Le développement algébrique

✏️ Le développement — Seconde

Réduire, développer et ordonner une expression algébrique.

📌 L’essentiel du cours

Réduire : regrouper les termes semblables, par exemple 3x − 7x + 6x = 2x.

k(a + b) = ka + kb • (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Signe moins : −(a + b) = −a − b et −(a − b) = −a + b.

Méthode : développer chaque produit, réduire les termes semblables, puis ordonner selon les puissances décroissantes de x.

🎓 Rappels de cours en vidéo

✏️ Exercices corrigés

Exercice 1 ★

Réduire et ordonner

$3x-7x+6x-3=$
$-5x+6-5x+7=$
$-12x+6x-5+9=$
$2x^2+x+3x-4=$
$4x^2-7x+8x-9=$
$-x-x^2+3x-4=$
$3-9x-3-8x+4x=$
$13-6x-3x^2-8x^2+5=$
$6x+8-7x-9+12x-4+x+10$

✅ Afficher le corrigé écrit

Règle. On réunit les termes semblables (même puissance de $x$ ) puis on ordonne par degrés décroissants.

$3x-7x+6x-3=(3-7+6)x-3=2x-3.$
$-5x+6-5x+7=(-5-5)x+(6+7)=-10x+13.$
$-12x+6x-5+9=(-12+6)x+(-5+9)=-6x+4.$
$2x^2+x+3x-4=2x^2+(1+3)x-4=2x^2+4x-4.$
$4x^2-7x+8x-9=4x^2+(-7+8)x-9=4x^2+x-9.$
$-x-x^2+3x-4=-x^2+(-1+3)x-4=-x^2+2x-4.$
$3-9x-3-8x+4x=(-9-8+4)x+(3-3)=-13x.$
$13-6x-3x^2-8x^2+5=(-3-8)x^2-6x+(13+5)=-11x^2-6x+18.$
$6x+8-7x-9+12x-4+x+10=(6-7+12+1)x+(8-9-4+10)=12x+5.$

Exercice 2 ★

Réduire et ordonner :

$4x^2+5x-3x-3x^2+2+6x-5$
$7-3x^2+x-x^2-x+9$
$4x^3+8x-x^3-x^2+x+3x^2+11$

✅ Afficher le corrigé écrit

Principe. On regroupe les termes semblables (même puissance de $x$ ) puis on ordonne par degrés décroissants.

$4x^2+5x-3x-3x^2+2+6x-5$
$=(4-3)x^2+(5-3+6)x+(2-5)=x^2+8x-3.$
$7-3x^2+x-x^2-x+9$
$=(-3-1)x^2+(1-1)x+(7+9)=-4x^2+16.$
$4x^3+8x-x^3-x^2+x+3x^2+11$
$=(4-1)x^3+(-1+3)x^2+(8+1)x+11=3x^3+2x^2+9x+11.$

Exercice 3 ★

Exprimer sous une forme plus simple

$3x \times 6x$
$-5x \times 4$
$3 \times 4x$
$7x \times (-4x)$
$3x^2 \times 4x$
$-5x \times 4x^2$
$9x^3 \times 8x$
$6x \times (-2x^2)$
$-4x \times 5x$
$-5x \times (-5x)$
$3 \times 4x$
$-10x \times (-4x)$
$4x^2 \times 5x$
$-7x \times 4x^2$
$-8x^3 \times (-5x)$
$2x \times (-3x^2)$

✅ Afficher le corrigé écrit

Règle. $(a\,x^m)\times(b\,x^n)=ab\,x^{m+n}$ (on multiplie les coefficients et on additionne les exposants).

$18x^2$
$-20x$
$12x$
$-28x^2$
$12x^3$
$-20x^3$
$72x^4$
$-12x^3$
$-20x^2$
$25x^2$
$12x$
$40x^2$
$20x^3$
$-28x^3$
$40x^4$
$-6x^3$

Exercice 4 ★

Développer et réduire les expressions suivantes :

$3x(2x^2-3x+3)$
$6x(x^2+2x+5)$
$-7x(4x+4)$
$-4x(x^2+2x-9)$
$9x(-2+x)$
$6x^2(3x^2-2x+74)$

✅ Afficher le corrigé écrit

$3x(2x^2-3x+3)=6x^3-9x^2+9x$ .
$6x(x^2+2x+5)=6x^3+12x^2+30x$ .
$-7x(4x+4)=-28x^2-28x$ .
$-4x(x^2+2x-9)=-4x^3-8x^2+36x$ .
$9x(-2+x)=9x^2-18x$ .
$6x^2(3x^2-2x+74)=18x^4-12x^3+444x^2$ .

