \begin{array}{c}\sqrt{2}+i\sqrt{2}=2{\mathrm{e}}^{i\frac{\pi }{4}},\sqrt{2}-i\sqrt{2}=2{\mathrm{e}}^{-i\frac{\pi }{4}},\hfill \\ -\sqrt{2}+i\sqrt{2}=2{\mathrm{e}}^{i\frac{3\pi }{4}},-\sqrt{2}-i\sqrt{2}=2{\mathrm{e}}^{-i\frac{3\pi }{4}}.\hfill \end{array}\hfill \end{array}$$

(b) Méthode générale pour $w^2=z$ (sans « racine carrée » complexe).

Si $z=r{\mathrm{e}}^{i\theta }$ avec $r>0$, on cherche $w=\rho {\mathrm{e}}^{i\phi }$ tel que $$w^2={\rho }^2{\mathrm{e}}^{i2\phi }=r{\mathrm{e}}^{i\theta }.$$ On obtient le système : $${\rho }^2=r\Rightarrow \rho =\sqrt{r}\left(\text{réel positif}\right),2\phi \equiv \theta (mod2\pi )\Rightarrow \phi =\frac{\theta }{2}\text{ou}\phi =\frac{\theta }{2}+\pi .$$ Ainsi, les deux solutions sont toujours $$\boxed{w_1=\sqrt{r}{\mathrm{e}}^{i\frac{\theta }{2}},w_2=-w_1=\sqrt{r}{\mathrm{e}}^{i(\frac{\theta }{2}+\pi )}}.$$

Application explicite à chaque nombre (avec forme algébrique quand elle est « propre »).

$z=1={\mathrm{e}}^{i\cdot 0}$ : $r=1,\theta =0$. $$w_1={\mathrm{e}}^{i\cdot 0}=1,w_2=-1.$$

$z=-1={\mathrm{e}}^{i\pi }$ : $r=1,\theta =\pi$. $$w_1={\mathrm{e}}^{i\frac{\pi }{2}}=i,w_2=-i.$$

$z=i={\mathrm{e}}^{i\frac{\pi }{2}}$ : $r=1,\theta =\frac{\pi }{2}$. $$w_1={\mathrm{e}}^{i\frac{\pi }{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i),w_2=-w_1=-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i).$$

$z=-i={\mathrm{e}}^{-i\frac{\pi }{2}}$ : $r=1,\theta =-\frac{\pi }{2}$. $$w_1={\mathrm{e}}^{-i\frac{\pi }{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i),w_2=-w_1=-\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i).$$

$z=2i=2{\mathrm{e}}^{i\frac{\pi }{2}}$ : $r=2,\theta =\frac{\pi }{2}$, donc $\sqrt{r}=\sqrt{2}$. $$w_1=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{i\frac{\pi }{4}}=1+i,w_2=-(1+i).$$

$z=-2i=2{\mathrm{e}}^{-i\frac{\pi }{2}}$ : $r=2,\theta =-\frac{\pi }{2}$. $$w_1=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-i\frac{\pi }{4}}=1-i,w_2=-(1-i).$$

$z=\sqrt{2}+i\sqrt{2}=2{\mathrm{e}}^{i\frac{\pi }{4}}$ : $r=2,\theta =\frac{\pi }{4}$. $$w_1=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{i\frac{\pi }{8}}=\sqrt{2}(cos\frac{\pi }{8}+isin\frac{\pi }{8}),w_2=-w_1.$$

$z=\sqrt{2}-i\sqrt{2}=2{\mathrm{e}}^{-i\frac{\pi }{4}}$ : $r=2,\theta =-\frac{\pi }{4}$. $$w_1=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-i\frac{\pi }{8}},w_2=-w_1.$$

$z=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}=2{\mathrm{e}}^{i\frac{3\pi }{4}}$ : $r=2,\theta =\frac{3\pi }{4}$. $$w_1=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{i\frac{3\pi }{8}}=\sqrt{2}(cos\frac{3\pi }{8}+isin\frac{3\pi }{8}),w_2=-w_1.$$

$z=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}=2{\mathrm{e}}^{-i\frac{3\pi }{4}}$ : $r=2,\theta =-\frac{3\pi }{4}$. $$w_1=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{-i\frac{3\pi }{8}},w_2=-w_1.$$

Cherchons $w=a+ib$ tel que $w^2=z$. Système : $a^2-b^2=3,2ab=4\Rightarrow ab=2$.

De plus, avec le module de $z$, on obtiens $a^2+b^2=\sqrt{3^2+4^2}=5$.

Donc $a^2-b^2=3$ et $a^2+b^2=5$ et donc $a^2=4$ .

Avec $ab=2$, on obtient ainsi $a=2,b=1$ ou $a=-2,b=-1$.

$$\boxed{\sqrt{z}\in \{2+i,-2-i\}.}$$

(a) Racines de l’unité :
$z^2=1\Rightarrow z\in \{1,-1\}$; $z^3=1\Rightarrow z={\mathrm{e}}^{i\frac{2k\pi }{3}}$; $z^4=1\Rightarrow z={\mathrm{e}}^{i\frac{k\pi }{2}}$; $z^5=1\Rightarrow z={\mathrm{e}}^{i\frac{2k\pi }{5}}$.

(b) $\Delta =36-100=-64\Rightarrow z=3\pm 4i$.

(c) $\Delta ={(1+i)}^2-4i=-2i={(1-i)}^2\Rightarrow z=\frac{(1+i)\pm (1-i)}{2}\in \{1,i\}.$

(d) $\Delta ={(6+5i)}^2-4(2+14i)=3+4i={(2+i)}^2\Rightarrow z=\frac{6+5i\pm (2+i)}{2}\in \{4+3i,2+2i\}.$

Remarque: on a utilisé le résultat de l’exercice précédent.

On a : $$\frac{1}{1-z}=\frac{1-\overline{z}}{{|1-z|}^2}.$$

Si $z=e^{i\theta }$, on obtient après calcul : $$\frac{1}{1-e^{i\theta }}=\frac{1}{2}+\frac{i}{2}cot\left(\frac{\theta }{2}\right).$$

Si $z_1,\dots ,z_{n-1}$ sont les racines $n$-ièmes de l’unité différentes de $1$, alors $$\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{z_k}=\frac{1}{z_1}+\dots +\frac{1}{z_{n-1}}=\overline{z_1}+\dots +\overline{z_{n-1}}=\overline{z_1+\dots +z_{n-1}}.$$ Or la somme des $n$ racines est $0$, donc $$1+z_1+z_2+\dots +z_{n-1}=0\Rightarrow z_1+\dots +z_{n-1}=-1.$$

donc $$\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{z_k}=\overline{z_1+\dots +z_{n-1}}=\overline{-1}=-1.$$