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Cours sur la valeur absolue

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La valeur absolue

Comprendre la valeur absolue, calculer une distance et traduire des intervalles ou des équations.

1️⃣ Définition de la valeur absolue
Définition : pour tout nombre réel x, la valeur absolue de x, notée |x|, est définie par les deux cas suivants.
|x|= { xsi x≥0 −xsi x<0
Exemple avec un nombre positif :
|7| = 7.
Exemple avec un nombre négatif :
|−7| = −(−7) = 7.

Interprétation : |x| est toujours positif ou nul. Il mesure la distance entre x et 0.

Cas particulier : |0| = 0.

|5| = 5   •   |−5| = 5

Deux nombres opposés ont donc la même valeur absolue.

2️⃣ Propriétés fondamentales

Pour tous réels a et b :

|a| ≥ 0 : une valeur absolue est toujours positive ou nulle.
|a| = |−a| : deux nombres opposés ont la même valeur absolue.
|a|² = a².
|a − b| = |b − a|.
|a × b| = |a| × |b|.
|a + b| ≤ |a| + |b| : c’est l’inégalité triangulaire.

Exemples

|−3 × 4| = 12 et |−3| × |4| = 3 × 4 = 12.
|2 − 7| = |−5| = 5 et |7 − 2| = 5.
Attention : en général, |a + b| n’est pas égal à |a| + |b|. Par exemple, |3 + (−3)| = 0 alors que |3| + |−3| = 6.
3️⃣ Écrire sans valeur absolue

Pour enlever les barres, il faut déterminer le signe de ce qu’elles contiennent.

Méthode
  1. Repérer l’expression entre les barres.
  2. Déterminer si elle est positive ou négative.
  3. La conserver si elle est positive ; prendre son opposé si elle est négative.
|3 − 8| = |−5| = 5.
|x − 2| vaut x − 2 si x ≥ 2, et 2 − x si x < 2.
|−2x| = 2|x|, grâce à la propriété du produit.
4️⃣ Résoudre une équation |x| = a
Si a > 0 :
|x| = a ⇔ x = −a ou x = a.
Si a = 0 :
|x| = 0 ⇔ x = 0.
Si a < 0 :
|x| = a n’a aucune solution réelle.

Exemples

|x| = 4 donne x = −4 ou x = 4.
Solution : S = {−4 ; 4}.
|x| = −3 est impossible.
Solution : S = ∅.
|x − 2| = 5 donne x − 2 = −5 ou x − 2 = 5, donc x = −3 ou x = 7.
5️⃣ Distance entre deux nombres
La distance entre deux réels a et b se note d(a ; b) et vaut |a − b|.

L’ordre n’a pas d’importance, car |a − b| = |b − a|.

d(2 ; 7) = |2 − 7| = |−5| = 5.
d(−3 ; 4) = |−3 − 4| = |−7| = 7.
|x − 3| = 2 signifie que la distance entre x et 3 vaut 2. Ainsi x = 1 ou x = 5.
Réflexe : dans |x − c|, le nombre c est le point de référence. Ainsi |x + 3| = |x − (−3)| mesure la distance entre x et −3.
6️⃣ Centre, rayon et diamètre d’un intervalle

Soit l’intervalle fermé [a ; b], avec a < b.

Centre : c = (a + b)/2.
Diamètre : b − a.
Rayon : r = (b − a)/2.
Exemple : pour [2 ; 8], le centre vaut (2 + 8)/2 = 5, le diamètre vaut 6 et le rayon vaut 3.
7️⃣ Intervalles et valeur absolue

Si l’intervalle [a ; b] a pour centre c et pour rayon r, alors :

x ∈ [a ; b] ⇔ |x − c| ≤ r
|x − c| ≤ r
⇔ c − r ≤ x ≤ c + r
⇔ x ∈ [c − r ; c + r].
|x − c| < r
⇔ c − r < x < c + r
⇔ x ∈ ]c − r ; c + r[.

Exemple

|x − 4| ≤ 3
⇔ −3 ≤ x − 4 ≤ 3
⇔ 1 ≤ x ≤ 7
⇔ x ∈ [1 ; 7].
8️⃣ Être à l’extérieur d’un intervalle

Lorsque la distance à c est supérieure à r, x se trouve à l’extérieur de l’intervalle centré en c.

|x − c| ≥ r
⇔ x ≤ c − r ou x ≥ c + r.
|x − c| > r
⇔ x < c − r ou x > c + r.
Exemple : |x − 2| ≥ 5 ⇔ x ≤ −3 ou x ≥ 7.
Donc x ∈ ]−∞ ; −3] ∪ [7 ; +∞[.
Mots-clés : « inférieur » donne l’intérieur de l’intervalle ; « supérieur » donne l’extérieur, donc deux morceaux.
9️⃣ Équidistance et comparaison de distances

|x − a| = |x − b| signifie que x est à égale distance de a et de b. Sur une droite, x est donc leur milieu.

|x − 2| = |x − 8|
x est le milieu de 2 et 8, donc x = (2 + 8)/2 = 5.

|x − a| ≤ |x − b| signifie que x est plus proche de a que de b, ou à égale distance.

|x − 1| ≤ |x − 4|
Le milieu de 1 et 4 vaut 2,5. Les points les plus proches de 1 sont situés à gauche de ce milieu : x ≤ 2,5.
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⚠️ Les erreurs à éviter
  • Croire qu’une valeur absolue peut être négative.
  • Écrire |−5| = −5 au lieu de |−5| = 5.
  • Oublier les deux solutions de |x| = a lorsque a > 0.
  • Confondre |x − 3|, distance à 3, et |x + 3|, distance à −3.
  • Traduire |x − c| ≥ r par l’intérieur d’un intervalle : le symbole ≥ correspond à l’extérieur.
  • Supposer que |a + b| = |a| + |b| dans tous les cas.
✅ L’essentiel en une minute
|x| ≥ 0 pour tout réel x.
|a − b| est la distance entre a et b.
|x − c| = r signifie que x est à distance r de c.
|x − c| ≤ r décrit l’intervalle [c − r ; c + r].
|x − c| ≥ r décrit l’extérieur de cet intervalle.
Réflexe : lisez toujours |x − c| comme « la distance entre x et c ».