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La convexité

Cours sur la convexité

Exercice 1 — Étude de la convexité

Étudier la convexité des fonctions suivantes sur l’intervalle précisé.

  1. ff définie par f(x)=x2f(x)=x^2 sur ℝ\mathbb{R}.

  2. ff définie par f(x)=x3f(x)=x^3 sur ℝ\mathbb{R}.

  3. ff définie par f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^x sur ℝ\mathbb{R}.

  4. ff définie par f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} sur ℝ*\mathbb{R}^{*}.

  5. ff définie par f(x)=xf(x)=\sqrt{x} sur ℝ+*\mathbb{R}^{+*}.

Exercice 2 — Convexité et point d’inflexion

On considère la fonction ff définie sur ℝ\mathbb{R} par :

pour tout x∈ℝ,f(x)=x3−3x2+x+2.\text{pour tout }x\in\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^3-3x^2+x+2.

  1. Déterminer, pour tout réel xx, f′(x)f'(x) et f″(x)f''(x).

  2. Étudier la convexité de la fonction ff.

  3. La courbe représentative de ff possède-t-elle un point d’inflexion ? Si oui, déterminer ses coordonnées.

Exercice 3 — Convexité et points d’inflexion

On considère la fonction ff définie sur ℝ\mathbb{R} par :

pour tout x∈ℝ,f(x)=x4+x3−3x2−5x−3.\text{pour tout }x\in\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^4+x^3-3x^2-5x-3.

  1. Déterminer, pour tout réel xx, f′(x)f'(x) et f″(x)f''(x).

  2. Étudier la convexité de la fonction ff. La courbe représentative de ff possède-t-elle des points d’inflexion ? Si oui, déterminer leurs abscisses.

Exercice 4 — Étude de la convexité

On considère la fonction ff définie sur ℝ\mathbb{R} par :

pour tout x∈ℝ,f(x)=−x4−2x3−12x2+8x+6.\text{pour tout }x\in\mathbb{R}, \qquad f(x)=-x^4-2x^3-12x^2+8x+6.

Étudier la convexité de la fonction ff.

Exercice 5 — Convexité et tangente – Concours Advance 2021, exercice 7

On considère la fonction ff définie sur ℝ\mathbb{R} par : f(x)=e−x+x2−4f(x)=\mathrm{e}^{-x}+x^2-4 et 𝒞f\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

  1. Étudier la convexité de la fonction ff.

  2. Soit aa un réel. Déterminer une équation de la tangente à 𝒞f\mathcal{C}_f au point d’abscisse aa.

  3. En déduire l’équation de la tangente à 𝒞f\mathcal{C}_f au point d’abscisse 00.

  4. Montrer que, pour tout réel xx : e−x+x2−4≥−x−3.\mathrm{e}^{-x}+x^2-4\geqslant -x-3.

Exercice 6 — Convexité et tangente – Concours Advance 2021, exercice 8

On considère la fonction ff définie sur ℝ\mathbb{R} par : f(x)=x4−2x3−120x2+3f(x)=x^4-2x^3-120x^2+3 et 𝒞f\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

  1. Étudier la convexité de la fonction ff et préciser les éventuels points d’inflexion de la courbe 𝒞f\mathcal{C}_f.

  2. Déterminer l’équation de la tangente à 𝒞f\mathcal{C}_f au point d’abscisse 00.

  3. Montrer que, pour tout réel x∈[−4;5]x\in[-4;5] : x4−2x3−120x2+3≤3.x^4-2x^3-120x^2+3\leqslant 3.

Exercice 7 — Étude de la convexité

On considère la fonction ff définie sur ℝ\mathbb{R} par :

pour tout x∈ℝ,f(x)=−2x3−3x2−12x+4.\text{pour tout }x\in\mathbb{R}, \qquad f(x)=-2x^3-3x^2-12x+4.

Étudier la convexité de la fonction ff.

Exercice 8 — Étude de la convexité

On considère la fonction ff définie sur ℝ\mathbb{R} par :

pour tout x∈ℝ,f(x)=2x2+2.\text{pour tout }x\in\mathbb{R}, \qquad f(x)=\frac{2}{x^2+2}.

Étudier la convexité de la fonction ff.

Exercice 9 — Étude de la convexité

On considère la fonction ff définie sur ℝ\mathbb{R} par :

pour tout x∈ℝ,f(x)=xe4x−1.\text{pour tout }x\in\mathbb{R}, \qquad f(x)=x\mathrm{e}^{4x-1}.

