La récurrence au BAC 2026

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on considère la propriété : $$\boxed{ \mathcal{P}(n): \quad w_n=(n+1)^2. }$$

Initialisation

Pour $n=0$ : $$w_0=1.$$

D’autre part : $$(0+1)^2=1.$$

Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie : la propriété est initialisée au rang $0$.

Hérédité

Soit $n\in\mathbb{N}$.

On suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie, c’est-à-dire : $$w_n=(n+1)^2.$$

But : montrer que $w_{n+1}=(n+2)^2$.

D’après la relation de récurrence : $$w_{n+1}=w_n+2n+3.$$

En utilisant l’hypothèse de récurrence : $$w_{n+1} = (n+1)^2+2n+3.$$

Donc : $$w_{n+1} = n^2+2n+1+2n+3 = n^2+4n+4.$$

Or : $$n^2+4n+4=(n+2)^2.$$

Ainsi : $$\boxed{ w_{n+1}=(n+2)^2. }$$

Donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion

La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire.

D’après le principe de récurrence : $$\boxed{ \forall n\in\mathbb{N},\qquad w_n=(n+1)^2. }$$

Pour tout entier $n\geq1$, on considère la propriété : $$\boxed{ \mathcal{P}(n): \quad u_n=n^2. }$$

Initialisation

Pour $n=1$ : $$u_1=1.$$

D’autre part : $$1^2=1.$$

Donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie : la propriété est initialisée au rang $1$.

Hérédité

Soit $n\geq1$.

On suppose que : $$u_n=n^2.$$

But : montrer que $u_{n+1}=(n+1)^2$.

D’après la relation de récurrence : $$u_{n+1}=u_n+2n+1.$$

En utilisant l’hypothèse de récurrence : $$u_{n+1} = n^2+2n+1.$$

Or : $$n^2+2n+1=(n+1)^2.$$

Ainsi : $$\boxed{ u_{n+1}=(n+1)^2. }$$

Donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion

D’après le principe de récurrence : $$\boxed{ \forall n\geq1,\qquad u_n=n^2. }$$

Pour tout entier $n\geq1$, on considère la propriété : $$\boxed{ \mathcal{P}(n): \quad p_{n+1}\leq p_n. }$$

Initialisation

On a : $$p_1=0,96.$$

Puis : $$p_2 = 0,59\times0,96+0,35 = 0,9164.$$

Ainsi : $$p_2\leq p_1.$$

Donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie : la propriété est initialisée au rang $1$.

Hérédité

Soit $n\geq1$.

On suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie, c’est-à-dire : $$p_{n+1}\leq p_n.$$

But : montrer que $p_{n+2}\leq p_{n+1}$.

Comme : $$p_{n+1}\leq p_n$$ et que $0,59>0$, on obtient : $$0,59p_{n+1}\leq0,59p_n.$$

En ajoutant $0,35$ : $$0,59p_{n+1}+0,35 \leq 0,59p_n+0,35.$$

Or : $$0,59p_{n+1}+0,35=p_{n+2}$$ et $$0,59p_n+0,35=p_{n+1}.$$

Donc : $$\boxed{ p_{n+2}\leq p_{n+1}. }$$

Ainsi, $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion

D’après le principe de récurrence : $$\boxed{ \forall n\geq1,\qquad p_{n+1}\leq p_n. }$$

Par conséquent : $$\boxed{\text{la suite $(p_n)$ est décroissante}.}$$

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on considère la propriété : $$\boxed{ \mathcal{P}(n): \quad V_n\leq V_{n+1}\leq1200. }$$

Initialisation

On a : $$V_0=0$$ et $$V_1 = 0,995\times0+6 = 6.$$

Ainsi : $$V_0\leq V_1\leq1200.$$

Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie : la propriété est initialisée au rang $0$.

Hérédité

Soit $n\in\mathbb{N}$.

On suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie, c’est-à-dire : $$V_n\leq V_{n+1}\leq1200.$$

But : montrer que $V_{n+1}\leq V_{n+2}\leq1200$.

