Mathématiques avec Hans Amble

Mes cours , mes exercices et mes vidéos

La valeur absolue

📏 La valeur absolue

Seconde — Cours, méthodes, exercices et corrigés

📘 Cours

Définition — La valeur absolue

On appelle valeur absolue d’un réel xx le nombre noté |x||x| tel que :

  • Si xx est positif ou nul alors |x|=x|x|=x (Aucun effet)

  • Si xx est négatif ou nul alors |x|=−x|x|=-x (Multiplication par −1-1)

Propriété — Propriétés

Pour tous nombres réels aa et bb

  • |a|≥0\left|a\right| \geq 0

  • |a|=|−a|\left|a\right| = \left|-a\right|

  • |a|2=a2{\left|a\right|}^2 = a^2

  • |a−b|=|b−a|\left|a-b\right| = \left|b-a\right|

  • |a×b|=|a|×|b|\left|a \times b\right| = \left|a\right| \times \left|b\right|

  • |a+b|≤|a|+|b|\left|a + b\right| \leq \left|a\right| + \left|b\right|

Propriété — Equations

Soit aa un réel. .

  • si a>0a>0 alors |x|=a\left|x\right|=a équivaut à x=−ax=-a ou x=ax=a

  • |x|=0\left|x\right|=0 équivaut à x=0x=0

  • si a<0a<0 alors |x|=a\left|x\right|=a est impossible dans ℝ\mathbb{R}

Définition — Distance entre deux nombres

On appelle distance entre deux réels aa et bb, le réel positif noté d(a;b)d(a;b) et valant |a−b|\left|a-b\right|.

Définition — Les intervalles

Soient réels aa et bb tels que a<ba<b .

Le nombre a+b2\dfrac{a+b}{2} est appelé centre ou milieu de l’intervalle [a;b][a;b].

Le nombre b−ab-a est appelé diamètre de l’intervalle [a;b][a;b].

Le nombre b−a2\dfrac{b-a}{2} est appelé rayon de l’intervalle [a;b][a;b].

Propriété — Les intervalles et la valeur absolue

Soit I=[a;b] l’intervalle fermé de centre cc et de rayon rr .

x∈I⇔a≤x≤b⇔|x−c|≤r⇔−r≤x−c≤rx \in I \Longleftrightarrow a \leq x \leq b \Longleftrightarrow \left|x-c\right|\leq r \Longleftrightarrow -r \leq x-c \leq r.

Vidéo de cours 1 Vidéo de cours 2

✏️ Exercices

Valeur absolue

Exercice 1 — Valeur absolue★

Ecrire sans les valeurs absolues et simplifier si possible.

  1. |3|\big|3\big|

  2. |−6|\big|-6\big|

  3. |11−6|\big|11-6\big|

  4. |0|\big|0\big|

  5. |1,2−4|\big|1,2-4\big|

  6. |−43|\big|-\dfrac{4}{3}\big|

  7. |3π|\big|3\pi\big|

  8. |2|\big|\sqrt{2}\big|

  9. |−7|\big|-\sqrt{7}\big|

  10. |13−45|\big|\dfrac{1}{3}-\dfrac{4}{5}\big|

  11. |313−29|\big|\dfrac{3}{13}-\dfrac{2}{9}\big|

  12. |13−15|\big|\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\big|

  13. |1+65|\big|1+\dfrac{6}{5}\big|

  14. |1−67|\big|1-\dfrac{6}{7}\big|

  15. |15−34|\big|\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{4}\big|

  16. |−5+4|\big|-5+4\big| 

Afficher le corrigé de l’exercice 1

  1. |3|=3|3|=3

  2. |−6|=6|-6|=6

  3. |11−6|=5|11-6|=5

  4. |0|=0|0|=0

  5. |1,2−4|=|−2,8|=2,8|1,2-4|=|-2,8|=2,8

  6. |−43|=43\Big|-\tfrac{4}{3}\Big|=\tfrac{4}{3}

  7. |3π|=3π|3\pi|=3\pi

  8. |2|=2|\sqrt{2}|=\sqrt{2}

  9. |−7|=7|-\sqrt{7}|=\sqrt{7}

  10. |13−45|=|−715|=715\Big|\tfrac{1}{3}-\tfrac{4}{5}\Big|=\Big|-\tfrac{7}{15}\Big|=\tfrac{7}{15}

  11. |313−29|=|27−26117|=1117\Big|\tfrac{3}{13}-\tfrac{2}{9}\Big|=\Big|\tfrac{27-26}{117}\Big|=\tfrac{1}{117}

  12. |13−15|=|215|=215\Big|\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5}\Big|=\Big|\tfrac{2}{15}\Big|=\tfrac{2}{15}

  13. |1+65|=115\Big|1+\tfrac{6}{5}\Big|=\tfrac{11}{5}

  14. |1−67|=17\Big|1-\tfrac{6}{7}\Big|=\tfrac{1}{7}

  15. |15−34|=|−1120|=1120\Big|\tfrac{1}{5}-\tfrac{3}{4}\Big|=\Big|-\tfrac{11}{20}\Big|=\tfrac{11}{20}

  16. |−5+4|=|−1|=1|-5+4|=|-1|=1

▶ YouTubeVignette de la correction vidéo

Exercice 2 — Valeur absolue★★

Ecrire sans les valeurs absolues et simplifier si possible.