Étudier la convexité de la fonction ff.

Exercice 10 — Étude de la convexité

On considère la fonction ff définie sur ℝ\mathbb{R} par :

pour tout x∈ℝ,f(x)=(x2+3x+2)e−x.\text{pour tout }x\in\mathbb{R}, \qquad f(x)=(x^2+3x+2)\mathrm{e}^{-x}.

  1. Déterminer, pour tout réel xx, f′(x)f'(x) et f″(x)f''(x).

  2. Étudier le signe de f″f'' sur ℝ\mathbb{R}.

  3. En déduire la convexité de ff sur ℝ\mathbb{R}.

Exercice 11 — Étude de la convexité

On considère la fonction ff définie sur ℝ\mathbb{R} par :

pour tout x∈ℝ,f(x)=x2+2x+2.\text{pour tout }x\in\mathbb{R}, \qquad f(x)=\sqrt{x^2+2x+2}.

  1. Déterminer, pour tout réel xx, f′(x)f'(x) et f″(x)f''(x).

  2. Étudier le signe de f″f'' sur ℝ\mathbb{R}.

  3. En déduire la convexité de ff sur ℝ\mathbb{R}.

Exercice 12 — Dérivées secondes

Déterminer dans chaque cas f″f'', la fonction dérivée seconde de la fonction ff.

2

  1. f(x)=x6+2x2+6e2x+1.f(x)=x^6+2x^2+6\mathrm{e}^{2x+1}.

  2. f(x)=x5+e−2x.f(x)=x^5+\mathrm{e}^{-2x}.

  3. f(x)=e−3x+e3x.f(x)=\mathrm{e}^{-3x}+\mathrm{e}^{3x}.

  4. f(x)=(−2x+5)ex−1.f(x)=(-2x+5)\mathrm{e}^{x-1}.

Exercice 13 — Étude de la convexité

Soit ff la fonction définie sur ℝ\mathbb{R} par : f(x)=(x+2)3(x+1).f(x)=(x+2)^3(x+1).

  1. Déterminer, pour tout réel xx, f′(x)f'(x) et f″(x)f''(x).

  2. Étudier le signe de f″f'' sur ℝ\mathbb{R} et en déduire la convexité de ff sur ℝ\mathbb{R}.

Exercice 14 — Étude de la convexité

Soit ff la fonction définie sur ℝ+\mathbb{R}^{+} par : f(x)=(x2+3)x.f(x)=(x^2+3)\sqrt{x}.

  1. Déterminer, pour tout réel xx strictement positif, f′(x)f'(x) et f″(x)f''(x).

  2. Étudier le signe de f″f'' sur ℝ+*\mathbb{R}^{+*} et en déduire la convexité de ff sur ℝ+*\mathbb{R}^{+*}.

Exercice 15 — Convexité, points d’inflexion et tangentes

On considère la fonction ff définie sur ℝ\mathbb{R} par :

f(x)=10x4+3x3−6x2−4x−2.f(x)=10x^4+3x^3-6x^2-4x-2.

  1. Déterminer, pour tout réel xx, f′(x)f'(x) et f″(x)f''(x).

  2. Étudier la convexité de la fonction ff.

  3. Dans un repère, on a tracé la courbe représentative de ff. Placer les points d’inflexion et tracer les tangentes correspondantes.

Exercice 16 — Variations, convexité et points d’inflexion

On considère la fonction ff définie sur ℝ\mathbb{R} par : f(x)=(x2−1)e2x.f(x)=(x^2-1)\mathrm{e}^{2x}.

  1. Déterminer f′f', la dérivée de ff sur ℝ\mathbb{R}.

  2. Étudier les variations de la fonction ff. On indiquera les valeurs approchées des extremums obtenues à la calculatrice.

  3. Montrer que, pour tout réel xx : f″(x)=(4x2+8x−2)e2x.f''(x)=(4x^2+8x-2)\mathrm{e}^{2x}.

  4. Étudier la convexité de la fonction ff.

  5. Tracer sur la courbe de ff ci-dessous les tangentes aux points d’inflexion.

Exercice 17 — Convexité, points d’inflexion et tangentes

On considère la fonction ff définie sur ℝ\mathbb{R} par :

f(x)=3x5−10x4−10x3+60x2.f(x)=3x^5-10x^4-10x^3+60x^2.

  1. Déterminer, pour tout réel xx, f′(x)f'(x) et f″(x)f''(x).

  2. Montrer que, pour tout réel xx : f″(x)=60(x+1)(x−1)(x−2).f''(x)=60(x+1)(x-1)(x-2).

  3. Étudier la convexité de la fonction ff.