Comme : $$V_n\leq V_{n+1}$$ et que $0,995>0$, on obtient : $$0,995V_n\leq0,995V_{n+1}.$$

En ajoutant $6$ : $$0,995V_n+6 \leq 0,995V_{n+1}+6.$$

Or : $$0,995V_n+6=V_{n+1}$$ et $$0,995V_{n+1}+6=V_{n+2}.$$

Ainsi : $$V_{n+1}\leq V_{n+2}.$$

D’autre part, comme : $$V_{n+1}\leq1200,$$ on a : $$V_{n+2} = 0,995V_{n+1}+6 \leq 0,995\times1200+6.$$

Or : $$0,995\times1200+6 = 1194+6 = 1200.$$

Donc : $$V_{n+2}\leq1200.$$

Finalement : $$\boxed{ V_{n+1}\leq V_{n+2}\leq1200. }$$

Donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion

D’après le principe de récurrence : $$\boxed{ \forall n\in\mathbb{N},\qquad V_n\leq V_{n+1}\leq1200. }$$

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on considère la propriété : $$\boxed{ \mathcal{P}(n): \quad u_n>10. }$$

Initialisation

On a : $$u_0=20>10.$$

Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie : la propriété est initialisée au rang $0$.

Hérédité

Soit $n\in\mathbb{N}$.

On suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie, c’est-à-dire : $$u_n>10.$$

But : montrer que $u_{n+1}>10$.

Comme $0,965>0$, on obtient : $$0,965u_n>0,965\times10=9,65.$$

De plus : $$0,07\mathrm{e}^{-0,1n}>0.$$

Ainsi : $$u_{n+1} = 0,965u_n+0,35+0,07\mathrm{e}^{-0,1n}$$ donc : $$u_{n+1} > 9,65+0,35 = 10.$$

Ainsi : $$\boxed{u_{n+1}>10.}$$

Donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion

La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire.

D’après le principe de récurrence : $$\boxed{ \forall n\in\mathbb{N},\qquad u_n>10. }$$

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on considère la propriété : $$\boxed{ \mathcal{P}(n): \quad u_n\leq u_{n+1}\leq4. }$$

Initialisation

On a : $$u_0=1$$ et $$u_1 = 0,7\times1+0,75 = 1,45.$$

Ainsi : $$u_0\leq u_1\leq4.$$

Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie : la propriété est initialisée au rang $0$.

Hérédité

Soit $n\in\mathbb{N}$.

On suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie, c’est-à-dire : $$u_n\leq u_{n+1}\leq4.$$

But : montrer que $u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq4$.

D’abord, comme : $$u_n\leq u_{n+1}$$ et comme $0,7>0$, on obtient : $$0,7u_n\leq0,7u_{n+1}.$$

En ajoutant $0,75$ : $$0,7u_n+0,75 \leq 0,7u_{n+1}+0,75.$$

Or : $$0,7u_n+0,75=u_{n+1}$$ et $$0,7u_{n+1}+0,75=u_{n+2}.$$

Donc : $$u_{n+1}\leq u_{n+2}.$$

D’autre part, comme : $$u_{n+1}\leq4,$$ on a : $$u_{n+2} = 0,7u_{n+1}+0,75 \leq 0,7\times4+0,75.$$

Donc : $$u_{n+2}\leq3,55<4.$$

Ainsi : $$\boxed{ u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq4. }$$

Donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion

La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire.

D’après le principe de récurrence : $$\boxed{ \forall n\in\mathbb{N},\qquad u_n\leq u_{n+1}\leq4. }$$

Pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on considère la propriété : $$\boxed{ \mathcal{P}(n): \quad p_n\leqslant p_{n+1}. }$$

Nous allons démontrer par récurrence que cette propriété est vraie pour tout entier naturel $n\geqslant 1$.