Exercice 5 ★★

Développer et réduire les expressions suivantes :

$(3x+6)(2x+3)$
$(x-3)(2x+5)$
$(x+1)(4x+2)$
$(4x+9)(2x+1)$
$(x-3)(2+x)$
$(-3x-2)(-2x+7)$

✅ Afficher le corrigé écrit

$(3x+6)(2x+3)=6x^2+21x+18$ .
$(x-3)(2x+5)=2x^2-x-15$ .
$(x+1)(4x+2)=4x^2+6x+2$ .
$(4x+9)(2x+1)=8x^2+22x+9$ .
$(x-3)(2+x)=x^2-x-6$ .
$(-3x-2)(-2x+7)=6x^2-17x-14$ .

Exercice 6 ★★

Développer et réduire les expressions suivantes :

$(3x+2)(2x+1)$
$(2x+3)(3x+5)$
$4(x+1)(x+2)$
$4x(2x+1)x$
$4x^2(2+x^2+x)$
$(3x-2)(2x-3)$
$(2x-3)(3x+5)$
$4(x+1)(x-2)$
$4x(2x-1)x$
$4x^2(2-x^2-x)$

✅ Afficher le corrigé écrit

$6x^2+7x+2$
$6x^2+19x+15$
$4x^2+12x+8$
$8x^3+4x^2$
$4x^4+4x^3+8x^2$
$6x^2-13x+6$
$6x^2+x-15$
$4x^2-4x-8$
$8x^3-4x^2$
$-4x^4-4x^3+8x^2$

Exercice 7 ★★★

Le moins devant une parenthèse : Développer

$-(2x^2+3x-6),\qquad -(2x+4)(4x-3),\qquad (2x+2)-(x+1)(2x+3).$

✅ Afficher le corrigé écrit

$-(2x^2+3x-6)=-2x^2-3x+6.$ $-(2x+4)(4x-3)=-(8x^2+10x-12)=-8x^2-10x+12.$ $(2x+2)-(x+1)(2x+3)=(2x+2)-(2x^2+5x+3)=-2x^2-3x-1.$

Exercice 8 ★★★

En développant le membre de gauche, vérifier que les égalités suivantes sont vraies pour tout $x$ .

$(2x + 2) (5x + 1) + (x + 1) (x + 2) =11x^2+15x+4$
$(4x + 7) (-2x +8) + (5x + 3) (6x + 1)=22x^2+41x+59$
$(-3x+7)(1-7x)+(3x+2)(4x+1)=33x^2-41x+9$
$(x + 5) (-2x-3) – (x + 2) (3-2x)=-12x-21$
$(2x – 4) (8-3x) – (4-x) (-3x+5)=-9x^2+45x-52$

✅ Afficher le corrigé écrit

$(2x+2)(5x+1)=10x^2+12x+2$ , $(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$
Somme $=11x^2+15x+4$ .
$(4x+7)(-2x+8)=-8x^2+18x+56$ , $(5x+3)(6x+1)=30x^2+23x+3$
Somme $=22x^2+41x+59$ .
$(-3x+7)(1-7x)=21x^2-52x+7$ , $(3x+2)(4x+1)=12x^2+11x+2$
Somme $=33x^2-41x+9$ .
$(x+5)(-2x-3)=-2x^2-13x-15$ , $(x+2)(3-2x)=-2x^2-x+6$
Différence $=-12x-21$ .
$(2x-4)(8-3x)=-6x^2+28x-32$ , $(4-x)(-3x+5)=3x^2-17x+20$
Différence $=-9x^2+45x-52$ .

Exercice 9 ★★★

En développant le membre de gauche, vérifier que ces égalités sont vraies pour tout $x$ .