  1. |−7|\big|-7\big|

  2. |6|\big|6\big|

  3. |17−6|\big|17-6\big|

  4. |0|\big|0\big|

  5. |1,2|\big|1,2\big|

  6. |−π|\big|-\pi\big|

  7. |1−π|\big|1-\pi\big|

  8. |2−1|\big|\sqrt{2}-1\big|

  9. |−5−1|\big|-\sqrt{5}-1\big|

  10. |π−9,1|\big|\pi-\sqrt{9,1}\big|

  11. |−8,7|\big|-8,7\big|

  12. |65|\big|\dfrac{6}{5}\big|

  13. |1−67|\big|1-\dfrac{6}{7}\big|

  14. |15−34|\big|\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{4}\big|

  15. |−5+4|\big|-5+4\big|

  16. |−π|\big|-\pi\big|

  17. |π2−π|\big|\pi^2-\pi\big|

  18. |2−3|\big|\sqrt{2}-\sqrt{3}\big|

  19. |5−3|\big|\sqrt{5}-\sqrt{3}\big|

  20. |−2−3|\big|-\sqrt{2}-\sqrt{3}\big|

Afficher le corrigé de l’exercice 2

  1. |−7|=7|-7|=7

  2. |6|=6|6|=6

  3. |17−6|=11|17-6|=11

  4. |0|=0|0|=0

  5. |1,2|=1,2|1,2|=1,2

  6. |−π|=π|-\pi|=\pi

  7. |1−π|=π−1|1-\pi|=\pi-1

  8. |2−1|=2−1|\sqrt{2}-1|=\sqrt{2}-1

  9. |−5−1|=5+1|-\sqrt{5}-1|=\sqrt{5}+1

  10. |π−9,1|=π−9,1|\pi-\sqrt{9,1}|=\pi-\sqrt{9,1} (car π>9,1\pi>\sqrt{9,1})

  11. |−8,7|=8,7|-8,7|=8,7

  12. |65|=65\Big|\tfrac{6}{5}\Big|=\tfrac{6}{5}

  13. |1−67|=17\Big|1-\tfrac{6}{7}\Big|=\tfrac{1}{7}

  14. |15−34|=1120\Big|\tfrac{1}{5}-\tfrac{3}{4}\Big|=\tfrac{11}{20}

  15. |−5+4|=1|-5+4|=1

  16. |−π|=π|-\pi|=\pi

  17. |π2−π|=π(π−1)|\pi^2-\pi|=\pi(\pi-1)

  18. |2−3|=3−2|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-\sqrt{2}

  19. |5−3|=5−3|\sqrt{5}-\sqrt{3}|=\sqrt{5}-\sqrt{3}

  20. |−2−3|=2+3|-\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{2}+\sqrt{3}

▶ YouTubeVignette de la correction vidéo

Exercice 3 — Valeur absolue★★

Ecrire sans les valeurs absolues et simplifier si possible.

  1. |−10|\big|-10\big|

  2. |16,54|\big|16,54\big|

  3. |6−5|\big|6-\sqrt{5}\big|

  4. |0,0001|\big|0,0001\big|

  5. |2−6|\big|2^{-6}\big|

  6. |6−2π|\big|6-2\pi\big|

  7. |−1−π|\big|-1-\pi\big|

  8. |7−3|\big|\sqrt{7}-3\big|

  9. |−22+2|\big|-2\sqrt{2}+2\big|

  10. |−π−9,9|\big|-\pi-\sqrt{9,9}\big|

  11. |65−1,3|\big|\dfrac{6}{5}-1,3\big|

  12. |7−3|\big|\dfrac{7}{-3}\big|

  13. |2−157|\big|2-\dfrac{15}{7}\big|

  14. |13−12|\big|\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\big|

  15. |−15+42|\big|-15+4^2\big|

  16. |−π|\big|-\sqrt{\pi}\big|

  17. |π3−π|\big|\pi^3-\pi\big|

  18. |11−12|\big|\sqrt{11}-\sqrt{12}\big|

  19. |50−200|\big|\sqrt{50}-\sqrt{200}\big|

  20. |−5+7|\big|-\sqrt{5}+\sqrt{7}\big|

Afficher le corrigé de l’exercice 3

  1. |−10|=10|-10|=10

  2. |16,54|=16,54|16,54|=16,54

  3. |6−5|=6−5|6-\sqrt{5}|=6-\sqrt{5}

  4. |0,0001|=0,0001|0,0001|=0,0001

  5. |2−6|=164|2^{-6}|=\tfrac{1}{64}

  6. |6−2π|=2π−6|6-2\pi|=2\pi-6 (car 2π>62\pi>6)

  7. |−1−π|=π+1|-1-\pi|=\pi+1

  8. |7−3|=3−7|\sqrt{7}-3|=3-\sqrt{7}

  9. |−22+2|=|2−22|=22−2|-2\sqrt{2}+2|=|2-2\sqrt{2}|=2\sqrt{2}-2

  10. |−π−9,9|=π+9,9|-\pi-\sqrt{9,9}|=\pi+\sqrt{9,9}

  11. |65−1,3|=|1,2−1,3|=0,1\Big|\tfrac{6}{5}-1,3\Big|=\Big|1,2-1,3\Big|=0,1

  12. |7−3|=73\Big|\tfrac{7}{-3}\Big|=\tfrac{7}{3}

  13. |2−157|=|14−157|=17\Big|2-\tfrac{15}{7}\Big|=\Big|\tfrac{14-15}{7}\Big|=\tfrac{1}{7}

  14. |13−12|=16\Big|\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{2}\Big|=\tfrac{1}{6}

  15. |−15+42|=|1|=1|-15+4^2|=|1|=1

  16. |−π|=π|-\sqrt{\pi}|=\sqrt{\pi}

  17. |π3−π|=π(π2−1)|\pi^3-\pi|=\pi(\pi^2-1)

  18. |11−12|=12−11|\sqrt{11}-\sqrt{12}|=\sqrt{12}-\sqrt{11}

  19. |50−200|=200−50=102−52=52|\sqrt{50}-\sqrt{200}|=\sqrt{200}-\sqrt{50}=10\sqrt{2}-5\sqrt{2}=5\sqrt{2}

  20. |−5+7|=7−5|-\sqrt{5}+\sqrt{7}|=\sqrt{7}-\sqrt{5}

Exercice 4 — Valeur absolue★

Dans chaque cas ,calculer la distance entre aa et bb.

  1. a=5a=5 , b=8b=8

  2. a=1a=1 , b=−7b=-7

  3. a=−8a=-8 , b=−25b=-25

  4. a=−5a=-5 , b=14b=14

Afficher le corrigé de l’exercice 4

Distance entre deux réels : d(a,b)=|a−b|d(a,b)=|a-b|.

  1. |5−8|=3|5-8|=3

  2. |1−(−7)|=|8|=8|1-(-7)|=|8|=8

  3. |−8−(−25)|=|−8+25|=|17|=17|-8-(-25)|=|-8+25|=|17|=17

  4. |−5−14|=|−19|=19|-5-14|=|-19|=19

▶ YouTubeVignette de la correction vidéo

Exercice 5 — Valeur absolue★★★

Résoudre les équations suivantes.