Initialisation

Pour $n=1$, on a : $$p_1=0{,}5.$$

D’après la relation de récurrence : $$\begin{aligned} p_2 &=0{,}3p_1+0{,}4\\ &=0{,}3\times 0{,}5+0{,}4\\ &=0{,}15+0{,}4\\ &=0{,}55. \end{aligned}$$

Ainsi : $$p_1=0{,}5\leqslant 0{,}55=p_2.$$

Donc : $$\boxed{ \mathcal{P}(1)\text{ est vraie}. }$$

La propriété est initialisée au rang $1$.

Hérédité

Soit $n$ un entier naturel tel que $n\geqslant 1$.

Supposons que la propriété $\mathcal{P}(n)$ soit vraie, c’est-à-dire : $$p_n\leqslant p_{n+1}.$$

But : montrer que $p_{n+1}\leqslant p_{n+2}$.

Comme $$p_n\leqslant p_{n+1}$$ et que $0{,}3>0$, on peut multiplier les deux membres de cette inégalité par $0{,}3$ sans en changer le sens.

On obtient : $$0{,}3p_n\leqslant 0{,}3p_{n+1}.$$

En ajoutant $0{,}4$ aux deux membres : $$0{,}3p_n+0{,}4 \leqslant 0{,}3p_{n+1}+0{,}4.$$

Or, d’après la relation de récurrence : $$0{,}3p_n+0{,}4=p_{n+1}$$ et $$0{,}3p_{n+1}+0{,}4=p_{n+2}.$$

Ainsi : $$\boxed{ p_{n+1}\leqslant p_{n+2}. }$$

Donc : $$\boxed{ \mathcal{P}(n+1)\text{ est vraie}. }$$

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion

La propriété est vraie au rang $1$ et elle est héréditaire.

D’après le principe de récurrence : $$\boxed{ \forall n\geqslant 1, \qquad p_n\leqslant p_{n+1}. }$$

Par conséquent : $$\boxed{ \text{la suite $(p_n)$ est croissante}. }$$

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on considère la propriété : $$\boxed{ \mathcal{P}(n): \quad u_n\geq5. }$$

Initialisation

Pour $n=0$, on a $u_0=16$, donc $u_0\geq5$.

Ainsi : $$\boxed{\mathcal{P}(0)\text{ est vraie}.}$$

La propriété est donc initialisée au rang $0$.

Hérédité

Soit $n\in\mathbb{N}$. On suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie, c’est-à-dire $u_n\geq5$.

But : montrer que $u_{n+1}\geq5$.

On sait également que $v_n\geq5$.

Comme $3>0$ et $2>0$, on a $3u_n\geq15$ et $2v_n\geq10$.

En additionnant, $3u_n+2v_n\geq25$.

Or $u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2v_n}{5}$.

Comme $5>0$, en divisant par $5$, l’ordre est conservé : $$u_{n+1} = \dfrac{3u_n+2v_n}{5} \geq \dfrac{25}{5} = 5.$$

Ainsi : $$\boxed{u_{n+1}\geq5.}$$

Donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion

La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire.

D’après le principe de récurrence : $$\boxed{ \forall n\in\mathbb{N},\qquad u_n\geq5. }$$

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on considère la propriété : $$\boxed{ \mathcal{P}(n): \quad 1\leq u_n\leq u_{n+1}<\sqrt{3}. }$$

Initialisation

On a : $$u_0=1.$$

De plus : $$u_1 = f(1) = \dfrac{2}{\sqrt2} = \sqrt2.$$

Ainsi : $$1\leq u_0\leq u_1<\sqrt3.$$

Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie : la propriété est initialisée au rang $0$.

Hérédité

Soit $n\in\mathbb{N}$.

On suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie, c’est-à-dire : $$1\leq u_n\leq u_{n+1}<\sqrt3.$$

But : montrer que $1\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}<\sqrt3$.