$2(2x + 3) (4x – 1) + 3(2x + 1) (3x + 2) =34x^2+41x$
$3(4x +5) (-2x +3) +4 (x + 3) (x -3)=-20x^2+6x+9$
$2(-x+1)(1-4x)-3(4x+3)(4x-1)=-40x^2-34x+11$
$3(x^2+2x)(x + 5) – 5(x^2 + 2) (4-x)=8x^3+x^2+40x-40$
$(x^2 – x + 4) (2x + 1) – 2 (2x^2 + 2x) (5 – x)=6x^3-17x^2-13x+4$

✅ Afficher le corrigé écrit

$2(2x+3)(4x-1)=2(8x^2+10x-3)=16x^2+20x-6$ ; $3(2x+1)(3x+2)=3(6x^2+7x+2)=18x^2+21x+6$ .
Somme $=34x^2+41x$ .
$3(4x+5)(-2x+3)=3(-8x^2+2x+15)=-24x^2+6x+45$ ; $4(x+3)(x-3)=4(x^2-9)=4x^2-36$ .
Somme $=-20x^2+6x+9$ .
$2(-x+1)(1-4x)=2(4x^2-5x+1)=8x^2-10x+2$ ; $-3(4x+3)(4x-1)=-3(16x^2+8x-3)=-48x^2-24x+9$ .
Somme $=-40x^2-34x+11$ .
$3(x^2+2x)(x+5)=3(x^3+7x^2+10x)=3x^3+21x^2+30x$ ; $-5(x^2+2)(4-x)=-5(-x^3+4x^2-2x+8)=5x^3-20x^2+10x-40$ .
Somme $=8x^3+x^2+40x-40$ .
$(x^2-x+4)(2x+1)=2x^3 – x^2 + 7x + 4$ ; $-2(2x^2+2x)(5-x)=-2(-2x^3+6x^2+10x)=4x^3-12x^2-20x$ .
Différence $=6x^3-17x^2-13x+4$ .

Exercice 10 ★★★

Développer et réduire les expressions suivantes :

$(2+x)+(x+2)(-x-1)$
$3-(-2x+2)(-3x+1)$
$4(x-1)+(2x+2)$
$3x-(7x+2)+x(x-3)$
$x^2+3(-2-x^2)-2x$
$(x+1)(x+2)-2x(x-3)$
$-(-x+1)(2x-2)+4(2x-1)$
$3x-(2x+5)+(x-4)(1-x)$
$(2x+2)x-3x(x+1)-4(2x+3)$

✅ Afficher le corrigé écrit

Méthode. On développe chaque produit (distribution terme À terme), puis on regroupe les termes semblables et on réduit.

