Les complexes – révisions prépa 1

Partie réelle et partie imaginaire.

Pour un nombre complexe $z=a+bi$ avec $a$ et $b$ réels , on note $Re\left(z\right)=a$ et $Im\left(z\right)=b$.

1. $3+3i$ $\Rightarrow Re\left(z\right)=3,Im\left(z\right)=3$

2. $7-i$ $\Rightarrow Re\left(z\right)=7,Im\left(z\right)=-1$

3. $6$ $\Rightarrow Re\left(z\right)=6,Im\left(z\right)=0$

4. $-17i$ $\Rightarrow Re\left(z\right)=0,Im\left(z\right)=-17$

5. $1-\sqrt{2}$ $\Rightarrow Re\left(z\right)=1-\sqrt{2},Im\left(z\right)=0$

6. $2-i\sqrt{2}$ $\Rightarrow Re\left(z\right)=2,Im\left(z\right)=-\sqrt{2}$

7. $0$ $\Rightarrow Re\left(z\right)=0,Im\left(z\right)=0$

8. $9+13i$ $\Rightarrow Re\left(z\right)=9,Im\left(z\right)=13$

9. $-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}i$ $$\Rightarrow Re\left(z\right)=-\frac{1}{3},Im\left(z\right)$$

   $$=\frac{2}{3}$$

Mettre sous la forme algébrique.

1. $3+2i-1+3i=(3-1)+(2i+3i)=\boxed{2+5i}$

2. $5i-(3-7i)=5i-3+7i=\boxed{-3+12i}$

3. $-4+7i-(2+4i)=(-4-2)+(7i-4i)=\boxed{-6+3i}$

4. $2(5-i)-3(i-4)=10-2i-3i+12=\boxed{22-5i}$

5. $$-3i(6-\frac{1}{3}i)=-18i+(-3i)(-\frac{1}{3}i)$$

   $$=-18i-1$$

   $$=\boxed{-1-18i}$$

6. $(2+i)(3-5i)=6-10i+3i-5i^2=11-7i=\boxed{11-7i}$

Mettre sous la forme algébrique.

1. $$(3+i\sqrt{5})(3-i\sqrt{5})=3^2-{\left(i\sqrt{5}\right)}^2$$

   $$=9-(-5)$$

   $$=\boxed{14}$$

2. $$(3+5i)(5i-3)=(3+5i)(-3+5i)$$

   $$=-9+15i-15i+25i^2$$

   $$=-9-25$$

   $$=\boxed{-34}$$

3. ${(4-3i)}^2=16-24i+9i^2=16-24i-9=\boxed{7-24i}$

4. $${(\frac{1}{2}+2i)}^2=\frac{1}{4}+2i+4i^2$$

   $$=\frac{1}{4}+2i-4$$

   $$=\boxed{-\frac{15}{4}+2i}$$

5. ${(i-2)}^2-(3-5i)=(3-4i)-(3-5i)=\boxed{i}$

6. $(1+i)(2-3i)(4-i)=(5-i)(4-i)=20-9i+i^2=\boxed{19-9i}$

Développer et mettre sous la forme $a+ib$.

1. $3+3i-9i+5i-9+4=(3-9+4)+(3i-9i+5i)=\boxed{-2-i}$

2. $(3+2i)(4+5i)=12+15i+8i+10i^2=\boxed{2+23i}$

3. $(11+12i)(11-12i)={11}^2-{\left(12i\right)}^2=\boxed{265}$

4. ${(9+13i)}^2=81+234i-169=\boxed{-88+234i}$

5. $\left(2i\right)(-7+6i)=-14i+12i^2=\boxed{-12-14i}$

6. $$-5i(2+i)+(-3+5i)(2+9i)=(5-10i)+(-51-17i)$$

   $$=\boxed{-46-27i}$$

7. $2(-3+5i)(-4+8i)=2(-28-44i)=\boxed{-56-88i}$

8. $$(-8i+7)(-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i)=\frac{33}{2}+\frac{43}{2}i\Rightarrow \boxed{\frac{33}{2}+\frac{43}{2}i}$$

9. $$(-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}i)(-\frac{5}{3}+2i)=(\frac{5}{9}-\frac{4}{3})+(-\frac{2}{3}-\frac{10}{9})i$$

   $$=\boxed{-\frac{7}{9}-\frac{16}{9}i}$$

Montrer que $z_1=z_2$.