  1. |x|=4\left | x \right |= 4

  2. |x−1|=−2\left | x-1 \right |= -2

  3. |x+27|=17\left | x+\dfrac{2}{7} \right |=\dfrac{1}{7}

  4. |x−8|=0\left | x-8 \right | =0

  5. |x+3|=1\left | x+\sqrt{3} \right |= 1

  6. |x−29|=13\left | x-\dfrac{2}{9} \right |=\dfrac{1}{3}

Afficher le corrigé de l’exercice 5

  1. |x|=4⇔x=4oux=−4.|x|=4 \ \Longleftrightarrow\ x=4 \ \text{ou}\ x=-4. S={−4,4}S=\{-4,\,4\}

  2. |x−1|=−2|x-1|=-2 (impossible car |⋅|≥0|\,\cdot\,|\ge 0). S=⌀S=\varnothing

  3. |x+27|=17⇔x+27=17oux+27=−17⇔x=−17oux=−37.\left|x+\tfrac{2}{7}\right|=\tfrac{1}{7} \ \Longleftrightarrow\ x+\tfrac{2}{7}=\tfrac{1}{7} \ \text{ou}\ x+\tfrac{2}{7}=-\tfrac{1}{7} \ \Longleftrightarrow\ x=-\tfrac{1}{7} \ \text{ou}\ x=-\tfrac{3}{7}. S={−37,−17}S=\left\{-\tfrac{3}{7},\, -\tfrac{1}{7}\right\}

  4. |x−8|=0⇔x=8.|x-8|=0 \ \Longleftrightarrow\ x=8. S={8}S=\{8\}

  5. |x+3|=1⇔x+3=1oux+3=−1⇔x=1−3oux=−1−3.|x+\sqrt{3}|=1 \ \Longleftrightarrow\ x+\sqrt{3}=1 \ \text{ou}\ x+\sqrt{3}=-1 \ \Longleftrightarrow\ x=1-\sqrt{3} \ \text{ou}\ x=-1-\sqrt{3}. S={−1−3,1−3}S=\{-1-\sqrt{3},\,1-\sqrt{3}\}

  6. |x−29|=13⇔x−29=13oux−29=−13⇔x=59oux=−19.\left|x-\tfrac{2}{9}\right|=\tfrac{1}{3} \ \Longleftrightarrow\ x-\tfrac{2}{9}=\tfrac{1}{3} \ \text{ou}\ x-\tfrac{2}{9}=-\tfrac{1}{3} \ \Longleftrightarrow\ x=\tfrac{5}{9} \ \text{ou}\ x=-\tfrac{1}{9}. S={−19,59}S=\left\{-\tfrac{1}{9},\,\tfrac{5}{9}\right\}

▶ YouTubeVignette de la correction vidéo

Valeur absolue et intervalles

Exercice 6 — Valeur absolue★★

Traduire en utilisant une distance et ensuite une valeur absolue.

  1. 3≤x≤113\leq x \leq 11

  2. 0<x<50< x< 5

  3. −5≤x≤7-5\leq x \leq 7

  4. 12<x<72\dfrac{1}{2}< x< \dfrac{7}{2}

  5. −2≤x≤2-2\leq x \leq \sqrt{2}

  6. −3<x<13-3< x< \dfrac{1}{3}

Afficher le corrigé de l’exercice 6

Traduire en distance puis en valeur absolue.

  1. 3≤x≤113\le x\le 11 ⇔\Longleftrightarrow dist(x,7)≤4\text{dist}(x,7)\le 4 ⇔\Longleftrightarrow |x−7|≤4|x-7|\le 4

  2. 0<x<50< x< 5 ⇔\Longleftrightarrow dist(x,2,5)<2,5\text{dist}(x,2{,}5)< 2{,}5 ⇔\Longleftrightarrow |x−2,5|<2,5\big|x-2{,}5\big|<2{,}5

  3. −5≤x≤7-5\le x\le 7 ⇔\Longleftrightarrow dist(x,1)≤6\text{dist}(x,1)\le 6 ⇔\Longleftrightarrow |x−1|≤6|x-1|\le 6

  4. 12<x<72\tfrac{1}{2}< x< \tfrac{7}{2} ⇔\Longleftrightarrow dist(x,2)<32\text{dist}\!\left(x,2\right)< \tfrac{3}{2} ⇔\Longleftrightarrow |x−2|<32\left|x-2\right|<\tfrac{3}{2}

  5. −2≤x≤2-2\le x\le \sqrt{2} ⇔\Longleftrightarrow dist(x,−2+22)≤2+22\text{dist}\!\left(x,\tfrac{-2+\sqrt{2}}{2}\right)\le \tfrac{2+\sqrt{2}}{2} ⇔\Longleftrightarrow |x−−2+22|≤2+22\left|x-\tfrac{-2+\sqrt{2}}{2}\right|\le \tfrac{2+\sqrt{2}}{2}

  6. −3<x<13-3< x< \tfrac{1}{3} ⇔\Longleftrightarrow dist(x,−43)<106\text{dist}\!\left(x,-\tfrac{4}{3}\right)< \tfrac{10}{6} ⇔\Longleftrightarrow |x+43|<53\left|x+\tfrac{4}{3}\right|<\tfrac{5}{3}

▶ YouTubeVignette de la correction vidéo

Exercice 7 — Valeur absolue★★★

Caractériser à l’aide d’intervalles l’ensemble des réels xx satisfaisant à la condition indiquée :

  1. |x−23|<23\left|x-\dfrac{2}{3}\right|<\dfrac{2}{3}

  2. |x+32|≤1\left|x+\dfrac{3}{2}\right|\leqslant 1

  3. |x−2|>1\left|x-2\right|>1

  4. |x|<3\left|x\right|<3

  5. |x+7|≥1\left|x+7\right|\geq 1

  6. |3−x|≤4\left|3-x\right|\leq 4

Afficher le corrigé de l’exercice 7

Caractériser par un intervalle.

