Mathématiques avec Hans Amble

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Le développement — Les identités

Identités remarquables — Seconde

Rappels essentiels, exercices progressifs, vidéos et corrigés écrits.

📌 Les trois propriétés à connaître

Pour tous nombres aa et bb :

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b)=a^2-b^2

Réflexe : repérer d’abord les deux expressions qui jouent les rôles de aa et bb, puis écrire la formule avant de calculer.

Attention : dans la plupart des cas, (a+b)2≠a2+b2(a+b)^2\neq a^2+b^2. Le double produit 2ab2ab ne doit pas être oublié.
🎓 Rappel de cours en vidéo

✏️ Exercices corrigés

Exercice 1 ★

Développer et réduire.

  1. (3x+2)2(3x+2)^2
  2. (10x+5)2(10x+5)^2
  3. (3x−4)2(3x-4)^2
  4. (4x−7)2(4x-7)^2
  5. (−3x+2)(−3x−2)(-3x+2)(-3x-2)
  6. (−6x+7)2(-6x+7)^2
  7. (2x−6)2(2x-6)^2
  8. (2x−9)(2x+9)(2x-9)(2x+9)
  9. (−3+2x)2(-3+2x)^2
  10. (9x−11)(9x+11)(9x-11)(9x+11)
  11. (−4x+5)2(-4x+5)^2
  12. (3x−5)2(3x-5)^2
  13. (5x−7)(5x+7)(5x-7)(5x+7)
  14. (−4x−2)2(-4x-2)^2
  15. (−7x+2)2(-7x+2)^2
  16. (3x−5)2(3x-5)^2
  17. (4x+12)(4x−12)(4x+12)(4x-12)
  18. (2x+9)2(2x+9)^2
  19. (6x−11)2(6x-11)^2
  20. (−7−6x)(−7+6x)(-7-6x)(-7+6x)
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  1. (3x+2)2=9x2+12x+4(3x+2)^2=9x^2+12x+4
  2. (10x+5)2=100x2+100x+25(10x+5)^2=100x^2+100x+25
  3. (3x−4)2=9x2−24x+16(3x-4)^2=9x^2-24x+16
  4. (4x−7)2=16x2−56x+49(4x-7)^2=16x^2-56x+49
  5. (−3x+2)(−3x−2)=9x2−4(-3x+2)(-3x-2)=9x^2-4
  6. (−6x+7)2=36x2−84x+49(-6x+7)^2=36x^2-84x+49
  7. (2x−6)2=4x2−24x+36(2x-6)^2=4x^2-24x+36
  8. (2x−9)(2x+9)=4x2−81(2x-9)(2x+9)=4x^2-81
  9. (−3+2x)2=4x2−12x+9(-3+2x)^2=4x^2-12x+9
  10. (9x−11)(9x+11)=81x2−121(9x-11)(9x+11)=81x^2-121
  11. (−4x+5)2=16x2−40x+25(-4x+5)^2=16x^2-40x+25
  12. (3x−5)2=9x2−30x+25(3x-5)^2=9x^2-30x+25
  13. (5x−7)(5x+7)=25x2−49(5x-7)(5x+7)=25x^2-49
  14. (−4x−2)2=16x2+16x+4(-4x-2)^2=16x^2+16x+4
  15. (−7x+2)2=49x2−28x+4(-7x+2)^2=49x^2-28x+4
  16. (3x−5)2=9x2−30x+25(3x-5)^2=9x^2-30x+25
  17. (4x+12)(4x−12)=16x2−144(4x+12)(4x-12)=16x^2-144
  18. (2x+9)2=4x2+36x+81(2x+9)^2=4x^2+36x+81
  19. (6x−11)2=36x2−132x+121(6x-11)^2=36x^2-132x+121
  20. (−7−6x)(−7+6x)=49−36x2(-7-6x)(-7+6x)=49-36x^2
⚠️ Erreur fréquente. Ne pas écrire (A−B)2=A2−B2(A-B)^2=A^2-B^2 : le terme −2AB-2AB est indispensable.

Exercice 2 ★★

Réorganiser les facteurs, puis développer.

  1. −3(3x+2)(2x+1)(3x−2)-3(3x+2)(2x+1)(3x-2)
  2. −6(49x2+9)(−6)(7x−3)(−1)(7x+3)-6(49x^2+9)(-6)(7x-3)(-1)(7x+3)
  3. (x2+x+1)(x2+x−1)(x^2+x+1)(x^2+x-1)
  4. 4x(3x+2)24x(3x+2)^2
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Idée : former d’abord une paire conjuguée quand elle apparaît.

