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Les intervalles de ℝ
Un cours progressif pour comprendre la droite réelle, lire et écrire un intervalle, puis utiliser la réunion et l’intersection.
1️⃣ La droite réelle et l’infini
Les ensembles de nombres
ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Chaque nombre réel peut être placé sur une droite graduée. L’ensemble de tous les nombres réels est noté ℝ.
À retenir : les symboles −∞ et +∞ ne sont pas des nombres réels. Ils indiquent que la droite se prolonge sans limite.
Qu’est-ce qu’un intervalle ?
Un intervalle est une partie de la droite réelle sans trou : dès que deux nombres lui appartiennent, tous les nombres situés entre eux lui appartiennent aussi.
✓ Exemple : tous les réels compris entre 2 et 5 forment un intervalle.
✗ Contre-exemple : « les réels inférieurs à −1 ou supérieurs à 2 » contient un trou : ce n’est pas un seul intervalle.
2️⃣ Bien lire les crochets
Les crochets indiquent si une borne appartient ou non à l’intervalle.
Borne incluse
Le crochet est tourné vers l’intérieur : [ a à gauche ou b ] à droite.
Le crochet est tourné vers l’intérieur : [ a à gauche ou b ] à droite.
Borne exclue
Le crochet est tourné vers l’extérieur : ] a à gauche ou b [ à droite.
Le crochet est tourné vers l’extérieur : ] a à gauche ou b [ à droite.
Exemples
[2 ; 5] : 2 et 5 sont inclus.
]2 ; 5[ : 2 et 5 sont exclus.
[3 ; +∞[ : 3 est inclus.
]3 ; +∞[ : 3 est exclu.
Attention : du côté de −∞ ou de +∞, le crochet est toujours ouvert, car l’infini n’est jamais atteint.
3️⃣ Écrire et reconnaître les intervalles
Intervalles bornés
[a ; b]
a ≤ x ≤ b — intervalle fermé
a ≤ x ≤ b — intervalle fermé
]a ; b[
a < x < b — intervalle ouvert
a < x < b — intervalle ouvert
[a ; b[
a ≤ x < b — semi-ouvert
a ≤ x < b — semi-ouvert
]a ; b]
a < x ≤ b — semi-ouvert
a < x ≤ b — semi-ouvert
Intervalles non bornés d’un côté
[a ; +∞[ signifie x ≥ a.
]a ; +∞[ signifie x > a.
]−∞ ; b] signifie x ≤ b.
]−∞ ; b[ signifie x < b.
ℝ = ]−∞ ; +∞[
Cas particuliers
[a ; a] = {a} : l’intervalle contient un seul nombre.
]a ; a[ = ∅ : aucun nombre ne convient.
[a ; a[ et ]a ; a] ne sont pas des écritures valides.
Méthode : passer d’une inégalité à un intervalle
- Repérer les deux bornes.
- Observer si chaque inégalité est stricte ou large.
- Fermer le crochet pour ≤ ou ≥ ; l’ouvrir pour < ou >.
- Ouvrir toujours le crochet du côté de l’infini.
Exemple : −2 ≤ x < 4 se traduit par x ∈ [−2 ; 4[.
4️⃣ Réunion et intersection
Lorsqu’un ensemble possède un trou, on peut le décrire avec plusieurs intervalles reliés par une réunion.
La réunion : I ∪ J
x ∈ I ∪ J signifie que x appartient à I ou à J. La réunion rassemble tout ce qui appartient à au moins l’un des deux intervalles.
Intervalles séparés :
I = [−4 ; −1] et J = [1 ; 4]
I ∪ J = [−4 ; −1] ∪ [1 ; 4].
I = [−4 ; −1] et J = [1 ; 4]
I ∪ J = [−4 ; −1] ∪ [1 ; 4].
Intervalles qui se recouvrent :
I = [−3 ; 1] et J = [0 ; 4]
I ∪ J = [−3 ; 4].
I = [−3 ; 1] et J = [0 ; 4]
I ∪ J = [−3 ; 4].
L’intersection : I ∩ J
x ∈ I ∩ J signifie que x appartient à I et à J. L’intersection conserve seulement la partie commune.
Partie commune :
I = [−3 ; 2] et J = ]0 ; 4]
I ∩ J = ]0 ; 2].
I = [−3 ; 2] et J = ]0 ; 4]
I ∩ J = ]0 ; 2].
Aucune partie commune :
I = [−4 ; −1] et J = [1 ; 4]
I ∩ J = ∅.
I = [−4 ; −1] et J = [1 ; 4]
I ∩ J = ∅.
Méthode rapide
Pour une réunion : colorier les deux intervalles puis garder toute la zone coloriée. Mot-clé : OU.
Pour une intersection : colorier les deux intervalles puis garder uniquement la zone coloriée deux fois. Mot-clé : ET.
Mathématiques avec Hans Amble 