$z_1=(1-i)(-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i)=(-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i)+(\frac{1}{2}i-\frac{5}{2}{i}^2)=(-\frac{1}{2}+\frac{5}{2})+(\frac{5}{2}+\frac{1}{2})i=\boxed{2+3i}.$

$z_2=\frac{1}{10}(-7+9i)(1-3i)=\frac{1}{10}((-7)+21i+9i-27i^2)=\frac{1}{10}(20+30i)=\boxed{2+3i}.$

Donc $z_1=z_2$.

Résoudre dans $ℂ$ : $2iz+4=z-4i$.

$2iz+4=z-4i\iff (2i-1)z=-4(1+i)$.

$$z=\frac{-4(1+i)}{2i-1}=\frac{-4(1+i)(-1-2i)}{(2i-1)(-1-2i)}=\frac{-4(1-3i)}{5}=\boxed{-\frac{4}{5}+\frac{12}{5}i}.$$

Avec $z=x+iy$, on pose $Z=z^2-z$.

1. $Z={(x+iy)}^2-(x+iy)=(x^2-y^2-x)+iy(2x-1)$.

2. $Z$ réel $\iff \Im \left(Z\right)=y(2x-1)=0$. Exemples (avec $z\ne 0$) : $z=3$ (cas $y=0$) et $z=\frac{1}{2}+i$ (cas $2x-1=0$).

3. $Z$ imaginaire pur $\iff \Re \left(Z\right)=x^2-y^2-x=0$. En prenant $x=2$ $\Rightarrow$ $y^2=2$. Exemples : $z=2\pm i\sqrt{2}$ (non nuls et $\Im \left(Z\right)\ne 0$).

Avec $z=x+iy$, on pose $Z=z^2-3$.

1. $z^2=(x^2-y^2)+i2xy$, donc $$Z=z^2-3=(x^2-y^2-3)+i2xy.$$

2. $Z$ réel $\iff \Im \left(Z\right)=2xy=0\iff x=0\text{ou}y=0$. Ainsi $z$ est réel (non nécessairement non nul) ou purement imaginaire.

3. Pour $z=2+3i$ : $$Z={(2+3i)}^2-3=(4-9-3)+i12=-8+12i,$$ ce n’est pas un imaginaire pur (la partie réelle vaut $-8\ne 0$).

Identités remarquables et forme algébrique.

1. ${(4+3i)}^2=16+24i+9i^2=\boxed{7+24i}$

2. ${(-4+i)}^2=16-8i+i^2=\boxed{15-8i}$

3. ${(-8-11i)}^2=64+176i+121i^2=\boxed{-57+176i}$

4. $${(\frac{2}{3}+\frac{1}{3}i)}^2=\frac{4}{9}+\frac{4}{9}i-\frac{1}{9}$$

   $$=\boxed{\frac{1}{3}+\frac{4}{9}i}$$

5. $${(\frac{2}{5}-\frac{1}{4}i)}^2=\frac{4}{25}-\frac{1}{5}i-\frac{1}{16}$$

   $$=\boxed{\frac{39}{400}-\frac{1}{5}i}$$

6. $(4+3i)(4-3i)=\boxed{25}$

7. $(14+3i)(14-3i)=\boxed{205}$

8. $$(15+13i)(15-13i)-{(16-9i)}^2=394-(175-288i)$$

   $$=\boxed{219+288i}$$

Puissances et racine cubique de l’unité.

1. ${(a+ib)}^2=a^2+2iab+{\left(ib\right)}^2=a^2-b^2+2iab$.

2. ${(1+i)}^2=1+2i+i^2=\boxed{2i}$, ${(1+i)}^3={(1+i)}^2(1+i)=2i(1+i)=\boxed{-2+2i}$, ${(1+i)}^4={\left({(1+i)}^2\right)}^2={\left(2i\right)}^2=\boxed{-4}$.

3. On pose $j=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$.

   1. $j^2={(-\frac{1}{2})}^2-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+2(-\frac{1}{2})\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)i=\boxed{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}$, puis $j^3=j\cdot j^2=\boxed{1}$.

   2. Comme $j^3=1$ et $j\ne 1$, les puissances de $j$ sont périodiques de période $3$.

      Pour tout entier $n\ge 0$, on peut écrire $n$ de façon unique sous l’une des formes $$n=3q,n=3q+1,\text{ou}n=3q+2(q\in \mathbb{N}).$$ Alors $$j^n=\{\begin{array}{cc}1\hfill & \text{si}n=3q,\hfill \\ j\hfill & \text{si}n=3q+1,\hfill \\ j^2\hfill & \text{si}n=3q+2.\hfill \end{array}$$ Justification : $j^{3q}={\left(j^3\right)}^q=1$, $j^{3q+1}={\left(j^3\right)}^{q}j=j$, $j^{3q+2}={\left(j^3\right)}^q{j}^2=j^2$. $$\text{En particulier,}{j}^{n+3}=j^n\text{pour tout}n.$$

Chercher $z\ne 0$ tel que $Z=z+\frac{1}{z}$ soit réel ou imaginaire pur.