D’après l’hypothèse de récurrence : $$u_n\leq u_{n+1}.$$

Comme $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$, on obtient : $$f(u_n)\leq f(u_{n+1}).$$

Or : $$f(u_n)=u_{n+1} \qquad\text{et}\qquad f(u_{n+1})=u_{n+2}.$$

Donc : $$u_{n+1}\leq u_{n+2}.$$

D’autre part : $$u_{n+1}<\sqrt3.$$

Comme les nombres comparés appartiennent à $\mathbb{R}$ et que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, elle conserve l’ordre : $$f(u_{n+1})<f(\sqrt3).$$

Or : $$f(u_{n+1})=u_{n+2} \qquad\text{et}\qquad f(\sqrt3)=\sqrt3.$$

Ainsi : $$u_{n+2}<\sqrt3.$$

Enfin, d’après l’hypothèse de récurrence : $$u_{n+1}\geq1.$$

On obtient donc : $$\boxed{ 1\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}<\sqrt3. }$$

Donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion

D’après le principe de récurrence : $$\boxed{ \forall n\in\mathbb{N},\qquad 1\leq u_n\leq u_{n+1}<\sqrt3. }$$

Par conséquent : $$\boxed{\text{la suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $\sqrt3$.}}$$

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on considère la propriété : $$\boxed{ \mathcal{P}(n): \quad 0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq1. }$$

Initialisation

On a : $$u_0=0.$$

Puis : $$u_1 = \dfrac{u_0-2}{2u_0-3} = \dfrac{-2}{-3} = \dfrac23.$$

Ainsi : $$0\leq u_0\leq u_1\leq1.$$

Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie : la propriété est initialisée au rang $0$.

Hérédité

Soit $n\in\mathbb{N}$.

On suppose que : $$0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq1.$$

But : montrer que $0\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq1$.

Comme $u_{n+1}\in[0\,;\,1]$ et que : $$f([0\,;\,1])\subset[0\,;\,1],$$ on obtient : $$0\leq f(u_{n+1})\leq1.$$

Or : $$f(u_{n+1})=u_{n+2}.$$

Donc : $$0\leq u_{n+2}\leq1.$$

D’autre part, d’après l’hypothèse de récurrence : $$u_n\leq u_{n+1}.$$

Comme les nombres comparés appartiennent à $\left]-\infty\,;\,\dfrac32\right[$ et que $f$ est croissante sur $\left]-\infty\,;\,\dfrac32\right[$, elle conserve l’ordre : $$f(u_n)\leq f(u_{n+1}).$$

Or : $$f(u_n)=u_{n+1} \qquad\text{et}\qquad f(u_{n+1})=u_{n+2}.$$

Ainsi : $$u_{n+1}\leq u_{n+2}.$$

Finalement : $$\boxed{ 0\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq1. }$$

Donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion

D’après le principe de récurrence : $$\boxed{ \forall n\in\mathbb{N},\qquad 0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq1. }$$

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on considère la propriété : $$\boxed{ \mathcal{P}(n): \quad 2\leq u_{n+1}\leq u_n\leq4. }$$

Initialisation

On a : $$u_0=4$$ et $$u_1 = 4-\dfrac{4}{u_0} = 4-\dfrac44 = 3.$$

Ainsi : $$2\leq u_1\leq u_0\leq4.$$

Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie : la propriété est initialisée au rang $0$.

Hérédité

Soit $n\in\mathbb{N}$.

On suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie, c’est-à-dire : $$2\leq u_{n+1}\leq u_n\leq4.$$

But : montrer que $2\leq u_{n+2}\leq u_{n+1}\leq4$.

Comme : $$u_{n+1}\leq u_n$$ et que la fonction $h$ est croissante sur $]0;+\infty[$, on obtient : $$h(u_{n+1})\leq h(u_n).$$

Or : $$h(u_{n+1})=u_{n+2} \qquad\text{et}\qquad h(u_n)=u_{n+1}.$$

Donc : $$u_{n+2}\leq u_{n+1}.$$

D’autre part : $$u_{n+1}\geq2.$$

Comme les nombres comparés appartiennent à $]0\,;\,+\infty[$ et que $h$ est croissante sur $]0\,;\,+\infty[$, elle conserve l’ordre : $$h(u_{n+1})\geq h(2).$$