$(2+x)+(x+2)(-x-1)$ $\begin{aligned} (x+2)(-x-1)&=x(-x-1)+2(-x-1)\\ &=(-x^2-x)+(-2x-2)\\ &=-x^2-3x-2,\\[2pt] (2+x)+(\cdots)&=(2+x)+(-x^2-3x-2)\\ &=-x^2-2x. \end{aligned}$
$3-(-2x+2)(-3x+1)$ $\begin{aligned} (-2x+2)(-3x+1)&=(-2x)(-3x)+(-2x)\cdot1+2(-3x)+2\cdot1\\ &=6x^2-2x-6x+2=6x^2-8x+2,\\[2pt] 3-(\cdots)&=3-(6x^2-8x+2)=-6x^2+8x+1. \end{aligned}$
$4(x-1)+(2x+2)$ $4(x-1)=4x-4\quad\Rightarrow\quad (4x-4)+(2x+2)=6x-2.$
$3x-(7x+2)+x(x-3)$ $\begin{aligned} x(x-3)&=x^2-3x,\\ 3x-(7x+2)+(\cdots)&=3x-7x-2+x^2-3x\\ &=x^2-7x-2. \end{aligned}$
$x^2+3(-2-x^2)-2x$ $3(-2-x^2)=-6-3x^2\ \Rightarrow\ x^2-3x^2-2x-6=-2x^2-2x-6.$
$(x+1)(x+2)-2x(x-3)$ $\begin{aligned} (x+1)(x+2)&=x^2+3x+2,\\ 2x(x-3)&=2x^2-6x,\\ (\cdots)-(\cdots)&=(x^2+3x+2)-(2x^2-6x)\\ &=-x^2+9x+2. \end{aligned}$
$-(-x+1)(2x-2)+4(2x-1)$ $\begin{aligned} (-x+1)(2x-2)&=(-x)2x+(-x)(-2)+1\cdot2x+1\cdot(-2)\\ &=-2x^2+2x+2x-2=-2x^2+4x-2,\\ -\ (\cdots)&=2x^2-4x+2,\\ \text{puis }+4(2x-1)&=+8x-4\ \Rightarrow\ 2x^2+4x-2. \end{aligned}$
$3x-(2x+5)+(x-4)(1-x)$ $\begin{aligned} (x-4)(1-x)&=x(1-x)-4(1-x)=x-x^2-4+4x\\ &=-x^2+5x-4,\\ 3x-(2x+5)+(\cdots)&=3x-2x-5+(-x^2+5x-4)\\ &=-x^2+6x-9. \end{aligned}$
$(2x+2)x-3x(x+1)-4(2x+3)$ $\begin{aligned} (2x+2)x&=2x^2+2x,\\ 3x(x+1)&=3x^2+3x,\\ 4(2x+3)&=8x+12,\\ \text{donc }&\ 2x^2+2x-(3x^2+3x)-(8x+12)\\ &=-x^2-9x-12. \end{aligned}$

Exercice 11 ★★

En utilisant des développements, montrer que les égalités suivantes sont vraies pour tout $x\in\mathbb{R}$ .

$(3x+2)(7x-3)=(3-x)(4+2x)+23x^2+3(x-6)$
$(7x-1)(1-4x)+28x^2=4x^2+33x+29-(2x+5)(2x+6)$
$(2x+14)(-3x+10)+5x^2=-(2x-3)(14+2x)+3x^2+98$
$(5x+6)(2x-6)=(2x-2)(2x+5)-(1-2x)(3x+1)-23x-25$

✅ Afficher le corrigé écrit

Gauche : $(3x+2)(7x-3)=21x^2-9x+14x-6=21x^2+5x-6.$
Droite : $(3-x)(4+2x)=12+6x-4x-2x^2=-2x^2+2x+12$ .
Puis $(-2x^2+2x+12)+23x^2+3(x-6)=21x^2+5x-6$ .
Les deux membres sont égaux.
Gauche : $(7x-1)(1-4x)=7x-28x^2-1+4x=-28x^2+11x-1$ puis $+28x^2=11x-1$ .
Droite : $(2x+5)(2x+6)=4x^2+22x+30$ .
Alors $4x^2+33x+29-(4x^2+22x+30)=11x-1$ .
égalité vérifiée.
Gauche : $(2x+14)(-3x+10)=-6x^2+20x-42x+140=-6x^2-22x+140$ ,
puis $+5x^2=-x^2-22x+140$ .
Droite : $(2x-3)(14+2x)=28x+4x^2-42-6x=4x^2+22x-42$ ,
donc $-(\cdots)=-4x^2-22x+42$ , puis $+3x^2=-x^2-22x+42$ , puis $+98=-x^2-22x+140$ .
égalité vérifiée.
Gauche : $(5x+6)(2x-6)=10x^2-30x+12x-36=10x^2-18x-36$ .
Droite : $(2x-2)(2x+5)=4x^2+6x-10$ .
$(1-2x)(3x+1)=3x+1-6x^2-2x=-6x^2+x+1$ .
Alors $(4x^2+6x-10)-(-6x^2+x+1)=10x^2+5x-11$ , puis $-23x-25$ donne $10x^2-18x-36$ .
égalité vérifiée.