Soit $z=x+iy$ avec $x,y\in ℝ$, $x^2+y^2\ne 0$. Alors $$\frac{1}{z}=\frac{x-iy}{x^2+y^2},Z=(x+\frac{x}{x^2+y^2})+i(y-\frac{y}{x^2+y^2}).$$

1. $Z$ réel $\iff y(1-\frac{1}{x^2+y^2})=0\iff (y=0)\text{ou}(x^2+y^2=1).$

   Donc $z\in {ℝ}^{*}$ ou $\left|z\right|=1$ (tous les points du cercle unité, $z\ne 0$).

2. $Z$ imaginaire pur $$\iff x(1+\frac{1}{x^2+y^2})=0\iff x$$

   $$=0.$$

   Donc $z$ est purement imaginaire non nul : $z=iy$ avec $y\in {ℝ}^{*}$.

Puissances de $i$ (sans modulo).

1. Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on peut écrire $n$ sous l’une des formes $$n=4q,n=4q+1,n=4q+2,n=4q+3(q\in \mathbb{N}).$$ Comme $i^4=1$, on obtient $$i^n=\{\begin{array}{cc}1\hfill & \text{si}n=4q,\hfill \\ i\hfill & \text{si}n=4q+1,\hfill \\ -1\hfill & \text{si}n=4q+2,\hfill \\ -i\hfill & \text{si}n=4q+3.\hfill \end{array}$$

2. Pour tout $p\in \mathbb{Z}$, on a aussi $i^{p+4}=i^p$ (car $i^4=1$). On écrit alors $p=4q$, $4q+1$, $4q+2$ ou $4q+3$ avec $q\in \mathbb{Z}$, et donc $$i^p=\{\begin{array}{cc}1\hfill & \text{si}p=4q,\hfill \\ i\hfill & \text{si}p=4q+1,\hfill \\ -1\hfill & \text{si}p=4q+2,\hfill \\ -i\hfill & \text{si}p=4q+3.\hfill \end{array}$$ Exemples négatifs : $i^{-1}=-i$, $i^{-2}=-1$, $i^{-3}=i$, $i^{-4}=1$.

Inverse d’un nombre complexe (méthode du conjugué).

1. $\frac{1}{i}=\frac{i}{i^2}=\boxed{-i}$

2. $$\frac{1}{6i}=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{i}$$

   $$=\boxed{-\frac{i}{6}}$$

3. $$\frac{1}{2+3i}=\frac{2-3i}{(2+3i)(2-3i)}$$

   $$=\boxed{\frac{2}{13}-\frac{3}{13}i}$$

4. $$\frac{1}{7-4i}=\frac{7+4i}{7^2+4^2}$$

   $$=\boxed{\frac{7}{65}+\frac{4}{65}i}$$

5. $$\frac{1}{10-5i}=\frac{10+5i}{{10}^2+5^2}$$

   $$=\boxed{\frac{2}{25}+\frac{1}{25}i}$$

6. $j=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $$\left|j\right|=1\Rightarrow \frac{1}{j}$$

   $$=\overline{j}$$

   $$=\boxed{-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

7. $\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}}$ (module $1$) $=\boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}}$

1. $\frac{2+3i}{5-7i}=\frac{(2+3i)(5+7i)}{5^2+7^2}=\frac{-11+29i}{74}=\boxed{-\frac{11}{74}+\frac{29}{74}i}$

2. $\frac{5+9i}{5-9i}=\frac{{(5+9i)}^2}{5^2+9^2}=\frac{-56+90i}{106}=\boxed{-\frac{28}{53}+\frac{45}{53}i}$

3. $\frac{1-5i}{6+3i}=\frac{(1-5i)(6-3i)}{6^2+3^2}=\frac{-9-33i}{45}=\boxed{-\frac{1}{5}-\frac{11}{5}i}$

4. $\frac{3i}{\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}}=(3i)(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2})=\boxed{\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}i}$

5. $\frac{-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}{4-4i}=\frac{(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})(4+4i)}{4^2+4^2}=\boxed{-\frac{1+\sqrt{3}}{16}+\frac{\sqrt{3}-1}{16}i}$

Mettre sous la forme algébrique : $\frac{{(2-3i)}^2}{1+2i}$.