  4. Dans un repère, on a tracé la courbe représentative de ff. Placer les points d’inflexion et tracer les tangentes correspondantes.

Exercice 18 — Étude de la convexité

On considère la fonction ff définie sur ℝ\mathbb{R} par :

f(x)=xex+2.f(x)=x\mathrm{e}^x+2.

  1. Déterminer, pour tout réel xx, f′(x)f'(x) et f″(x)f''(x).

  2. Étudier la convexité de la fonction ff.

Exercice 19 — Fonction sinus hyperbolique et convexité

On considère la fonction ff définie sur ℝ\mathbb{R} par :

f(x)=12(ex−e−x).f(x)=\frac12\left(\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}\right).

  1. Montrer que, pour tout réel xx : f(x)=12e−x(ex−1)(ex+1).f(x)=\frac12\mathrm{e}^{-x} \left(\mathrm{e}^x-1\right)\left(\mathrm{e}^x+1\right).

  2. Étudier le signe de ff à l’aide de la question précédente.

  3. Pour tout réel xx, déterminer f′(x)f'(x) et en déduire que ff est strictement croissante sur ℝ\mathbb{R}.

  4. Montrer que, pour tout réel xx : f″(x)=f(x).f''(x)=f(x).

  5. En déduire la convexité de la fonction ff.

Exercice 20 — Variations et convexité

On considère la fonction ff définie sur ℝ\mathbb{R} par :

f(x)=(3−x)e2x+1.f(x)=(3-x)\mathrm{e}^{2x+1}.

  1. Pour tout réel xx, déterminer f′(x)f'(x) et montrer que : f″(x)=(−4x+8)e2x+1.f''(x)=(-4x+8)\mathrm{e}^{2x+1}.

  2. Étudier les variations de la fonction ff.

  3. Étudier la convexité de la fonction ff.

Exercice 21 — Oral Concours Advance 2020 – Exercice 6

On considère la fonction ff définie sur ℝ\mathbb{R} par :

f(x)=(x2+1)ex.f(x)=(x^2+1)\mathrm{e}^x.

On note 𝒞f\mathcal{C}_f la courbe représentative de ff.

  1. Déterminer, pour tout réel xx, f′(x)f'(x) et f″(x)f''(x).

  2. Étudier les variations de la fonction ff.

  3. Étudier la convexité de la fonction ff et préciser les éventuels points d’inflexion de 𝒞f\mathcal{C}_f.

Exercice 22 — Variations et convexité

On considère la fonction ff définie sur ℝ\mathbb{R} par :

f(x)=(4x+2)3e2x.f(x)=(4x+2)^3\mathrm{e}^{2x}.

  1. Montrer que, pour tout réel xx : f′(x)=(4x+2)2(8x+16)e2x.f'(x)=(4x+2)^2(8x+16)\mathrm{e}^{2x}.

  2. Étudier les variations de la fonction ff.

  3. Montrer que, pour tout réel xx : f″(x)=16(4x+2)(4x2+16x+13)e2x.f''(x)=16(4x+2)(4x^2+16x+13)\mathrm{e}^{2x}.

  4. Étudier la convexité de la fonction ff.

  5. Repérer les courbes de ff et de f″f'', puis indiquer sur le schéma les éléments étudiés dans les questions précédentes.

Exercice 23 — Conjecturer à partir de la courbe de f′f’

Source : adaptation du Baccalauréat Métropole – 8 juin 2021 – candidats libres, sujet 2.

On donne ci-dessous la courbe représentant la fonction dérivée f′f' d’une fonction ff dérivable sur ℝ\mathbb R.

À l’aide de cette courbe, conjecturer en justifiant :

  1. le sens de variation de ff sur ℝ\mathbb R ;

  2. la convexité de ff sur ℝ\mathbb R ;

  3. l’abscisse d’un éventuel point d’inflexion de la courbe de ff.

La courbe ou le tableau utile à cet exercice est visible dans la vidéo.

Exercice 24 — Du graphique au calcul : la même fonction

Source : adaptation du Baccalauréat Métropole – 8 juin 2021 – candidats libres, sujet 2.

On considère la fonction ff définie sur ℝ\mathbb R par f(x)=(x+2)e−x.f(x)=(x+2)\mathrm{e}^{-x}.