  1. −3(3x+2)(2x+1)(3x−2)=−54x3−27x2+24x+12-3(3x+2)(2x+1)(3x-2)=-54x^3-27x^2+24x+12
  2. −6(49x2+9)(−6)(7x−3)(−1)(7x+3)=−86436x4+2916-6(49x^2+9)(-6)(7x-3)(-1)(7x+3)=-86436x^4+2916
  3. (x2+x+1)(x2+x−1)=x4+2x3+x2−1(x^2+x+1)(x^2+x-1)=x^4+2x^3+x^2-1
  4. 4x(3x+2)2=36x3+48x2+16x4x(3x+2)^2=36x^3+48x^2+16x
⚠️ Erreur fréquente. On peut changer l’ordre des facteurs, mais pas supprimer un facteur.

Exercice 3 ★★

Développer avec des décimaux et des fractions.

  1. (−3x+2)2(-3x+2)^2
  2. (−10x+4)2(-10x+4)^2
  3. (−0,3x−0,4)2(-0{,}3x-0{,}4)^2
  4. (−4x−7)2(-4x-7)^2
  5. (−3x+4)(−3x−4)(-3x+4)(-3x-4)
  6. (−6x−7)2(-6x-7)^2
  7. (23x−6)2(\frac23x-6)^2
  8. (2x−23)(2x+23)(2x-\frac23)(2x+\frac23)
  9. (−3+2x)2(-3+2x)^2
  10. (14x−11)(14x+11)(\frac14x-11)(\frac14x+11)
  11. (−4x+14)2(-4x+\frac14)^2
  12. (−54x−5)2(-\frac54x-5)^2
  13. (0,5x−0,7)(0,5x+0,7)(0{,}5x-0{,}7)(0{,}5x+0{,}7)
  14. (−4x−74)2(-4x-\frac74)^2
  15. (−12x+2)2(-\frac12x+2)^2
  16. (−0,1x−0,4)2(-0{,}1x-0{,}4)^2
  17. (15x+12)(15x−12)(\frac15x+12)(\frac15x-12)
  18. (−2x+9)2(-2x+9)^2
  19. (14x−14)2(\frac14x-\frac14)^2
  20. (−7−34x)(−7+34x)(-7-\frac34x)(-7+\frac34x)
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  1. 9x2−12x+49x^2-12x+4
  2. 100x2−80x+16100x^2-80x+16
  3. 0,09x2+0,24x+0,160{,}09x^2+0{,}24x+0{,}16
  4. 16x2+56x+4916x^2+56x+49
  5. 9x2−169x^2-16
  6. 36x2+84x+4936x^2+84x+49
  7. 49x2−8x+36\frac49x^2-8x+36
  8. 4x2−494x^2-\frac49
  9. 4x2−12x+94x^2-12x+9
  10. 116x2−121\frac1{16}x^2-121
  11. 16x2−2x+11616x^2-2x+\frac1{16}
  12. 2516x2+252x+25\frac{25}{16}x^2+\frac{25}{2}x+25
  13. 0,25x2−0,490{,}25x^2-0{,}49
  14. 16x2+14x+491616x^2+14x+\frac{49}{16}
  15. 14x2−2x+4\frac14x^2-2x+4
  16. 0,01x2+0,08x+0,160{,}01x^2+0{,}08x+0{,}16
  17. 125x2−144\frac1{25}x^2-144
  18. 4x2−36x+814x^2-36x+81
  19. 116x2−18x+116\frac1{16}x^2-\frac18x+\frac1{16}
  20. 49−916x249-\frac9{16}x^2
⚠️ Erreur fréquente. Le carré porte sur tout le monôme : (23x)2=49x2(\frac23x)^2=\frac49x^2.

Exercice 4 ★★

Développer en tenant compte du facteur placé devant.