Exercice 12 ★★★

Développer et réduire les expressions suivantes :

$3x(3x+3)$
$3(2x-3)(3x+5)$
$-2(5+x)(5x+3)$
$2(5x+9)(3x+8)$
$6(x-4)(3-x)$
$7(-7x-3)(-2x+5)$

✅ Afficher le corrigé écrit

$9x^2+9x$
$18x^2+3x-45$
$-10x^2-56x-30$
$30x^2+134x+144$
$-6x^2+42x-72$
$98x^2-203x-105$

Exercice 13 ★★★

Développer et réduire les expressions suivantes :

$2(x+1)(2x+1)$
$4(4-3x)(2-3x)$
$-3(x-1)(2x-1)$

✅ Afficher le corrigé écrit

$2(x+1)(2x+1)=2(2x^2+3x+1)=4x^2+6x+2$ .
$4(4-3x)(2-3x)=4(9x^2-18x+8)=36x^2-72x+32$ .
$-3(x-1)(2x-1)=-3(2x^2-3x+1)=-6x^2+9x-3$ .

Exercice 14 ★★★

Développer et réduire les expressions suivantes :

$4(x-1)(2x^2+2)$
$x(7x+2)(x-3)$
$(x+1)(x+2)(x-3)$
$(-x+1)(2x-2)(2x-1)$
$(2x+2)^3$

✅ Afficher le corrigé écrit

$4(x-1)(2x^2+2)=(4x-4)(2x^2+2)=8x^3+8x-8x^2-8=8x^3-8x^2+8x-8$
$x(7x+2)(x-3)=(7x^2+2x)(x-3)=7x^3-21x^2+2x^2-6x=7x^3-19x^2-6x$
$(x+1)(x+2)(x-3)=[(x+1)(x+2)](x-3)=(x^2+2x+x+2)(x-3)=(x^2+3x+2)(x-3)=$
$=x^3+3x^2+2x-3x^2-9x-6=x^3-7x-6$
$(-x+1)(2x-2)(2x-1)=[(-x+1)(2x-2)](2x-1)=(-2x^2+2x+2x-2)(2x-1)=(-2x^2+4x-2)(2x-1)$
$=-4x^3+2x^2+8x^2-4x-4x+2=-4x^3+10x^2-8x+2$
$(2x+2)^3=(2x+2)(2x+2)(2x+2)=(2x+2)^2(2x+2)=[4x^2+8x+4](2x+2)=8x^3+8x^2+16x^2+16x+8x+16=8x^3+24x^2+24x+16$

Exercice 15 ★★★★

Développer :

$A=(x^2-2x+4)(x+2)$
$B=(x^2-1)(x^2+1)$
$C=(x^2+x-1)(1+x)$
$D=(x+1)^3$
$E=(x+6)(2x-7)(1-3x)$

✅ Afficher le corrigé écrit

$A=(x^2-2x+4)(x+2)$ $\begin{aligned} (x^2-2x+4)(x+2) &=x^2(x+2)-2x(x+2)+4(x+2)\\ &=(x^3+2x^2)+(-2x^2-4x)+(4x+8)\\ &=x^3+\underbrace{(2x^2-2x^2)}_{0}+\underbrace{(-4x+4x)}_{0}+8\\ &=\boxed{x^3+8}. \end{aligned}$
$B=(x^2-1)(x^2+1)$ $\begin{aligned} (x^2-1)(x^2+1) &=x^2\cdot x^2+x^2\cdot 1-1\cdot x^2-1\cdot 1\\ &=x^4+\underbrace{x^2-x^2}_{0}-1=\boxed{x^4-1}. \end{aligned}$ (Ou : identité remarquable $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ avec $a=x^2$ , $b=1$ .)
$C=(x^2+x-1)(1+x)$ $\begin{aligned} (x^2+x-1)(1+x) &=(x^2+x-1)\cdot 1+(x^2+x-1)\cdot x\\ &=(x^2+x-1)+(x^3+x^2-x)\\ &=x^3+(x^2+x^2)+\underbrace{(x-x)}_{0}-1\\ &=\boxed{x^3+2x^2-1}. \end{aligned}$
$D=(x+1)^3$ $\begin{aligned} (x+1)^3&=(x+1)^2(x+1)=(x^2+2x+1)(x+1)\\ &=(x^2+2x+1)\cdot x+(x^2+2x+1)\cdot 1\\ &=(x^3+2x^2+x)+(x^2+2x+1)\\ &=x^3+3x^2+3x+1 =\boxed{x^3+3x^2+3x+1}. \end{aligned}$
$E=(x+6)(2x-7)(1-3x)$ $\begin{aligned} (2x-7)(1-3x) &=2x(1-3x)-7(1-3x)\\ &=(2x-6x^2)+(-7+21x)\\ &=-6x^2+23x-7.\\[4pt] (x+6)(-6x^2+23x-7) &=x(-6x^2+23x-7)+6(-6x^2+23x-7)\\ &=(-6x^3+23x^2-7x)+(-36x^2+138x-42)\\ &=-6x^3+(23-36)x^2+(-7+138)x-42\\ &=\boxed{-6x^3-13x^2+131x-42}. \end{aligned}$