  1. Montrer que, pour tout réel xx, f′(x)=(−x−1)e−xf'(x)=(-x-1)\mathrm{e}^{-x}.

  2. Déterminer l’expression de f″(x)f''(x).

  3. Étudier le signe de f″(x)f''(x) sur ℝ\mathbb R.

  4. En déduire la convexité de ff et préciser ce que représente le point de la courbe d’abscisse 00.

  5. Comparer ces résultats avec les conjectures formulées dans l’exercice précédent.

Exercice 25 — Convexité à partir d’une dérivée seconde donnée

Source : Baccalauréat Métropole – 7 juin 2021 – candidats libres, sujet 1.

Soit ff la fonction définie sur ]0;+∞[]0;+\infty[ par f(x)=e2xx.f(x)=\frac{\mathrm{e}^{2x}}{x}. On donne, pour tout x>0x>0, f″(x)=2e2x(2x2−2x+1)x3.f''(x)=\frac{2\mathrm{e}^{2x}(2x^2-2x+1)}{x^3}.

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est exacte ? Justifier le choix.

  1. ff est concave sur ]0;+∞[]0;+\infty[.

  2. ff est convexe sur ]0;+∞[]0;+\infty[.

  3. ff est concave sur ]0;12]]0;\frac12].

  4. La courbe de ff possède un point d’inflexion.

Exercice 26 — Convexité et point d’inflexion

Source : adaptation du Baccalauréat Centres étrangers – session 2013 – série ES.

On considère la fonction ff définie sur [2;8][2;8] par f(x)=−x2+10x−16x2.f(x)=\frac{-x^2+10x-16}{x^2}. On admet que, pour tout x∈[2;8]x\in[2;8], f″(x)=20x−96x4.f''(x)=\frac{20x-96}{x^4}.

  1. Étudier le signe de f″f'' sur [2;8][2;8].

  2. Montrer que ff est convexe sur [4,8;8][4{,}8;8].

  3. Montrer que le point de la courbe d’abscisse 4,84{,}8 est un point d’inflexion.

  4. Calculer les coordonnées exactes de ce point.

Exercice 27 — Étudier une convexité sur ℝ\mathbb R

Source : adaptation du Baccalauréat Centres étrangers – session 2014 – série ES.

Soit ff la fonction définie sur ℝ\mathbb R par f(x)=xex2−1.f(x)=x\mathrm{e}^{x^2-1}.

  1. Montrer que, pour tout réel xx, f′(x)=(2x2+1)ex2−1.f'(x)=(2x^2+1)\mathrm{e}^{x^2-1}.

  2. Montrer que f″(x)=2x(2x2+3)ex2−1.f''(x)=2x(2x^2+3)\mathrm{e}^{x^2-1}.

  3. Étudier la convexité de ff sur ℝ\mathbb R.

  4. Déterminer les coordonnées du point d’inflexion de sa courbe.

Exercice 28 — Vrai ou faux : une puissance cinquième

Source : adaptation du Baccalauréat Asie – 10 juin 2026 – spécialité mathématiques, sujet 2, exercice 4, affirmation 1.

On considère la fonction ff définie sur ℝ\mathbb R par f(x)=(−12x+3)5.f(x)=\left(-\frac12x+3\right)^5.

Affirmation : la fonction ff est convexe sur ℝ\mathbb R.

Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse en justifiant soigneusement la réponse.

Pour guider la rédaction, on pourra :

  1. calculer f″(x)f''(x) ;

  2. étudier son signe ;

  3. donner les intervalles de convexité et de concavité de ff ;

  4. préciser si la courbe possède un point d’inflexion.

Exercice 29 — Convexité – Hyperbole – exercice 54

La fonction ff est deux fois dérivable sur ℝ\mathbb{R}.

Déterminer la convexité de la fonction ff lorsque la courbe tracée dans le repère ci-dessous est celle :

  1. de la fonction ff ;

  2. de la fonction f′f' ;

  3. de la fonction f″f''.

La courbe ou le tableau utile à cet exercice est visible dans la vidéo.

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  1. Si la courbe représente f : elle est tournée vers le haut sur ℝ. Donc f est convexe sur ℝ.
  2. Si la courbe représente f′ : f′ est décroissante sur ]−∞ ; 1], puis croissante sur [1 ; +∞[. Donc f est concave sur ]−∞ ; 1], puis convexe sur [1 ; +∞[. La courbe de f admet un point d’inflexion d’abscisse 1.
  3. Si la courbe représente f″ : f″ est positive ou nulle sur ]−∞ ; −1] ∪ [3 ; +∞[ et négative ou nulle sur [−1 ; 3]. Donc f est convexe sur ]−∞ ; −1] et [3 ; +∞[, et concave sur [−1 ; 3]. La courbe de f admet deux points d’inflexion, d’abscisses −1 et 3.

