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Algèbre : le développement

Développement algébrique

Développer une expression, c’est transformer un produit en une somme de termes, puis réduire et ordonner cette somme.

1. Monômes
2. Distributivité
3. Double distributivité
4. Identités remarquables

1. Avant de développer — Multiplier des monômes

Un monôme est le produit d’un nombre, appelé coefficient, et d’une partie littérale. Par exemple, dans −3x2y-3x^2y, le coefficient est −3-3 et la partie littérale est x2yx^2y.

Vocabulaire indispensable
Dans une somme, les éléments séparés par + ou − sont des termes. Dans un produit, les éléments multipliés sont des facteurs.
1. Le signe
Déterminer le signe du produit.
2. Les coefficients
Multiplier les nombres entre eux.
3. Les lettres
Additionner les exposants d’une même lettre.
(+)×(+)=+(−)×(−)=+(+)\times(+)=+\qquad (-)\times(-)=+
(+)×(−)=−(−)×(+)=−(+)\times(-)=-\qquad (-)\times(+)=-
(Axn)(Bxm)=A×B×xn+m(Ax^n)(Bx^m)=A\times B\times x^{n+m}
Exemples
(−3x2)(4x3)=−12x5(-3x^2)(4x^3)=-12x^5
(−2ab)(−5a2)=10a3b(-2ab)(-5a^2)=10a^3b
3x×(−2y)=−6xy3x\times(-2y)=-6xy
x×x7=x1×x7=x8x\times x^7=x^1\times x^7=x^8
x2×x7=x9x^2\times x^7=x^9
(4x2)(3x7)=12x9(4x^2)(3x^7)=12x^9
Attention
On additionne les exposants dans un produit, pas dans une somme.
x2×x3=x5x^2\times x^3=x^5 mais x2+x3x^2+x^3 ne se réduit pas.

2. Distributivité simple — À gauche et à droite

La multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction. Le facteur placé devant ou derrière la parenthèse multiplie chacun de ses termes. Par habitude, on écrit le plus souvent le facteur à gauche de la parenthèse : c’est alors ce facteur de gauche que l’on distribue.

k(a+b)=ka+kbk(a+b)=ka+kb
k(a−b)=ka−kbk(a-b)=ka-kb
(a+b)k=ak+bk(a+b)k=ak+bk
(a−b)k=ak−bk(a-b)k=ak-bk
Distribution à gauche
3(x+2)=3×x+3×2=3x+63(x+2)=3\times x+3\times2=3x+6
Attention au signe
−2(1−4x)=−2×1+(−2)×(−4x)=−2+8x-2(1-4x)=-2\times1+(-2)\times(-4x)=-2+8x
Distribution à droite
(2x−5)(−3)=2x×(−3)−5×(−3)=−6x+15(2x-5)(-3)=2x\times(-3)-5\times(-3)=-6x+15
Réflexe
Avant de calculer, tracer mentalement une flèche vers chaque terme de la parenthèse. Aucun terme ne doit être oublié.
Signes
Chaque flèche représente une multiplication : il faut donc appliquer la règle des signes à chaque produit, notamment lorsqu’un facteur ou un terme est négatif.

3. Double distributivité

Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. On obtient d’abord quatre produits. Pour chacun d’eux, on applique ensuite la règle de multiplication des monômes vue plus haut.

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
1
a×ca\times c
2
a×da\times d
3
b×cb\times c
4
b×db\times d
Exemple 1 — Uniquement des additions
(2x+3)(x+4)=(2x)(x)+(2x)(4)+(3)(x)+(3)(4)(2x+3)(x+4)=(2x)(x)+(2x)(4)+(3)(x)+(3)(4)
(2x+3)(x+4)=2x2+8x+3x+12(2x+3)(x+4)=2x^2+8x+3x+12
(2x+3)(x+4)=2x2+11x+12(2x+3)(x+4)=2x^2+11x+12
Exemple 2 — Avec des signes moins
(x+3)(5−4x)=(x)(5)+(x)(−4x)+(3)(5)+(3)(−4x)(x+3)(5-4x)=(x)(5)+(x)(-4x)+(3)(5)+(3)(-4x)
(x+3)(5−4x)=5x−4x2+15−12x(x+3)(5-4x)=5x-4x^2+15-12x
(x+3)(5−4x)=−4x2−7x+15(x+3)(5-4x)=-4x^2-7x+15
Exemple 3 — Avec un terme en x²
(2x2+1)(3x+4)=(2x2)(3x)+(2x2)(4)+(1)(3x)+(1)(4)(2x^2+1)(3x+4)=(2x^2)(3x)+(2x^2)(4)+(1)(3x)+(1)(4)
(2x2+1)(3x+4)=6x3+8x2+3x+4(2x^2+1)(3x+4)=6x^3+8x^2+3x+4
Pour terminer
Réduire les termes semblables, puis ordonner selon les puissances décroissantes de la lettre.

4. Les trois identités remarquables — Sens du développement

Dans cette page, on les utilise uniquement de la gauche vers la droite : on part du produit ou du carré pour obtenir une somme.

Carré d’une somme
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
Le terme 2ab2ab est le double produit.
Pourquoi ? On part du membre de gauche
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2\begin{aligned}(a+b)^2&=(a+b)(a+b)\\&=a^2+ab+ba+b^2\\&=a^2+2ab+b^2\end{aligned}
Exemple
(3x+2)2=(3x)2+2(3x)(2)+22(3x+2)^2=(3x)^2+2(3x)(2)+2^2
(3x+2)2=9x2+12x+4(3x+2)^2=9x^2+12x+4
Carré d’une différence
(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Pourquoi ? On part du membre de gauche
(a−b)2=(a−b)(a−b)=a2−ab−ba+b2=a2−2ab+b2\begin{aligned}(a-b)^2&=(a-b)(a-b)\\&=a^2-ab-ba+b^2\\&=a^2-2ab+b^2\end{aligned}
Exemple
(x−3)2=x2−2(x)(3)+32(x-3)^2=x^2-2(x)(3)+3^2
(x−3)2=x2−6x+9(x-3)^2=x^2-6x+9
Produit d’une somme par une différence
(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2
Pourquoi ? On part du membre de gauche
(a+b)(a−b)=a2−ab+ba−b2=a2−b2\begin{aligned}(a+b)(a-b)&=a^2-ab+ba-b^2\\&=a^2-b^2\end{aligned}
Exemple
(10−3x)(10+3x)=(10)2−(3x)2(10-3x)(10+3x)=(10)^2-(3x)^2
(10−3x)(10+3x)=100−9x2(10-3x)(10+3x)=100-9x^2
Erreur fréquente
Dans la plupart des cas, (a+b)2≠a2+b2(a+b)^2\neq a^2+b^2 : il ne faut pas oublier le double produit 2ab2ab.

La checklist avant de valider un développement

  1. Ai-je multiplié tous les termes ?
  2. Ai-je correctement traité les signes ?
  3. Ai-je multiplié les coefficients et les lettres séparément ?
  4. Ai-je réduit uniquement les termes semblables ?
  5. Ai-je ordonné le résultat selon les puissances décroissantes ?