${(2-3i)}^2=4-12i+9i^2=-5-12i$, $$\frac{-5-12i}{1+2i}=\frac{(-5-12i)(1-2i)}{1+4}=\frac{-29-2i}{5}=\boxed{-\frac{29}{5}-\frac{2}{5}i}.$$

Écrire sous forme algébrique.

1. $$A=(\frac{3}{4}-2i)(\frac{4}{3}-\frac{1}{2}i)$$

   $$=\boxed{-\frac{73}{24}i}$$

2. $B={(1-i)}^4=\boxed{-4}$

3. $C=(1+i)(2-3i)=\boxed{5-i}$

4. $D={(3-2i)}^2=\boxed{5-12i}$

5. $E=(1-i)(1+i)=\boxed{2}$

6. $F={(1+3i)}^3=\boxed{-26-18i}$

7. $$G=(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}i)(i-\frac{4}{3})$$

   $$=\boxed{-1+\frac{1}{18}i}$$

8. $H=\frac{4-6i}{3+2i}=\boxed{-2i}$

9. $$I=\frac{3-6i}{3+i}+\frac{4}{3-i}$$

   $$=\boxed{\frac{3}{2}-\frac{17}{10}i}$$

10. $$J=\frac{1+i}{2-3i}+\frac{1}{2+3i}$$

    $$=\boxed{\frac{1}{13}+\frac{2}{13}i}$$

11. $K=(1+i)(2-3i)(1-i)=\boxed{4-6i}$

12. $$L=\left(\frac{4-6i}{2-3i}\right)\left(\frac{1+3i}{3+2i}\right)$$

    $$=\boxed{\frac{18}{13}+\frac{14}{13}i}$$

1. $$z_1=\frac{1+i}{2-i}$$

   $$=\frac{(1+i)(2+i)}{5}$$

   $$=\boxed{\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i}$$

2. $$z_2=\frac{4+5i}{i}$$

   $$=4\left(\frac{1}{i}\right)+5$$

   $$=\boxed{5-4i}$$

3. $$z_3=\frac{3-4i}{1+5i}$$

   $$=\frac{(3-4i)(1-5i)}{26}$$

   $$=\boxed{-\frac{17}{26}-\frac{19}{26}i}$$

4. $$z_4=\frac{-2+i}{4-5i}$$

   $$=\frac{(-2+i)(4+5i)}{41}$$

   $$=\boxed{-\frac{13}{41}-\frac{6}{41}i}$$

5. $$z_5=\frac{(1-i)(2+3i)}{-1+6i}$$

   $$=\frac{5+i}{-1+6i}$$

   $$=\frac{(5+i)(-1-6i)}{37}$$

   $$=\boxed{\frac{1}{37}-\frac{31}{37}i}$$

6. $z_6=\frac{i(5-i)}{(2+i)(3-i)}=\frac{1+5i}{7+i}=\frac{(1+5i)(7-i)}{50}=\boxed{\frac{6}{25}+\frac{17}{25}i}$

Écrire sous forme algébrique.

$a={(1+i)}^2=\boxed{2i}$

$b=(3-2i)(1-i)-{(2+i)}^2=\boxed{-2-9i}$

$$c=\frac{3-2i}{2+5i}$$

$$=\frac{(3-2i)(2-5i)}{29}$$

$$=\boxed{-\frac{4}{29}-\frac{19}{29}i}$$

$d=\frac{4+i}{1-i}+\frac{2-i}{3-i}=(\frac{3}{2}+\frac{5}{2}i)+(\frac{7}{10}-\frac{1}{10}i)=\boxed{\frac{11}{5}+\frac{12}{5}i}$

$e={\left(\frac{1+i}{i}\right)}^2={(1-i)}^2=\boxed{-2i}$

Entiers de Gauss $\mathbb{Z}\left[i\right]=\{p+iq\mid p,q\in \mathbb{Z}\}$.

1. Soient $z_1=p_1+i{q}_1$ et $z_2=p_2+i{q}_2$ avec $p_k,q_k\in \mathbb{Z}$. $$z_1\pm z_2=(p_1\pm p_2)+i(q_1\pm q_2),$$ somme et différence ont encore des parties réelle et imaginaire entières $\Rightarrow$ entiers de Gauss.