  1. |x−23|<23\left|x-\tfrac{2}{3}\right|<\tfrac{2}{3}  ⇔\Longleftrightarrow  −23<x−23<23-\tfrac{2}{3}<x-\tfrac{2}{3}<\tfrac{2}{3}  ⇔\Longleftrightarrow  0<x<430<x<\tfrac{4}{3} ⇔x∈]0;43[\Longleftrightarrow x \in ]0;\tfrac{4}{3}[

  2. |x+32|≤1\left|x+\tfrac{3}{2}\right|\le 1  ⇔\Longleftrightarrow  −1≤x+32≤1-1\le x+\tfrac{3}{2}\le 1  ⇔\Longleftrightarrow  −52≤x≤−12-\tfrac{5}{2}\le x\le -\tfrac{1}{2} ⇔x∈[−52;−12]\Longleftrightarrow x \in [-\tfrac{5}{2};-\tfrac{1}{2}]

  3. |x−2|>1|x-2|>1  ⇔\Longleftrightarrow  x<1x<1  ou  x>3x>3 ⇔x∈]−∞;1[∪]3;+∞[\Longleftrightarrow x \in ]-\infty;1[\ \cup\ ]3;+\infty[

  4. |x|<3|x|<3  ⇔\Longleftrightarrow  −3<x<3-3<x<3 ⇔x∈]−3;3[\Longleftrightarrow x \in ]-3;3[

  5. |x+7|≥1|x+7|\ge 1  ⇔\Longleftrightarrow  x≤−8x\le -8  ou  x≥−6x\ge -6 ⇔x∈]−∞;−8]∪[−6;+∞[\Longleftrightarrow x \in ]-\infty;-8]\ \cup\ [-6;+\infty[

  6. |3−x|≤4|3-x|\le 4  ⇔\Longleftrightarrow  −4≤3−x≤4-4\le 3-x\le 4  ⇔\Longleftrightarrow  −1≤x≤7-1\le x\le 7 ⇔x∈[−1;7]\Longleftrightarrow x \in [-1;7]

▶ YouTubeVignette de la correction vidéo

Exercice 8 — Valeur absolue★★

Résoudre dans ℝ\mathbb{R} :

  1. |x+3|≤12\left | x+3 \right |\leqslant \dfrac{1}{2}

  2. |x−23|≤1\left | x-\dfrac{2}{3} \right | \leqslant 1

  3. |x+3|≥2\left | x+3 \right |\geqslant 2

  4. |x+15|<7\left | x+\dfrac{1}{5} \right | < 7

Afficher le corrigé de l’exercice 8

  1. |x+3|≤12\left|x+3\right|\leqslant \dfrac12

    |x−(−3)|≤12\left|x-(-3)\right|\leqslant \dfrac12 (distance à −3-3)
    Centre c=−3c=-3, rayon r=12r=\dfrac12.
    Encadrement : −3−12≤x≤−3+12-3-\dfrac12 \leqslant x \leqslant -3+\dfrac12.
    Intervalle : [−72;−52]\left[-\dfrac72\;;\;-\dfrac52\right].

  2. |x−23|≤1\left|x-\dfrac23\right|\leqslant 1

    |x−23|≤1\left|x-\dfrac23\right|\leqslant 1 (distance à 23\dfrac23)
    Centre c=23c=\dfrac23, rayon r=1r=1.
    Encadrement : 23−1≤x≤23+1\dfrac23-1 \leqslant x \leqslant \dfrac23+1.
    Intervalle : [−13;53]\left[-\dfrac13\;;\;\dfrac53\right].

  3. |x+3|≥2\left|x+3\right|\geqslant 2

    |x−(−3)|≥2\left|x-(-3)\right|\geqslant 2 (distance à −3-3)
    Centre c=−3c=-3, rayon r=2r=2.
    Encadrement (hors du disque de rayon 22) : x≤−3−2x\leqslant -3-2 ou x≥−3+2x\geqslant -3+2.
    Ensemble-solution : ]−∞;−5]∪[−1;+∞[\;]-\infty\;;\;-5]\ \cup\ [-1\;;\;+\infty[\,.

  4. |x+15|<7\left|x+\dfrac15\right|< 7

    |x−(−15)|<7\left|x-(-\dfrac15)\right|< 7 (distance à −15-\dfrac15)
    Centre c=−15c=-\dfrac15, rayon r=7r=7.
    Encadrement : −15−7<x<−15+7-\dfrac15-7 < x < -\dfrac15+7.
    Intervalle : ]−365;345[\,]-\dfrac{36}{5}\;;\;\dfrac{34}{5}[\,.

▶ YouTubeVignette de la correction vidéo

Exercice 9 — Valeur absolue★★

Représenter sur une droite graduée l’ensemble auquel appartient le nombre réel xx puis écrire cet ensemble à l’aide d’intervalles

  1. |x|<5\left | x \right|< 5

  2. |x|>6\left | x \right|> 6

  3. |x|≥3\left | x \right|\geq 3

  4. |x|≤1\left | x \right|\leq 1

  5. |3x|<1\left | 3x \right|<1

  6. |−4x|>8\left | -4x \right|> 8

  7. |13x|≥5\left | \dfrac{1}{3}x \right|\geq 5

  8. |74x|≤53\left | \dfrac{7}{4}x \right|\leq \dfrac{5}{3}

Afficher le corrigé de l’exercice 9

Représentation et écriture en intervalle.