Exercice 30 — Convexité – Hyperbole – exercice 55

La fonction ff est deux fois dérivable sur [0;4][0\,;\,4].

Le graphique ci-dessous représente la courbe 𝒞′\mathcal{C}' de la fonction dérivée f′f' et la courbe 𝒞″\mathcal{C}'' de la fonction dérivée seconde f″f''.

Le point A(1;0)A(1\,;\,0) appartient à l’une de ces courbes et le point B(2;0)B(2\,;\,0) appartient à l’autre.

  1. Identifier chacune des deux courbes sur le graphique. Justifier.

  2. En déduire la convexité de la fonction ff et préciser l’abscisse des éventuels points d’inflexion.

La courbe ou le tableau utile à cet exercice est visible dans la vidéo.

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Exercice 31 — Convexité – Hyperbole – exercice 56

Dans un repère, on donne ci-dessous la courbe représentative d’une fonction ff deux fois dérivable sur [−1;3][-1\,;\,3].

  1. Étudier graphiquement la convexité de la fonction ff.

  2. En déduire les variations de la fonction dérivée f′f'.

  3. Parmi les trois courbes proposées, déterminer laquelle représente la fonction dérivée seconde f″f'' de ff.

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Exercice 32 — Conjecturer la convexité d’une fonction

On donne les courbes de quatre fonctions définies sur un intervalle II.

  1. I=[−5;4]I=[-5\,;\,4]

    Déterminer la convexité de ff lorsque la courbe ci-contre représente successivement :

    1. la fonction ff ;

    2. la fonction f′f' ;

    3. la fonction f″f''.

  2. I=[−1;5]I=[-1\,;\,5]

    Déterminer la convexité de ff lorsque la courbe ci-contre représente successivement :

    1. la fonction ff ;

    2. la fonction f′f' ;

    3. la fonction f″f''.

  3. I=[−5;5]I=[-5\,;\,5]

    Déterminer la convexité de ff lorsque la courbe ci-contre représente successivement :

    1. la fonction ff ;

    2. la fonction f′f' ;

    3. la fonction f″f''.

  4. I=[−8;0,5]I=[-8\,;\,0{,}5]

    Déterminer la convexité de ff lorsque la courbe ci-contre représente successivement :

    1. la fonction ff ;

    2. la fonction f′f' ;

    3. la fonction f″f''.

La courbe ou le tableau utile à cet exercice est visible dans la vidéo.

Exercice 33 — Variations et convexité

On considère une fonction ff définie et dérivable sur [−4;5][-4\,;\,5] dont les variations sont données par le tableau suivant :

Dans chacun des cas suivants, tracer dans un repère une courbe 𝒞\mathcal C pouvant représenter la fonction ff.

  1. La fonction ff est concave sur [−4;3][-4\,;\,3] et convexe sur [3;5][3\,;\,5].

  2. La fonction ff est convexe sur [−4;1][-4\,;\,1] et concave sur [1;5][1\,;\,5].

La courbe ou le tableau utile à cet exercice est visible dans la vidéo.

Exercice 34 — Variations et convexité

On considère une fonction ff définie sur [0;5][0\,;\,5] dont les variations sont données par le tableau suivant :

Dans chacun des cas suivants, tracer dans un repère une courbe 𝒞\mathcal C pouvant représenter la fonction ff.

  1. La fonction ff est convexe sur [0;2][0\,;\,2] et concave sur [2;5][2\,;\,5].

  2. La fonction ff est convexe sur [0;1,5][0\,;\,1{,}5], concave sur [1,5;4][1{,}5\,;\,4], puis convexe sur [4;5][4\,;\,5].

  3. La fonction ff est concave sur [0;0,5][0\,;\,0{,}5], convexe sur [0,5;2,5][0{,}5\,;\,2{,}5], puis concave sur [2,5;5][2{,}5\,;\,5].

La courbe ou le tableau utile à cet exercice est visible dans la vidéo.

Exercice 35 — Reconnaître ff, f′f’ et f″f »

On donne, dans un même repère, les courbes représentatives d’une fonction ff, de sa fonction dérivée f′f' et de sa fonction dérivée seconde f″f''.

Repérer la courbe de ff, celle de f′f' et celle de f″f''.

La courbe ou le tableau utile à cet exercice est visible dans la vidéo.