Or : $$h(2) = 4-\dfrac42 = 2.$$

Ainsi : $$u_{n+2}\geq2.$$

Enfin, d’après l’hypothèse de récurrence : $$u_{n+1}\leq4.$$

On obtient donc : $$\boxed{ 2\leq u_{n+2}\leq u_{n+1}\leq4. }$$

Donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion

D’après le principe de récurrence : $$\boxed{ \forall n\in\mathbb{N},\qquad 2\leq u_{n+1}\leq u_n\leq4. }$$

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on considère la propriété : $$\boxed{ \mathcal{P}(n): \qquad \dfrac12\leq u_n\leq u_{n+1}\leq2. }$$

Initialisation

On a : $$u_0=\dfrac12.$$

Calculons $u_1$ : $$u_1 = f\left(\dfrac12\right) = \dfrac{4\times\dfrac12} {1+3\times\dfrac12} = \dfrac{2}{\dfrac52} = \dfrac45.$$

Ainsi : $$\dfrac12\leq\dfrac45\leq2.$$

Donc : $$\boxed{ \dfrac12\leq u_0\leq u_1\leq2. }$$

La propriété $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité

Soit $n\in\mathbb{N}$.

On suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie, c’est-à-dire : $$\boxed{ \dfrac12\leq u_n\leq u_{n+1}\leq2. }$$

**But :** montrer que $\displaystyle \dfrac12\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq2.$

D’après l’hypothèse de récurrence : $$u_n\leq u_{n+1}.$$

Comme les nombres comparés appartiennent à $\left]-\dfrac13\,;\,+\infty\right[$ et que $f$ est croissante sur $\left]-\dfrac13\,;\,+\infty\right[$, elle conserve l’ordre : $$f(u_n)\leq f(u_{n+1}).$$

Or : $$f(u_n)=u_{n+1} \qquad\text{et}\qquad f(u_{n+1})=u_{n+2}.$$

Donc : $$\boxed{u_{n+1}\leq u_{n+2}.}$$

D’autre part, d’après l’hypothèse de récurrence : $$u_{n+1}\leq2.$$

Comme les nombres comparés appartiennent à $\left]-\dfrac13\,;\,+\infty\right[$ et que $f$ est croissante sur $\left]-\dfrac13\,;\,+\infty\right[$, elle conserve l’ordre : $$f(u_{n+1})\leq f(2).$$

Or : $$f(2)=\dfrac{8}{7}<2.$$

Ainsi : $$u_{n+2}\leq\dfrac87<2,$$ donc : $$\boxed{u_{n+2}\leq2.}$$

Enfin, l’hypothèse de récurrence donne directement : $$\boxed{\dfrac12\leq u_{n+1}.}$$

Par conséquent : $$\boxed{ \dfrac12\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq2. }$$

Ainsi, $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion

La propriété est initialisée au rang $0$ et elle est héréditaire.

D’après le principe de récurrence : $$\boxed{ \forall n\in\mathbb{N},\qquad \dfrac12\leq u_n\leq u_{n+1}\leq2. }$$

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on considère la propriété : $$\boxed{ \mathcal{P}(n): \quad 2\leq a_n\leq \alpha. }$$

Initialisation

Par hypothèse : $$2\leq a_0\leq \alpha.$$

Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie : la propriété est initialisée au rang $0$.

Hérédité

Soit $n\in\mathbb{N}$.

On suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie, c’est-à-dire : $$2\leq a_n\leq \alpha.$$

But : montrer que $2\leq a_{n+1}\leq \alpha$.

Les nombres comparés appartenant à $[2\,;\,+\infty[$ et la fonction $f$ y étant strictement croissante, elle conserve l’ordre ; on obtient : $$f(2)\leq f(a_n)\leq f(\alpha).$$

Or : $$f(2)=\ln(3\times 2^2+2\times2) =\ln(16).$$

Comme : $$\ln(16)>2,$$ on a : $$f(2)>2.$$

De plus, par définition de $\alpha$ : $$f(\alpha)=\alpha.$$

Ainsi : $$2<f(a_n)\leq\alpha.$$

Or : $$a_{n+1}=f(a_n).$$

Donc : $$\boxed{ 2\leq a_{n+1}\leq\alpha. }$$

Ainsi, $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion

La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire.