Exercice 16 ★★★

Développer et réduire les expressions suivantes :

$-3(3x+2)(2x+1)$
$(2x+3)x(7x+5)$
$3(x+1)(6x+2)$
$4x(3x+1)x$
$-6(x^2+1)(2+x^2+x)$
$(3x-2)(-6)(2x-3)$
$4(7x-3)(-3)(-3x+5)$
$4(x+2)(-x-2)$
$6x(-2x-1)x$
$8x^2(5-x^2-x)x$

✅ Afficher le corrigé écrit

$(3x+2)(2x+1)=6x^2+7x+2$ , puis $\times(-3)$ : $\boxed{-18x^2-21x-6}$ .
$(2x+3)(7x+5)=14x^2+31x+15$ , puis $\times x$ : $\boxed{14x^3+31x^2+15x}$ .
$(x+1)(6x+2)=6x^2+8x+2$ , puis $\times 3$ : $\boxed{18x^2+24x+6}$ .
$4x(3x+1)x=4x^2(3x+1)=\boxed{12x^3+4x^2}$ .
$(x^2+1)(x^2+x+2)=x^4+x^3+3x^2+x+2$ , puis $\times(-6)$ : $\boxed{-6x^4-6x^3-18x^2-6x-12}$ .
$(3x-2)(2x-3)=6x^2-13x+6$ , puis $\times(-6)$ : $\boxed{-36x^2+78x-36}$ .
$(7x-3)(-3x+5)=-21x^2+44x-15$ , puis $\times(-12)$ : $\boxed{252x^2-528x+180}$ .
$(x+2)(-x-2)=-(x+2)^2=-(x^2+4x+4)$ , puis $\times4$ : $\boxed{-4x^2-16x-16}$ .
$6x(-2x-1)x=6x^2(-2x-1)=\boxed{-12x^3-6x^2}$ .
$8x^2(5-x^2-x)x=8x^3(5-x^2-x)=\boxed{-8x^5-8x^4+40x^3}$ .

Exercice 17 ★★★

Développer et réduire les expressions suivantes :

$(5-3x)(-3x-4) -3 (5x-2)(5-7x)+3$
$-(9x+1)(-x-4) – (2x-5)(3x+4)+5x-2$
$(3x-5)(-4x+1) – 2(-x-4)(2x+1)$
$7(7x+5)(3-2x)-10x+6 – (5-4x)(8x-6)$

✅ Afficher le corrigé écrit

Méthode. On développe chaque produit (distribution) puis on regroupe les termes semblables.