  1. |x|<5|x|<5  ⇔x∈]−5;5[\Longleftrightarrow x \in ]-5;5[

  2. |x|>6|x|>6 ⇔x∈]−∞;−6[∪]6;+∞[\Longleftrightarrow x \in ]-\infty;-6[\ \cup\ ]6;+\infty[

  3. |x|≥3|x|\ge 3 ⇔x∈]−∞;−3]∪[3;+∞[\Longleftrightarrow x \in ]-\infty;-3]\ \cup\ [3;+\infty[

  4. |x|≤1|x|\le 1  ℝightarrow\mathbb{R}ightarrow  [−1;1][-1;1]

  5. |3x|<1|3x|<1  ⇔\Leftrightarrow  |x|<13|x|<\tfrac{1}{3} ⇔x∈]−13;13[\Longleftrightarrow x \in ]-\tfrac{1}{3};\tfrac{1}{3}[

  6. |−4x|>8|-4x|>8  ⇔\Leftrightarrow  |x|>2|x|>2  ⇔x∈]−∞;−2[∪]2;+∞[\Longleftrightarrow x \in ]-\infty;-2[\ \cup\ ]2;+\infty[

  7. |13x|≥5\left|\tfrac{1}{3}x\right|\ge 5  ⇔\Leftrightarrow  |x|≥15|x|\ge 15  ⇔x∈]−∞;−15]∪[15;+∞[\Longleftrightarrow x \in ]-\infty;-15]\ \cup\ [15;+\infty[

  8. |74x|≤53\left|\tfrac{7}{4}x\right|\le \tfrac{5}{3}  ⇔\Leftrightarrow  |x|≤2021|x|\le \tfrac{20}{21} ⇔x∈[−2021;2021]\Longleftrightarrow x \in \left[-\tfrac{20}{21};\tfrac{20}{21}\right]

Egalité de deux valeurs absolues

Exercice 10 — Valeur absolue★★

Résoudre dans ℝ\mathbb{R} :

  1. |x−2|=|x−8|\left | x-2 \right |= \left | x-8 \right|

  2. |x+2|=|x−4|\left | x+2 \right | =\left | x-4 \right|

  3. |x−1|=|x−7|\left | x-1 \right |= \left | x-7 \right|

  4. |x+3|=|x+2|\left | x+3 \right | =\left | x+2 \right|

Afficher le corrigé de l’exercice 10

  1. |x−2|=|x−8|⇔x|x-2|=|x-8| \ \Longleftrightarrow\ x est à égale distance de 22 et 88  ⇔x=2+82=5.\Longleftrightarrow\ x=\dfrac{2+8}{2}=5. S={5}S=\{5\}

  2. |x+2|=|x−4|⇔x|x+2|=|x-4| \ \Longleftrightarrow\ x est à égale distance de −2-2 et 44  ⇔x=−2+42=1.\Longleftrightarrow\ x=\dfrac{-2+4}{2}=1. S={1}S=\{1\}

  3. |x−1|=|x−7|⇔x|x-1|=|x-7| \ \Longleftrightarrow\ x est à égale distance de 11 et 77  ⇔x=1+72=4.\Longleftrightarrow\ x=\dfrac{1+7}{2}=4. S={4}S=\{4\}

  4. |x+3|=|x+2|⇔x|x+3|=|x+2| \ \Longleftrightarrow\ x est à égale distance de −3-3 et −2-2  ⇔x=−3+(−2)2=−52.\Longleftrightarrow\ x=\dfrac{-3+(-2)}{2}=-\dfrac{5}{2}. S={−52}S=\left\{-\dfrac{5}{2}\right\}

▶ YouTubeVignette de la correction vidéo

Exercice 11 — Valeur absolue★★★★

Résoudre dans ℝ\mathbb{R} :

  1. |x−1|≤|x−4|\left | x-1 \right |\leq \left | x-4 \right |

  2. |x−5|>|x+1|\left | x-5 \right |>\left | x+1 \right |

  3. |x|≥|x+4|\left | x\right |\geq \left | x+4 \right |

  4. |x−1|<|x+1|\left | x-1 \right |<\left | x+1 \right |

Afficher le corrigé de l’exercice 11

  1. |x−1|≤|x−4|⇔x|x-1|\le |x-4| \ \Longleftrightarrow\ x est plus proche de 11 que de 44 (ou à égale distance). m=1+42=52.m=\dfrac{1+4}{2}=\dfrac{5}{2}. S=]−∞;52]S=\,]-\infty;\dfrac{5}{2}]

  2. |x−5|>|x+1|⇔x|x-5|>|x+1| \ \Longleftrightarrow\ x est plus proche de −1-1 que de 55 (strict). m=5+(−1)2=2.m=\dfrac{5+(-1)}{2}=2. S=]−∞;2[S=\,]-\infty;2[

  3. |x|≥|x+4|⇔x|x|\ge |x+4| \ \Longleftrightarrow\ x est au moins aussi proche de −4-4 que de 00. m=0+(−4)2=−2.m=\dfrac{0+(-4)}{2}=-2. S=]−∞;−2]S=\,]-\infty;-2]

  4. |x−1|<|x+1|⇔x|x-1|<|x+1| \ \Longleftrightarrow\ x est plus proche de 11 que de −1-1 (strict). m=1+(−1)2=0.m=\dfrac{1+(-1)}{2}=0. S=]0;+∞[S=\,]0;+\infty[

▶ YouTubeVignette de la correction vidéo

Dans le plan

Exercice 12 — Valeur absolue★★★

On se place dans un repère orthonormal.

Dans chaque cas, représenter l’ensemble des points MM de coordonnées (x;y)(x;y) tels que

  1. {|x|≤2|y|≤3\displaystyle\left\lbrace \begin{array}{l} \left| x \right|\leq 2 \\ \left| y \right|\leq 3 \end{array}\right.

  2. {|x|<2|y|≥3\displaystyle\left\lbrace \begin{array}{l} \left| x \right|< 2 \\ \left| y \right|\geq 3 \end{array}\right.

  3. {|x−2|≤2|y+2|≤1\displaystyle\left\lbrace \begin{array}{l} \left| x-2 \right|\leq 2 \\ \left| y+2 \right|\leq 1 \end{array}\right.

  4. {|x−1|<2|y+2|≥1\displaystyle\left\lbrace \begin{array}{l} \left| x-1 \right|< 2 \\ \left| y+2 \right|\geq 1 \end{array}\right.

  5. {|x+3|≥1|y−1|≤1\displaystyle\left\lbrace \begin{array}{l} \left| x+3 \right|\geq 1 \\ \left| y-1 \right|\leq 1 \end{array}\right.

Afficher le corrigé de l’exercice 12

Représentation géométrique (décrire et écrire en produit d’intervalles).

  1. |x|≤2,|y|≤3\;|x|\le 2,\ |y|\le 3 ⇔\Longleftrightarrow x∈[−2;2]x\in[-2;2] et y∈[−3;3]y\in[-3;3]
    Rectangle centré en (0,0)(0,0), largeur 44, hauteur 66.
    Ensemble =[−2;2]×[−3;3]=\;[-2;2]\times[-3;3].