2. Produit : $$z_1{z}_2=(p_1{p}_2-q_1{q}_2)+i(p_1{q}_2+p_2{q}_1),$$ qui est de la forme $P+iQ$ avec $P,Q\in \mathbb{Z}$. Donc produit $\in \mathbb{Z}\left[i\right]$.

3. Inverse de $z=p+iq\ne 0$ : $$\frac{1}{z}=\frac{p-iq}{p^2+q^2}=\frac{p}{p^2+q^2}-i\frac{q}{p^2+q^2}.$$ C’est un complexe à parties rationnelles. Il est entier de Gauss seulement si $p^2+q^2=1$, c.-à-d. pour les unités $\boxed{\pm 1,\pm i}$.

1. $$z-2i=7-3z\Rightarrow 4z$$

   $$=7+2i\Rightarrow \boxed{z=\frac{7}{4}+\frac{1}{2}i}$$

2. $$z+2i=12-3iz\Rightarrow (1+3i)z$$

   $$=12-2i\Rightarrow \boxed{z=\frac{3}{5}-\frac{19}{5}i}$$

3. $$iz+2=5z-3i\Rightarrow (i-5)z$$

   $$=-2-3i\Rightarrow \boxed{z=\frac{7}{26}+\frac{17}{26}i}$$

1. $$z^2=iz\Rightarrow z(z-i)$$

   $$=0\Rightarrow \boxed{z\in \{0,i\}}$$

2. $$(2iz+i)(4z-8-4i)=0\Rightarrow \boxed{z=-\frac{1}{2}}\text{ou}\boxed{z=2+i}$$

3. $$\frac{z-2i}{z+2}=4i\Rightarrow z-2i$$

   $$=4iz+8i\Rightarrow (1-4i)z$$

   $$=10i\Rightarrow \boxed{z=-\frac{40}{17}+\frac{10}{17}i}$$

On simplifie d’abord $z$ : $$z=-\frac{1}{1+i\sqrt{3}}\cdot \frac{1-i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{4}(-1+i\sqrt{3}).$$

Donc $$z^3={\left(\frac{1}{4}\right)}^3(-1+i\sqrt{3}{)}^3=\frac{1}{64}(-1+i\sqrt{3}{)}^3.$$

Posons $A=-1$ et $B=i\sqrt{3}$. Alors $${(A+B)}^3=A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3.$$ On calcule $$A^3=-1,3A^{2}B=3i\sqrt{3},B^2={\left(i\sqrt{3}\right)}^2=-3\Rightarrow 3A{B}^2=3(-1)(-3)=9,$$ $$B^3={\left(i\sqrt{3}\right)}^3=i^3{\left(\sqrt{3}\right)}^3=-3i\sqrt{3}.$$ Ainsi $${(-1+i\sqrt{3})}^3=(-1)+3i\sqrt{3}+9-3i\sqrt{3}=8.$$

Enfin $$z^3=\frac{1}{64}\times 8=\boxed{\frac{1}{8}}$$.

Soit $z=a+ib$ avec $a,b\in ℝ$. Alors $$z^2={(a+ib)}^2=(a^2-b^2)+i2ab.$$ On veut $z^2=i$, donc $$\{\begin{array}{c}{a}^2-b^2=0,\hfill \\ 2ab=1.\hfill \end{array}$$ De $a^2-b^2=0$ on déduit $b=\pm a$.

Cas 1 : $b=a$. Alors $2a^2=1$, donc $a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ et $b=a$. Ainsi $$z=\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\text{ou}z=-\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i).$$

Cas 2 : $b=-a$. Alors $2a(-a)=-2a^2=1$, impossible avec $a\in ℝ$.

Conclusion. Les deux solutions sont $$\boxed{z=\frac{1+i}{\sqrt{2}}}\text{et}\boxed{z=-\frac{1+i}{\sqrt{2}}}.$$

Vérification rapide : 

$$(\frac{1+i}{\sqrt{2}}{)}^2=\frac{1+2i+i^2}{2}$$

$$=\frac{2i}{2}$$

$$=i.$$

Soit $z=x+iy$. Alors $z^2=(x^2-y^2)+i2xy$.

1. $z^2$ réel $\iff Im\left(z^2\right)=2xy=0\iff \boxed{x=0\text{ou}y=0}$, i.e. $z$ est réel ou purement imaginaire (zéro compris).

2. $z^2$ imaginaire pur $\iff Re\left(z^2\right)=x^2-y^2=0\iff \boxed{y=\pm x}$ (zéro compris).