$\begin{aligned} (5-3x)(-3x-4)&=5(-3x-4)+(-3x)(-3x-4)\\ &=-15x-20+9x^2+12x\\ &=9x^2-3x-20,\\ -3(5x-2)(5-7x)&=-3\big(25x-35x^2-10+14x\big)\\ &=-3\big(-35x^2+39x-10\big)=105x^2-117x+30,\\ \Rightarrow\ &9x^2-3x-20+105x^2-117x+30+3\\ &=\boxed{114x^2-120x+13}. \end{aligned}$
$\begin{aligned} -(9x+1)(-x-4)&=-\big(-9x^2-37x-4\big)=9x^2+37x+4,\\ -(2x-5)(3x+4)&=-\big(6x^2-7x-20\big)=-6x^2+7x+20,\\ \Rightarrow\ &(9x^2+37x+4)+(-6x^2+7x+20)+5x-2\\ &=\boxed{3x^2+49x+22}. \end{aligned}$
$\begin{aligned} (3x-5)(-4x+1)&=3x(-4x+1)-5(-4x+1)\\ &=-12x^2+3x+20x-5=-12x^2+23x-5,\\ -2(-x-4)(2x+1)&=-2\big((-x)(2x)+(-x)\cdot1-4(2x)-4\cdot1\big)\\ &=-2(-2x^2-x-8x-4)=4x^2+18x+8,\\ \Rightarrow\ &(-12x^2+23x-5)+(4x^2+18x+8)\\ &=\boxed{-8x^2+41x+3}. \end{aligned}$
$\begin{aligned} (7x+5)(3-2x)&=7x\cdot3+7x(-2x)+5\cdot3+5(-2x)\\ &=-14x^2+11x+15,\\ 7(7x+5)(3-2x)&=-98x^2+77x+105,\\ (5-4x)(8x-6)&=5\cdot8x+5(-6)+(-4x)8x+(-4x)(-6)\\ &=-32x^2+64x-30,\\ \Rightarrow\ &\big(-98x^2+77x+105\big)-10x+6-\big(-32x^2+64x-30\big)\\ &=-98x^2+67x+111+32x^2-64x+30\\ &=\boxed{-66x^2+3x+141}. \end{aligned}$

Exercice 18 ★★★

Développer :

$A=(x^2-2x+4)(x+2)$
$B=(x^2-1)(x^2+1)$
$C=(x^2+x-1)(1+x)$
$D=(x+1)^3$
$E=(x+6)(2x-7)(1-3x)$

✅ Afficher le corrigé écrit

$A=(x^2-2x+4)(x+2)$ $\begin{aligned} (x^2-2x+4)(x+2) &=x^2(x+2)-2x(x+2)+4(x+2)\\ &=(x^3+2x^2)+(-2x^2-4x)+(4x+8)\\ &=x^3+\underbrace{(2x^2-2x^2)}_{0}+\underbrace{(-4x+4x)}_{0}+8\\ &=\boxed{x^3+8}. \end{aligned}$
$B=(x^2-1)(x^2+1)$ $\begin{aligned} (x^2-1)(x^2+1) &=x^2\cdot x^2+x^2\cdot1-1\cdot x^2-1\cdot1\\ &=x^4+\underbrace{x^2-x^2}_{0}-1 =\boxed{x^4-1}. \end{aligned}$ (Variante : $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ avec $a=x^2$ , $b=1$ .)
$C=(x^2+x-1)(1+x)$ $\begin{aligned} (x^2+x-1)(1+x) &=(x^2+x-1)\cdot1+(x^2+x-1)\cdot x\\ &=(x^2+x-1)+(x^3+x^2-x)\\ &=x^3+(x^2+x^2)+\underbrace{(x-x)}_{0}-1\\ &=\boxed{x^3+2x^2-1}. \end{aligned}$
$D=(x+1)^3$ $\begin{aligned} (x+1)^3&=(x+1)^2(x+1)=(x^2+2x+1)(x+1)\\ &=(x^2+2x+1)\cdot x+(x^2+2x+1)\cdot1\\ &=(x^3+2x^2+x)+(x^2+2x+1)\\ &=\boxed{x^3+3x^2+3x+1}. \end{aligned}$
$E=(x+6)(2x-7)(1-3x)$ $\begin{aligned} (2x-7)(1-3x) &=2x(1-3x)-7(1-3x)\\ &=(2x-6x^2)+(-7+21x)\\ &=-6x^2+23x-7,\\[4pt] (x+6)(-6x^2+23x-7) &=x(-6x^2+23x-7)+6(-6x^2+23x-7)\\ &=(-6x^3+23x^2-7x)+(-36x^2+138x-42)\\ &=-6x^3+(23-36)x^2+(-7+138)x-42\\ &=\boxed{-6x^3-13x^2+131x-42}. \end{aligned}$

18 exercices sélectionnés : correction vidéo et corrigé écrit disponibles.

Mathématiques avec Hans Amble

Mes cours , mes exercices et mes vidéos

Le développement algébrique