  2. |x|<2,|y|≥3\;|x|<2,\ |y|\ge 3 ⇔\Longleftrightarrow x∈]−2;2[x\in\,]-2;2[ et y∈]−∞;−3]∪[3;+∞[y\in\,]-\infty;-3]\ \cup\ [3;+\infty[
    Bande verticale ouverte en xx et deux demi-bandes horizontales extérieures.
    Ensemble =]−2;2[×(]−∞;−3]∪[3;+∞[)=\;]-2;2[\ \times\ \big(]-\infty;-3]\ \cup\ [3;+\infty[\big).

  3. |x−2|≤2,|y+2|≤1\;|x-2|\le 2,\ |y+2|\le 1 ⇔\Longleftrightarrow x∈[0;4]x\in[0;4] et y∈[−3;−1]y\in[-3;-1]
    Rectangle centré en (2,−2)(2,-2), largeur 44, hauteur 22.
    Ensemble =[0;4]×[−3;−1]=\;[0;4]\times[-3;-1].

  4. |x−1|<2,|y+2|≥1\;|x-1|<2,\ |y+2|\ge 1 ⇔\Longleftrightarrow x∈]−1;3[x\in\,]-1;3[ et y∈]−∞;−3]∪[−1;+∞[y\in\,]-\infty;-3]\ \cup\ [-1;+\infty[
    Bande verticale ouverte en xx et deux demi-plans horizontaux (hors la bande −3<y<−1-3<y<-1).
    Ensemble =]−1;3[×(]−∞;−3]∪[−1;+∞[)=\;]-1;3[\ \times\ \big(]-\infty;-3]\ \cup\ [-1;+\infty[\big).

  5. |x+3|≥1,|y−1|≤1\;|x+3|\ge 1,\ |y-1|\le 1 ⇔\Longleftrightarrow x≤−4oux≥−2x\le -4\ \text{ou}\ x\ge -2 et y∈[0;2]y\in[0;2]
    Deux bandes verticales (à gauche et à droite) coupées par la bande horizontale y∈[0,2]y\in[0,2].
    Ensemble =(]−∞;−4]∪[−2;+∞[)×[0;2]=\;\big(]-\infty;-4]\ \cup\ [-2;+\infty[\big)\ \times\ [0;2].

▶ YouTubeVignette de la correction vidéo

Exercices du livre sur les valeurs absolues

Exercice 13 — Hyperbole n°67 p29★

Dans chaque cas, calculer la distance entre les nombres réels.

  1. −5-5 et 1010

  2. −22-2\sqrt{2} et 12\sqrt{12}

  3. −π-\pi et 4π4\pi

Afficher le corrigé de l’exercice 13

Distance entre deux réels : d(a,b)=|a−b|d(a,b)=|a-b|.

  1. d(−5,10)=|−5−10|=15d(-5,\,10)=|-5-10|=15

  2. d(−22,12)=|−22−12|=|−22−23|=2(2+3)d(-2\sqrt{2},\,\sqrt{12})=\big|-2\sqrt{2}-\sqrt{12}\big|=\big|-2\sqrt{2}-2\sqrt{3}\big|=2(\sqrt{2}+\sqrt{3})

  3. d(−π,4π)=|−π−4π|=5πd(-\pi,\,4\pi)=|-\pi-4\pi|=5\pi

Exercice 14 — Hyperbole n°68 p29★

xx désigne un nombre réel. Dans chaque cas, interpréter en termes de distance entre nombres réels.

  1. |x−3||x – 3|

  2. |x+6||x + 6|

  3. |7−x||7 – x|

  4. |9−x||9 – x|

Afficher le corrigé de l’exercice 14

Hyperbole n°68 p29 — Interpréter en distance

  1. |x−3|=dist(x,3)|x-3|=\mathrm{dist}(x,3)

  2. |x+6|=dist(x,−6)|x+6|=\mathrm{dist}(x,-6)

  3. |7−x|=dist(x,7)|7-x|=\mathrm{dist}(x,7)

  4. |9−x|=dist(x,9)|9-x|=\mathrm{dist}(x,9)

Exercice 15 — Hyperbole n°69 p29★

Sur une droite graduée, AA, BB, CC et DD sont les points d’abscisses respectives −14-14, −7-7, 11 et 13\dfrac{1}{3}.
Calculer les distances ABAB, BDBD, BCBC et CDCD.

Afficher le corrigé de l’exercice 15

Hyperbole n°69 p29 — Distances sur la droite A(−14),B(−7),C(1),D(13)A(-14), B(-7), C(1), D\!\left(\tfrac{1}{3}\right) AB=|−14−(−7)|=7,BD=|−7−13|=223,BC=|−7−1|=8,CD=|1−13|=23.AB=|-14-(-7)|=7, BD=\left|-7-\tfrac{1}{3}\right|=\tfrac{22}{3}, BC=|-7-1|=8, CD=\left|1-\tfrac{1}{3}\right|=\tfrac{2}{3}.

Exercice 16 — Hyperbole n°70 p29★★

Dans chaque cas, écrire sans la notation valeur absolue.

  1. |2+π||2 + \pi|

  2. |1−3||1 – \sqrt{3}|

  3. |π−4||\pi – 4|

Afficher le corrigé de l’exercice 16

Hyperbole n°70 p29 — Écrire sans valeur absolue

  1. |2+π|=2+π|2+\pi|=2+\pi

  2. |1−3|=3−1|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1 (car 1<31<\sqrt{3})

  3. |π−4|=4−π|\pi-4|=4-\pi (car π<4\pi<4)

Exercice 17 — Hyperbole n°71 p29★★

Dans chaque cas, représenter sur une droite graduée les points MM d’abscisse xx vérifiant l’inégalité.