  1. 2(3x−4)22(3x-4)^2
  2. −(x+7)2-(x+7)^2
  3. −10(2x−9)(2x+9)-10(2x-9)(2x+9)
  4. 7(3x−1)27(3x-1)^2
  5. (x+3)2+(2x+7)2(x+3)^2+(2x+7)^2
  6. −2(3x−1)2-2(3x-1)^2
  7. −(2x−1)2-(2x-1)^2
  8. −(x+11)2-(x+11)^2
  9. 7(3x+4)(3x−4)7(3x+4)(3x-4)
  10. −4(5x+2)2-4(5x+2)^2
  11. (2x−7)2+(x+7)(x−7)(2x-7)^2+(x+7)(x-7)
  12. −(3x−8)(3x+8)-(3x-8)(3x+8)
  13. −2(7−4x)2-2(7-4x)^2
  14. −4(3+2x)2-4(3+2x)^2
  15. (2x+3)2+(x−1)2(2x+3)^2+(x-1)^2
  16. (2x−11)2+(2x−3)(2x+3)(2x-11)^2+(2x-3)(2x+3)
  17. −(2x−7)2-(2x-7)^2
  18. −3(10x+3)2-3(10x+3)^2
  19. 5(10x−1)(10x+1)5(10x-1)(10x+1)
  20. −6(7+3x)2-6(7+3x)^2
✅ Afficher le corrigé écrit
  1. 18x2−48x+3218x^2-48x+32
  2. −x2−14x−49-x^2-14x-49
  3. 810−40x2810-40x^2
  4. 63x2−42x+763x^2-42x+7
  5. 5x2+34x+585x^2+34x+58
  6. −18x2+12x−2-18x^2+12x-2
  7. −4x2+4x−1-4x^2+4x-1
  8. −x2−22x−121-x^2-22x-121
  9. 63x2−11263x^2-112
  10. −100x2−80x−16-100x^2-80x-16
  11. 5x2−28x5x^2-28x
  12. 64−9x264-9x^2
  13. −32x2+112x−98-32x^2+112x-98
  14. −16x2−48x−36-16x^2-48x-36
  15. 5x2+10x+105x^2+10x+10
  16. 8x2−44x+1128x^2-44x+112
  17. −4x2+28x−49-4x^2+28x-49
  18. −300x2−180x−27-300x^2-180x-27
  19. 500x2−5500x^2-5
  20. −54x2−252x−294-54x^2-252x-294
⚠️ Erreur fréquente. Développer d’abord l’identité remarquable, puis multiplier chacun des termes obtenus par le facteur extérieur.

Exercice 5 ★★★

Développer et réduire les expressions plus techniques.

  1. (43x+2)(−34x−3)(\frac43x+2)(-\frac34x-3)
  2. (x2−2x−2)2(x^2-2x-2)^2
  3. 2(3x−1)(x+2)−2(5x−2)(3+2x)2(3x-1)(x+2)-2(5x-2)(3+2x)
  4. x(7x+2)(x−3)x(7x+2)(x-3)
  5. 2x(3x−4)(x+3)(6x)2x(3x-4)(x+3)(6x)
  6. (43x+1)2−(43x−3)2(\frac43x+1)^2-(\frac43x-3)^2
  7. (9−6x)(9+6x)−(6x+9)2(9-6x)(9+6x)-(6x+9)^2
✅ Afficher le corrigé écrit
  1. −x2−112x−6-x^2-\frac{11}{2}x-6
  2. x4−4x3+8x+4x^4-4x^3+8x+4
  3. −14x2−12x+8-14x^2-12x+8
  4. 7x3−19x2−6x7x^3-19x^2-6x
  5. 36x4+60x3−144x236x^4+60x^3-144x^2
  6. 323x−8\frac{32}{3}x-8
  7. −72x2−108x-72x^2-108x
⚠️ Erreur fréquente. Lorsque deux carrés sont soustraits, chercher une différence de deux carrés avant de tout développer.

Exercice 6 ★

Simplifier des expressions littérales.

  1. (a+b)2+(−a+b)2−(−a−b)2−(a−b)2(a+b)^2+(-a+b)^2-(-a-b)^2-(a-b)^2
  2. (a+b)(a−b)−(−a+b)(−a−b)+(a−b)2−(−a−b)(b+a)(a+b)(a-b)-(-a+b)(-a-b)+(a-b)^2-(-a-b)(b+a)
✅ Afficher le corrigé écrit
(−a+b)2=(a−b)2et(−a−b)2=(a+b)2(-a+b)^2=(a-b)^2\quad\text{et}\quad(-a-b)^2=(a+b)^2
  1. 00
  2. 2a2+2b2=2(a2+b2)2a^2+2b^2=2(a^2+b^2)
⚠️ Erreur fréquente. Le carré efface un signe global : (−U)2=U2(-U)^2=U^2.

Exercice 7 ★★

Une application arithmétique.

On pose a=(n+1)(n+2)a=(n+1)(n+2) et p=n(n+1)(n+2)(n+3)p=n(n+1)(n+2)(n+3).