Exercice 36 — Conjecturer la convexité graphiquement

Pour chacune des trois fonctions représentées ci-dessous, conjecturer ses intervalles de convexité et les abscisses de ses éventuels points d’inflexion.

La courbe ou le tableau utile à cet exercice est visible dans la vidéo.

Exercice 37 — Reconnaître la courbe de f″f »

On considère une fonction ff définie et deux fois dérivable sur [−3;2][-3\,;\,2], dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.

Parmi les quatre courbes suivantes, déterminer celle qui représente la fonction dérivée seconde f″f''.

La courbe ou le tableau utile à cet exercice est visible dans la vidéo.

Exercice 38 — Variations de f′f’ et convexité de ff

On considère une fonction ff définie et dérivable sur [−2;6][-2\,;\,6]. On donne le tableau de variations de sa fonction dérivée f′f'.

  1. Déterminer la convexité de la fonction ff.

  2. On sait de plus que : f(0)=1etf(4)=1.f(0)=1 \qquad\text{et}\qquad f(4)=1.

    Tracer dans le repère ci-dessous une courbe 𝒞\mathcal C pouvant représenter la fonction ff.

La courbe ou le tableau utile à cet exercice est visible dans la vidéo.

Exercice 39 — Variations et convexité à partir de f′f’

On considère une fonction ff définie et dérivable sur [−6;6][-6\,;\,6]. On donne le tableau de variations de sa fonction dérivée f′f'.

On sait également que : f′(−5)=f′(−1)=f′(6)=0.f'(-5)=f'(-1)=f'(6)=0.

  1. Déterminer les variations de ff sur [−6;6][-6\,;\,6].

  2. Déterminer la convexité de ff et préciser les abscisses des éventuels points d’inflexion.

  3. On sait de plus que : f(−4)=−1,f(−1)=−2etf(2)=−1.f(-4)=-1,\qquad f(-1)=-2 \qquad\text{et}\qquad f(2)=-1.

    Tracer dans le repère ci-dessous une courbe 𝒞\mathcal C pouvant représenter la fonction ff.

La courbe ou le tableau utile à cet exercice est visible dans la vidéo.

Exercice 40 — Signe de f′f’, variations et convexité

On considère une fonction ff définie et dérivable sur [0;9][0\,;\,9]. On donne le tableau de variations de sa fonction dérivée f′f'.

On sait également que : f′(8)=0.f'(8)=0.

  1. Déterminer les variations de ff sur [0;9][0\,;\,9].

  2. Déterminer la convexité de ff et préciser les abscisses des éventuels points d’inflexion.

  3. On sait de plus que : f(3)=2etf(6)=−1.f(3)=2 \qquad\text{et}\qquad f(6)=-1.

    Tracer dans le repère ci-dessous une courbe 𝒞\mathcal C pouvant représenter la fonction ff.

La courbe ou le tableau utile à cet exercice est visible dans la vidéo.

Exercice 41 — Signe, variations et convexité

Soit ff une fonction deux fois dérivable sur ℝ\mathbb{R}, dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.

Les trois premières questions seront traitées graphiquement.

  1. Dresser le tableau de signes de ff.

  2. Dresser le tableau de signes de f′f'.

    Donner une valeur approchée de f′(2)f'(2) et de f′(−4)f'(-4).

  3. Dresser le tableau de signes de f″f''.

    En déduire la convexité de ff et les abscisses des éventuels points d’inflexion.

  4. On sait désormais que : f(x)=110(2x2+1)ex4.f(x)=\frac{1}{10}(2x^2+1)\mathrm{e}^{\frac{x}{4}}.

    Retrouver par le calcul les résultats précédents.

La courbe ou le tableau utile à cet exercice est visible dans la vidéo.

Exercice 42 — Signe, variations et convexité

Soit ff une fonction deux fois dérivable sur ℝ\mathbb{R}, dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.

Les trois premières questions seront traitées graphiquement.

  1. Dresser le tableau de signes de ff et son tableau de variations.

  2. Dresser le tableau de signes de f′f'.

    Donner une valeur approchée de f′(−2)f'(-2).

  3. Dresser le tableau de signes de f″f''.

    En déduire la convexité de ff et les abscisses des éventuels points d’inflexion.

  4. On sait désormais que : f(x)=14(x4+x3).f(x)=\frac14(x^4+x^3).

    Retrouver par le calcul les résultats précédents.

La courbe ou le tableau utile à cet exercice est visible dans la vidéo.