  1. |x|≥3|x| \geqslant 3

  2. |x−1|<0,5|x – 1| < 0{,}5

  3. |x+4|≤2|x + 4| \leqslant 2

  4. |x−2|≥1|x – 2| \geqslant 1

Afficher le corrigé de l’exercice 17

Hyperbole n°71 p29 — Représenter et écrire en intervalle

  1. |x|≥3ℝightarrow]−∞;−3]∪[3;+∞[|x|\ge 3 \ \mathbb{R}ightarrow\ ]-\infty;-3]\ \cup\ [3;+\infty[

  2. |x−1|<12ℝightarrow]12;32[|x-1|<\tfrac{1}{2} \ \mathbb{R}ightarrow\ ]\tfrac{1}{2};\tfrac{3}{2}[

  3. |x+4|≤2ℝightarrow[−6;−2]|x+4|\le 2 \ \mathbb{R}ightarrow\ [-6;-2]

  4. |x−2|≥1ℝightarrow]−∞;1]∪[3;+∞[|x-2|\ge 1 \ \mathbb{R}ightarrow\ ]-\infty;1]\ \cup\ [3;+\infty[

Exercice 18 — Hyperbole n°72 p29★★

Représenter sur une droite graduée l’ensemble auquel appartient le nombre réel xx puis écrire cet ensemble à l’aide d’intervalles si possible.

  1. |x−3|=4,5|x – 3| = 4{,}5

  2. |x−5|≤4|x – 5| \leqslant 4

  3. |x+1|<3|x + 1| < 3

  4. |x−6|≥2|x – 6| \geqslant 2

Afficher le corrigé de l’exercice 18

Hyperbole n°72 p29 — Représenter puis écrire en intervalle

  1. |x−3|=4,5ℝightarrowx=3±4,5ℝightarrowS={−32;152}|x-3|=4{,}5 \ \mathbb{R}ightarrow\ x=3\pm 4{,}5 \ \mathbb{R}ightarrow\ S=\left\{-\tfrac{3}{2};\ \tfrac{15}{2}\right\}

  2. |x−5|≤4ℝightarrow[1;9]|x-5|\le 4 \ \mathbb{R}ightarrow\ [1;9]

  3. |x+1|<3ℝightarrow]−4;2[|x+1|<3 \ \mathbb{R}ightarrow\ ]-4;2[

  4. |x−6|≥2ℝightarrow]−∞;4]∪[8;+∞[|x-6|\ge 2 \ \mathbb{R}ightarrow\ ]-\infty;4]\ \cup\ [8;+\infty[

Exercice 19 — Hyperbole n°73 p29★★

  1. |x+2|≤2,5|x + 2| \leqslant 2{,}5

  2. |x−3|=9|x – 3|=9

  3. |x−4,2|<1,2|x-4,2| < 1,2

  4. |x−2|>2|x-\sqrt{2}| > \sqrt{2}

Afficher le corrigé de l’exercice 19

Hyperbole n°73 p29 — Écrire l’ensemble-solution

  1. |x+2|≤2,5ℝightarrow[−4,5;0,5]=[−92;12]|x+2|\le 2{,}5 \ \mathbb{R}ightarrow\ [-4{,}5;\ 0{,}5]=\left[-\tfrac{9}{2};\ \tfrac{1}{2}\right]

  2. |x−3|=9ℝightarrowS={−6;12}|x-3|=9 \ \mathbb{R}ightarrow\ S=\{-6;\ 12\}

  3. |x−4,2|<1,2ℝightarrow]3;5,4[|x-4{,}2|<1{,}2 \ \mathbb{R}ightarrow\ ]3;\ 5{,}4[

  4. |x−2|>2ℝightarrow]−∞;0[∪]22;+∞[|x-\sqrt{2}|>\sqrt{2} \ \mathbb{R}ightarrow\ ]-\infty;0[\ \cup\ ]2\sqrt{2};+\infty[

Exercice 20 — Hyperbole n°74 p29★★

  1. |x|≤1|x| \leqslant 1

  2. |x|=5|x| = 5

  3. |x+25|≥34\left|x + \dfrac{2}{5}\right| \geqslant \dfrac{3}{4}

  4. |x−π|≤3π|x – \pi| \leqslant 3\pi

Afficher le corrigé de l’exercice 20

Hyperbole n°74 p29 — Écrire l’ensemble en intervalle

  1. |x|≤1ℝightarrow[−1;1]|x|\le 1 \ \mathbb{R}ightarrow\ [-1;1]

  2. |x|=5ℝightarrowS={−5;5}|x|=5 \ \mathbb{R}ightarrow\ S=\{-5;\ 5\}

  3. |x+25|≥34ℝightarrow]−∞;−2320]∪[720;+∞[\left|x+\tfrac{2}{5}\right|\ge \tfrac{3}{4} \ \mathbb{R}ightarrow\ ]-\infty;-\tfrac{23}{20}]\ \cup\ [\tfrac{7}{20};+\infty[

  4. |x−π|≤3πℝightarrow[−2π;4π]|x-\pi|\le 3\pi \ \mathbb{R}ightarrow\ [-2\pi;\ 4\pi]

Exercice 21 — Hyperbole n°75 p29★★

Recopier et compléter.

  1. x∈]−2;4[x \in ]-2\,;\,4[ signifie que |x−…|<…|x -\dots|< \dots

  2. x∈[…;…]x \in \left[\dots\,;\,\dots\right] signifie que |x−2|≤4|x -2| \leqslant 4

  3. x∈[−5;1]x \in [-5\,;\,1] signifie que |x+…|≤…|x+\dots| \leqslant \dots

  4. x∈]…;…[x \in \left]\dots\,;\,\dots\right[ signifie que |x+3|<6|x+3|<6

  5. x∈]−∞;0,5[∪]2;+∞[x \in \left]-\infty\,;\,0{,}5\right[ \cup \left]2\,;\,+\infty\right[ signifie que |x…|>…|x \dots | > \dots

  6. x∈]−∞;3]∪[…;+∞[x \in \left]-\infty\,;\,3\right] \cup \left[ \dots\,;\,+\infty\right[ signifie que |x…|≥…|x \dots | \geqslant \dots