  1. Prouver que p=a(a−2)p=a(a-2).
  2. En déduire que p+1p+1 est le carré d’un entier.
✅ Afficher le corrigé écrit
a−2=(n+1)(n+2)−2=n(n+3)a-2=(n+1)(n+2)-2=n(n+3)
p=a(a−2)p=a(a-2)
p+1=a2−2a+1=(a−1)2p+1=a^2-2a+1=(a-1)^2
⚠️ Erreur fréquente. On reconnaît a2−2a+1=(a−1)2a^2-2a+1=(a-1)^2, et non (a+1)2(a+1)^2.

Exercice 8 ★

Entraînement supplémentaire : développer et réduire.

  1. (x−6)2(x-6)^2
  2. (x+4)2(x+4)^2
  3. (x−5)(x+5)(x-5)(x+5)
  4. (2x+7)2(2x+7)^2
  5. (5x+1)(5x−1)(5x+1)(5x-1)
  6. (2x−3)2(2x-3)^2
  7. (7x+6)(7x−6)(7x+6)(7x-6)
  8. (4x−9)2(4x-9)^2
  9. (3x+8)2(3x+8)^2
  10. (3x−2)(3x+2)(3x-2)(3x+2)
  11. (9x2−1)(9x2+1)(9x^2-1)(9x^2+1)
  12. (2x3+6)2(2x^3+6)^2
  13. (5x4−4)2(5x^4-4)^2
✅ Afficher le corrigé écrit
  1. x2−12x+36x^2-12x+36
  2. x2+8x+16x^2+8x+16
  3. x2−25x^2-25
  4. 4x2+28x+494x^2+28x+49
  5. 25x2−125x^2-1
  6. 4x2−12x+94x^2-12x+9
  7. 49x2−3649x^2-36
  8. 16x2−72x+8116x^2-72x+81
  9. 9x2+48x+649x^2+48x+64
  10. 9x2−49x^2-4
  11. 81x4−181x^4-1
  12. 4x6+24x3+364x^6+24x^3+36
  13. 25x8−40x4+1625x^8-40x^4+16
⚠️ Erreur fréquente. Pour une puissance de monôme, on élève au carré le coefficient et la partie littérale.

Exercice 9 ★★

Combiner plusieurs développements.

  1. (2x−1)(2x+1)+(5x−3)2(2x-1)(2x+1)+(5x-3)^2
  2. (3x+4)2+(2x−7)(x+3)(3x+4)^2+(2x-7)(x+3)
  3. (9x−4)2−(7x+5)(7x−5)(9x-4)^2-(7x+5)(7x-5)
  4. (6x+2)2−(6x+2)(6x−2)(6x+2)^2-(6x+2)(6x-2)
✅ Afficher le corrigé écrit
  1. 29x2−30x+829x^2-30x+8
  2. 11x2+23x−511x^2+23x-5
  3. 32x2−72x+4132x^2-72x+41
  4. (6x+2)[(6x+2)−(6x−2)]=24x+8(6x+2)[(6x+2)-(6x-2)]=24x+8
⚠️ Erreur fréquente. Lorsqu’un signe moins précède une parenthèse développée, il change le signe de chacun de ses termes.

Exercice 10 ★

Calculer mentalement avec une identité remarquable.

  1. 49249^2
  2. 52252^2
  3. 47×5347\times53
  4. 1042−962104^2-96^2
✅ Afficher le corrigé écrit
  1. 492=(50−1)2=240149^2=(50-1)^2=2401
  2. 522=(50+2)2=270452^2=(50+2)^2=2704
  3. 47×53=(50−3)(50+3)=249147\times53=(50-3)(50+3)=2491
  4. 1042−962=(104−96)(104+96)=1600104^2-96^2=(104-96)(104+96)=1600
⚠️ Erreur fréquente. Choisir un nombre rond proche permet de faire apparaître immédiatement l’identité remarquable.

Exercice 11 ★★

Réinvestir le développement dans un calcul mental.

On considère E=(x−1)(x−2)−(x−3)2E=(x-1)(x-2)-(x-3)^2.

  1. Développer et réduire EE.
  2. En déduire, sans calculatrice, 999×998−9972999\times998-997^2.
✅ Afficher le corrigé écrit
E=x2−3x+2−(x2−6x+9)=3x−7E=x^2-3x+2-(x^2-6x+9)=3x-7

On choisit x = 1000, puis :

999×998−9972=3×1000−7=2993999\times998-997^2=3\times1000-7=2993
⚠️ Erreur fréquente. Il faut choisir la même valeur de x dans les trois facteurs : ici x = 1000.