D’après le principe de récurrence : $$\boxed{ \forall n\in\mathbb{N},\qquad 2\leq a_n\leq\alpha. }$$

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on considère la propriété : $$\boxed{ \mathcal{P}(n): \quad 2\leq u_n\leq u_{n+1}\leq4. }$$

Initialisation

On a : $$u_0=2$$ et $$u_1 = \ln(3\times2^2+1) = \ln(13).$$

Or : $$2\leq\ln(13)\leq4.$$

Ainsi : $$2\leq u_0\leq u_1\leq4.$$

Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie : la propriété est initialisée au rang $0$.

Hérédité

Soit $n\in\mathbb{N}$.

On suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie, c’est-à-dire : $$2\leq u_n\leq u_{n+1}\leq4.$$

But : montrer que $2\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq4$.

Comme $f$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, que les nombres comparés appartiennent à cet intervalle et que : $$u_n\leq u_{n+1},$$ on obtient : $$f(u_n)\leq f(u_{n+1}).$$

Or : $$f(u_n)=u_{n+1} \qquad\text{et}\qquad f(u_{n+1})=u_{n+2}.$$

Ainsi : $$u_{n+1}\leq u_{n+2}.$$

D’autre part, puisque : $$2\leq u_{n+1}\leq4,$$ et que $f$ est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$, elle conserve l’ordre : $$f(2)\leq f(u_{n+1})\leq f(4).$$

Donc : $$\ln(13)\leq u_{n+2}\leq\ln(49).$$

Or : $$\ln(13)>2 \qquad\text{et}\qquad \ln(49)<4.$$

Ainsi : $$2\leq u_{n+2}\leq4.$$

Finalement : $$\boxed{ 2\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq4. }$$

Donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion

D’après le principe de récurrence : $$\boxed{ \forall n\in\mathbb{N},\qquad 2\leq u_n\leq u_{n+1}\leq4. }$$

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on considère la propriété : $$\boxed{ \mathcal{P}(n): \quad 4\leq u_n\leq u_{n+1}\leq10. }$$

Initialisation

On a : $$u_0=5.$$

De plus : $$u_1 = \ln(8\times5^3-1) = \ln(999) \simeq6,91.$$

Ainsi : $$4\leq5\leq6,91\leq10.$$

Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie : la propriété est initialisée au rang $0$.

Hérédité

Soit $n\in\mathbb{N}$.

On suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie, c’est-à-dire : $$4\leq u_n\leq u_{n+1}\leq10.$$

But : montrer que $4\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq10$.

Comme : $$u_n\leq u_{n+1}$$ et que $f$ est croissante sur $[4\,;\,10]$, elle conserve l’ordre ; on obtient : $$f(u_n)\leq f(u_{n+1}).$$

Or : $$f(u_n)=u_{n+1} \qquad\text{et}\qquad f(u_{n+1})=u_{n+2}.$$

Ainsi : $$u_{n+1}\leq u_{n+2}.$$

D’autre part : $$u_{n+1}\in[4\,;\,10].$$

Comme : $$f([4\,;\,10])\subset[4\,;\,10],$$ on obtient : $$f(u_{n+1})\in[4\,;\,10].$$

Donc : $$4\leq u_{n+2}\leq10.$$

Finalement : $$\boxed{ 4\leq u_{n+1}\leq u_{n+2}\leq10. }$$

Donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

La propriété est donc héréditaire.

Conclusion

La propriété est vraie au rang $0$ et elle est héréditaire.

D’après le principe de récurrence : $$\boxed{ \forall n\in\mathbb{N},\qquad 4\leq u_n\leq u_{n+1}\leq10. }$$