Afficher le corrigé de l’exercice 21

Hyperbole n°75 p29 — Compléter

  1. x∈]−2;4[⇔|x−1|<3x\in]-2;4[ \ \Longleftrightarrow\ |x-1|<3

  2. x∈[−2;6]⇔|x−2|≤4x\in\left[-2;\ 6\right] \ \Longleftrightarrow\ |x-2|\le 4

  3. x∈[−5;1]⇔|x+2|≤3x\in[-5;1] \ \Longleftrightarrow\ |x+2|\le 3

  4. x∈]−9;3[⇔|x+3|<6x\in\left]-9;\ 3\right[ \ \Longleftrightarrow\ |x+3|<6

  5. x∈]−∞;12[∪]2;+∞[⇔|x−54|>34x\in\left]-\infty;\ \tfrac{1}{2}\right[\ \cup\ \left]2;\ +\infty\right[ \ \Longleftrightarrow\ \left|x-\tfrac{5}{4}\right|>\tfrac{3}{4}

  6. x∈]−∞;3]∪[7;+∞[⇔|x−5|≥2x\in\left]-\infty;\ 3\right]\ \cup\ \left[7;\ +\infty\right[ \ \Longleftrightarrow\ |x-5|\ge 2

Exercice 22 — Hyperbole n°76 p29★★

xx désigne un nombre réel.
Dans chaque cas, utiliser la notation valeur absolue pour traduire l’appartenance de xx à l’ensemble.

  1. x∈[−1;7]x \in [-1\,;\,7]

  2. x∈]−∞;−3]∪[1;+∞[x \in \left]-\infty\,;\,-3\right] \cup \left[ 1;\,+\infty\right[

  3. x∈]−10;+11[x \in \left]-10\,;\,+11\right[

  4. x∈]−∞;−10]∪[−3;+∞[x \in \left]-\infty\,;\,-10\right] \cup \left[ -3;\,+\infty\right[

Afficher le corrigé de l’exercice 22

Hyperbole n°76 p29 — Traduire avec une valeur absolue

  1. x∈[−1;7]⇔|x−3|≤4x\in[-1;7] \ \Longleftrightarrow\ |x-3|\le 4

  2. x∈]−∞;−3]∪[1;+∞[⇔|x+1|≥2x\in]-\infty;-3]\ \cup\ [1;+\infty[ \ \Longleftrightarrow\ |x+1|\ge 2

  3. x∈]−10;+11[⇔|x−12|<212x\in]-10;+11[ \ \Longleftrightarrow\ \left|x-\tfrac{1}{2}\right|<\tfrac{21}{2}

  4. x∈]−∞;−10]∪[−3;+∞[⇔|x+132|≥72x\in]-\infty;-10]\ \cup\ [-3;+\infty[ \ \Longleftrightarrow\ \left|x+\tfrac{13}{2}\right|\ge \tfrac{7}{2}

Exercice 23 — Valeur absolue★★★

Résoudre les équations suivantes.

  1. |−x−23|=15\left |- x-\dfrac{2}{3} \right |= \dfrac{1}{5}

  2. |3x−9|=2\left | 3x-9 \right |= 2

  3. |4−x|=5\left |4-x \right |=5

  4. |8−2x|=5\left | 8-2x \right | =\sqrt{5}

  5. 3|−3x+1|=23\left | -3x+1 \right |=2

  6. |x2−1|=8\left | x^2-1 \right | =8

Afficher le corrigé de l’exercice 23

  1. |−x−23|=15⇔−x−23=15ou−x−23=−15⇔x=−1315oux=−715.\left|-x-\tfrac{2}{3}\right|=\tfrac{1}{5} \ \Longleftrightarrow\ -x-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{5} \ \text{ou}\ -x-\tfrac{2}{3}=-\tfrac{1}{5} \ \Longleftrightarrow\ x=-\tfrac{13}{15} \ \text{ou}\ x=-\tfrac{7}{15}. S={−1315,−715}S=\left\{-\tfrac{13}{15},\,-\tfrac{7}{15}\right\}

  2. |3x−9|=2⇔3x−9=2ou3x−9=−2⇔x=113oux=73.|3x-9|=2 \ \Longleftrightarrow\ 3x-9=2 \ \text{ou}\ 3x-9=-2 \ \Longleftrightarrow\ x=\tfrac{11}{3} \ \text{ou}\ x=\tfrac{7}{3}. S={73,113}S=\left\{\tfrac{7}{3},\,\tfrac{11}{3}\right\}

  3. |4−x|=5⇔4−x=5ou4−x=−5⇔x=−1oux=9.|4-x|=5 \ \Longleftrightarrow\ 4-x=5 \ \text{ou}\ 4-x=-5 \ \Longleftrightarrow\ x=-1 \ \text{ou}\ x=9. S={−1,9}S=\{-1,\,9\}

  4. |8−2x|=5⇔8−2x=5ou8−2x=−5⇔x=8−52oux=8+52.|8-2x|=\sqrt{5} \ \Longleftrightarrow\ 8-2x=\sqrt{5} \ \text{ou}\ 8-2x=-\sqrt{5} \ \Longleftrightarrow\ x=\tfrac{8-\sqrt{5}}{2} \ \text{ou}\ x=\tfrac{8+\sqrt{5}}{2}. S={8−52,8+52}S=\left\{\tfrac{8-\sqrt{5}}{2},\,\tfrac{8+\sqrt{5}}{2}\right\}

  5. 3|−3x+1|=2⇔|−3x+1|=23⇔−3x+1=23ou−3x+1=−23⇔x=19oux=59.3| -3x+1|=2 \ \Longleftrightarrow\ |-3x+1|=\tfrac{2}{3} \ \Longleftrightarrow\ -3x+1=\tfrac{2}{3} \ \text{ou}\ -3x+1=-\tfrac{2}{3} \ \Longleftrightarrow\ x=\tfrac{1}{9} \ \text{ou}\ x=\tfrac{5}{9}. S={19,59}S=\left\{\tfrac{1}{9},\,\tfrac{5}{9}\right\}

  6. |x2−1|=8⇔x2−1=8oux2−1=−8⇔x2=9oux2=−7⇔x=±3.|x^2-1|=8 \ \Longleftrightarrow\ x^2-1=8 \ \text{ou}\ x^2-1=-8 \ \Longleftrightarrow\ x^2=9 \ \text{ou}\ x^2=-7 \ \Longleftrightarrow\ x=\pm 3. S={−3,3}S=\{-3,\,3\}

▶ YouTubeVignette de la correction vidéo